Главная > Физика > Лекции по теоретической механике, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. ТЕОРЕМА МОМЕНТОВ И ТЕОРЕМА ПЛОЩАДЕЙ В ОТНОСИТЕЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ ОКОЛО ЦЕНТРА ИНЕРЦИИ

295. Первое доказательство теоремы моментов.

Пусть, на основании предыдущего, ОК или К есть абсолютный кинетический момент, т. е. главный момент количеств движения относительно начала О неподвижных осей, О — главный момент внешних сил относительно той же точки, К — относительный кинетический момент (один и тот же для каждой точки пространства) и — главный момент внешних сил относительно центра инерции Г. Пусть далее — количество движения центра инерции в предположении, что в нем сосредоточена вся масса М, и — момент этого вектора относительно точки О. По теореме имеем

Обозначим через R главный вектор внешних сил, приложенный в центре инерции Г, и через момент этого вектора относительно точки О. Из теории векторов следует:

На основании теоремы о движении центра инерции теорему моментов можно применить к системе, состоящей из одного центра инерции, в предположении, что в нем сосредоточена вся масса системы и на него действует сила R. Поэтому имеем, вводя геометрическую производную,

Применяя теперь теорему моментов к абсолютному движению всей системы, можем написать:

и, заменяя в этом соотношении К и G их предыдущими значениями, получим:

Мы только что установили, что вторые слагаемые в правой и левой частях равны друг другу; поэтому остается равенство

Таким образом, производная по времени относительного кинетического момента К равна главному моменту О внешних сил относительно центра инерции системы.

Если построить относительный кинетический момент К (одинаковый для всех точек пространства), принимая неподвижное начало О за полюс, то будет представлять собой абсолютную векторную координату точки К, а его геометрическая производная — абсолютную скорость той же точки. Если же построить момент К, принимая за полюс центр инерции (представляющий собой начало подвижных осей), то этот момент будет относительной векторной координатой его конца К, а его производная — относительной скоростью точки Предыдущее уравнение выражает тогда теорему моментов в относительном движении около центра инерции, выбранного в качестве центра моментов. Эту теорему можно выразить следующим образом;

Если построить главный момент внешних сил относительно центра инерции и главный момент К количеств относительного движения по отношению к той же точке, то точка О будет представлять собой указатель точки К, т. е. относительная скорость точки К будет равна вектору

Проектируя эти геометрические величины на ось, постоянно проходящую через центр инерции, получим следующую теорему:

Производная по времени от главного момента количеств относительного движения по отношению к оси, постоянно проходящей через центр инерции системы, равна главному моменту внешних сил относительно той же оси.

Эти теоремы вообще применяются в той форме, которую мы им здесь дали; однако условие, обязывающее брать моменты относительно центра инерции или относительно оси, проходящей

через центр инерции, оказывается существенным лишь для внешних сил. В самом деле, мы знаем, что момент количеств относительного движения остается одним и тем же для всех точек пространства и, следовательно, он одинаков также и для всех осей, параллельных между собой.

Дадим теперь второе доказательство теоремы моментов, связанное с общей теорией относительного движения.

296. Второе доказательство теоремы моментов.

Мы знаем, что относительное движение точки, а следовательно, также и системы, можно рассматривать как абсолютное движение, вводя определенные фиктивные силы. Эти силы, которые должны быть приложены к каждой из движущихся материальных точек, представляют собой силы инерции переносного движения и сложные центробежные силы. Так как в рассматриваемом случае подвижные оси движутся поступательно, то сложные центробежные силы равны нулю, поэтому достаточно ввести только силы инерции переносного движения. Докажем следующую теорему:

В относительном движении материальной системы около ее центра инерции силы инерции переносного движения различных точек системы имеют равнодействующую, проходящую через центр инерции, которая равна и прямо противоположна результирующей R внешних сил, приложенных к системе.

Пусть J есть ускорение центра инерции в его абсолютном движении. К каждой точке системы с массой должна быть приложена сила инерции переносного движения так как ускорение точки в переносном движении равно J. Эти параллельные между собой и пропорциональные массам точек векторы имеют равнодействующую или , проходящую через центр тяжести. Но, на основании теоремы движения центра инерции, равно сумме внешних сил, что и доказывает теорему.

Если система векторов имеет равнодействующую, то главный момент системы равен моменту этой равнодействующей. Отсюда имеем следующее заключение:

Теорему моментов можно применять без всякого ограничения к относительному движению материальной системы около ее центра инерции, при условии, что к реальным

внешним силам, действующим на систему, присоединена фиктивная сила, равная и прямо противоположная сумме внешних сил и проходящая через центр инерции системы.

Предположим, что взяты моменты относительно центра инерции или относительно оси, проходящей через центр инерции; в обоих случаях момент фиктивной силы равен нулю. Поэтому введение фиктивной силы станет излишним, и в применениях теоремы моментов можно будет учитывать только действительные силы. Таким образом, мы опять получаем теоремы в том виде, как они были высказаны в предыдущем пункте.

Только что сформулированное нами положение не находится в противоречии с установленными ранее результатами, так как система, состоящая из внешних сил и фиктивной силы (так же как и система количеств относительного движения), есть система векторов, главный вектор которой равен нулю и, следовательно, главный момент один и тот же для всех точек пространства. Он равен поэтому для любой точки главному моменту одних внешних сил относительно центра инерции.

297. Замечание.

Предыдущее доказательство дает повод для следующего замечания. Если сумма внешних сил равна нулю, то центр инерции движется прямолинейно и равномерно. Подвижные оси движутся поэтому поступательно с постоянной скоростью, так что обе фиктивные силы (переносная сила инерции и сложная центробежная сила) равны нулю. Дифференциальные уравнения относительного движения будут поэтому те же, что и для абсолютного движения. Отсюда имеем следующее заключение:

Если геометрическая сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то все теоремы динамики применяются к относительному движению системы около ее центра инерции в том же виде, как и в случае абсолютного движения.

298. Теорема площадей.

Теорема площадей в абсолютном движении имеет место в том случае, когда главный момент внешних сил относительно некоторой неподвижной оси постоянно равен нулю. Если эту ось принять за ось , то теорема моментов непосредственно дает , где есть главный момент количеств движения относительно оси z и С — так

называемая постоянная площадей. Теорема площадей представляет собой геометрическую интерпретацию этого равенства.

В случае относительного движения около центра инерции теорема площадей также имеет место, если только главный момент внешних сил относительно оси неизменного направления, все время проходящей через этот центр, равен нулю.

Эта теорема может быть сформулирована следующим образом:

Если главный момент внешних сил относительно оси постоянного направления, все время проходящей через центр инерции, равен нулю и если ко всем точкам системы провести из центра инерции радиусы-векторы, то сумма произведений площадей, описываемых проекциями этих радиусов на плоскость, перпендикулярную к оси и движущуюся вместе с центром инерции, на массы соответствующих точек изменяется пропорционально времени.

Эту теорему можно выразить уравнением

где постоянная площадей С равна постоянному моменту относительных количеств движения всех точек системы по отношению к рассматриваемой оси.

Замечание. — В приложениях теоремы площадей почти всегда принимают за полюс центр инерции. Между тем следует заметить, что если эта теорема приложима к проекции движения на плоскость, проходящую через центр инерции Г, взятый за центр моментов, то она приложима также ко всякой другой точке той же плоскости, взятой в качестве центра, причем постоянная площадей остается неизменной. В самом деле, примем эту плоскость за плоскость ху и Г за начало координат. Тогда постоянная площадей будет равна проекции относительного кинетического момента К на ось IV. Но К не зависит от центра моментов. Поэтому сохраняет одно и то же постоянное значение, каково бы ни было положение оси z, перпендикулярной к плоскости и, следовательно, каково бы ни было положение взятой в качестве центра моментов точки, в которой эта ось пересекает плоскость проекций

Не следует упускать из виду, что во всех теоргмах этого параграфа внешние силы, о которых идет речь, представляют собой действительные силы, такие, как они определяются в абсолютном движении.

299. Приложения теоремы площадей.

1°. Рассмотрим движение Земли около ее центра тяжести. Внешние силы имеют равнодействующую, проходящую приблизительно через центр тяжести, и их результирующий момент относительно этой точки приближенно равен нулю. Поэтому теорема площадей может быть применена к проекции движения на любую плоскость, проходящую через центр тяжести, и по отношению к любой точке этой плоскости, взятой в качестве центра моментов. Она применима, в частности, к проекции движения на плоскость экватора и по отношению к центру тяжести. Так как расстояния различных точек от центра тяжести остаются неизменными, то угловая скорость вращения Земли вокруг ее оси должна быть постоянной. Однако, если рассматривать очень большой промежуток времени, то может сказаться влияние сокращения Земли, происходящее вследствие ее охлаждения. Расстояния точзк от центра при этом уменьшаются, и для того, чтобы площади, описываемые проекциями, изменялись на одинаковую величину за одинаковые промежутки времени, необходимо, чтобы угловая скорость вращения Земли увеличивалась.

Таким образом, с точки зрения основных законов механики, равномерность вращения Земли не является абсолютным постулатом, а представляет собой приближение, практически достаточное вследствие медленности, с которой Земля сокращается. Прибавим к этому, что существуют другие явления, действующие в направлении, обратном тому, которое вызывается сокращением Земли; таковы приливы и отливы, которые всегда действуют как тормоз, стремясь замедлить вращательное движение Земли вокруг своей оси.

2°. В качестве второго примера рассмотрим солнечную систему. Если пренебречь действиями звезд, то можно считать, что на систему, состоящую из Солнца, планет и их спутников, не действуют внешние силы. Кинетический момент системы относительно ее центра инерции Г (который находится вблизи от центра Солнца) остается постоянным по величине и направлению.

Плоскость П, перпендикулярная к кинетическому моменту, имеет постоянную ориентацию в пространстве и представляет собой плоскость максимума площадей. Это дает указанную Лапласом возможность получить неизменную плоскость ориентации в солнечной системе.

Это заключение остается верным, даже если принять во внимание действие звезд, так как последние настолько удалены, что силы, с которыми они действуют на различные точки солнечной системы, можно считать параллельными. Так как эти силы, кроме того, пропорциональны массам, то они имеют равнодействующую, приложенную в центре инерции Г системы, и их результирующий момент относительно этой точки равен нулю.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление