Главная > Физика > Лекции по теоретической механике, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ЧАСТЬ ВТОРАЯ. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ. ДИНАМИКА ТОЧКИ

ГЛАВА IV. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ МЕХАНИКИ. ФИЗИЧЕСКИЕ СИЛЫ. ЕДИНИЦЫ

§ 1. ОСНОВНЫЕ НАЧАЛА

96. Физическая механика и теоретическая механика.

Задача механики заключается в том, чтобы описывать движения тел в пространстве и выражать законы этих движений. Физическая механика является наукой экспериментальной, и потому ее результаты имеют лишь эмпирическую ценность. Ее законы представляют собой индуктивные положения, основанные на большом числе согласующихся между собой фактов, и не являются математическими следствиями некоторых начальных истин. Вычисления физической механики имеют лишь известную степень приближения, тесно связанную с действительным измерением конкретных величин, и самые законы ее представляют собой, повидимому, лишь приближенные истины.

В теоретической механике вместо таких тел, которые встречаются в природе, рассматривают идеальные тела, находящиеся, вообще говоря, в таком же отношении к телам природы, в каком, в частности, находятся геометрические тела к твердым физическим телам. Индуктивные истины экспериментальной механики заменяются при этом математическими определениями, логически согласованными между собой, из которых посредством математических выводов получаются строгие следствия.

97. Абсолютно неподвижные оси. Абсолютное время.

Принципы физической механики постулируют абсолютное движение и абсолютное время. Первый постулат, который

приходится вводить при формулировке этих принципов, заключается в допущении, что они будут истинны, если мы будем относить движение к некоторой определенной системе осей и измерять время некоторым определенным способом.

Этими особенными привилегированными осями и привилегированным временем являются абсолютно неподвижные оси и абсолютное время. Эти оси и это время нельзя изменять произвольно, не изменяя законов механики. Определить наилучшим образом положение неподвижных осей в системе мира и дать способ измерения абсолютного времени составляет уже задачу астрономии.

При настоящем состоянии астрономических знаний мы можем приписать абсолютную неподвижность трехграннику отсчета, имеющему свое начало в центре тяжести солнечной системы и ориеатированному неизменяемым образом по отношению к неподвижным звездам. В качестве абсолютного времени берут среднее время, которое мы определяем, считая равномерным вращательное движение Земли по отношению к неподвижным звездам. Ни одно из этих определений не обладает абсолютной точностью, так как звезды не представляют собой строго неизменяемой системы, но эти определения оказываются до настоящего времени практически достаточно точными.

В теоретической механике за абсолютные принимают такие оси и такое время, для которых оказываются истинными по определению основные законы механики. Мы увидим далее, что если эти основные законы справедливы по отношению к некоторой системе осей, то они будут справедливы также по отношению к другой системе осей, находящейся в равномерном поступательном движении по отношению к первой системе. Этим различным системам осей, по отношению к которым оказываются

справедливыми основные законы механики, часто дают название галилеевых систем.

Замечание. - В физической механике не всегда оказывается необходимым относить движение к абсолютно неподвижным осям, которые мы определили выше. Такие оси применяются в астрономии. Для движения же тел вблизи от поверхности Земли мы можем, как это показывают опыты, при которых принимается во внимание теория относительного движения, применять основные законы механики, считая Землю неподвижной системой отсчета, но при условии замены притяжения Земли силой тяжести, или весом тела. Из этого правила следует, впрочем, сделать некоторые исключения: к ним, в частности, относятся опыты с маятником Фуко и с гироскопом и стрельба дальнобойной артиллерии; эти случаи движения обнаруживают, с точки зрения допущенных принципов, вращение Земли.

98. Материальная точка.

В физической механике, если не хотят вводить никаких гипотез о строении материи, говорят, что материальная точка представляет собой частицу материи, достаточно малую для того, чтобы можно было практически определять ее положение и движение так же, как для точки, не имеющей размеров, не учитывая при этом ее вращения. Это условие будет осуществлено, если размерами частицы можно пренебречь.

Мы будем предполагать во всех случаях, что тела образованы соединением весьма большого числа материальных точек. Разложение тела на материальные точки действительно осуществляется при молекулярной гипотезе. Если эта гипотеза не вводится, то разложение имеет в известной мере искусственный и произвольный характер. При этом мы мысленно разлагаем весь объем тела на элементы объема, достаточно малые для того, чтобы их можно было считать материальными точками.

В теоретической механике можно придать теории наибольшую простоту и ясность, рассматривая материю образованной из непротяженных точек, изолированных

друг от друга. Мы будем пользоваться при изложении этим простым представлением. Далее мы увидим, как следует видоизменить это представление, если мы захотим ввести гипотезу о непрерывности материи.

Таким образом, в теоретической механике материальная точка представляет собой геометрическую точку, наделенную по определению механическими свойствами; эти свойства обусловливаются основными законами, которые мы теперь изложим.

Основные законы классической механики представляют собой, за исключением некоторых ограничений и изменений в способе расположения, не что иное, как систематическое распространение на материальные точки некоторых сформулированных Галилеем и Ньютоном принципов, управляющих движениями тел солнечной системы.

99. Первый основной закон: закон инерции.

Первый из основных законов есть закон инерции, или, принцип Галилея; предварительно и несколько неточно его можно выразить в следующих словах: Тело само неспособно изменить скорость, которой оно обладает в некоторый момент. Если бы тело было одно, то движение его было бы прямолинейным и равномерным. Скорость тела может быть изменена лишь благодаря присутствию других тел, действующих на него.

Так например, изменение скорости планеты в ее движении вокруг Солнца определяется исключительно действием Солнца и других планет и зависит от взаимного расположения всех этих тел.

Эта первая формулировка закона инерции представляется несколько неопределенной, поэтому следует более точно описать движение тела, о котором идет речь. Предположим для большей ясности, что имеется в виду твердое тело. В формулировке не говорится о вращательном движении, которое тело может иметь вокруг некоторой пересекающей его оси, а только о его поступательном движении в пространстве. Чтобы вполне определить это поступательное движение, необходимо рассмотреть движение какой-нибудь

одной точки тела. Опыт, в согласии с теорией, показывает, что в теле имеется одна точка, строго подчиняющаяся в своем движении закону инерции. Эта точка называется центром тяжести, и несколько позднее мы увидим, как можно ее определить на основании законов механики. Пока отметим только, что когда закон инерции применяют к телу, то предполагают, что тело движется поступательно, т. е. движение тела совпадает с движением его центра тяжести. Для планет, например, центр тяжести достаточно точно совпадает с геометрическим центром фигуры, и потому при формулировке закона инерции совершенно естественно имелся в виду этот последний.

Из закона инерции следует, что если скорость тела изменяется, то имеются другие тела, присутствие которых влияет на движение данного тела. О механизме осуществления этого влияния мы, вообще говоря, абсолютно ничего не знаем. Когда мы констатируем действие одного тела на другое, то обычно говорим, что это действие представляет собой силу, что эта сила имеет своим источником первое тело и приложена ко второму.

Опыт позволяет более или менее непосредственно удостовериться в справедливости закона инерции для тел. В теоретической механике закон инерции распространяют на все материальные точки, что приводит к следующей его формулировке:

Формулировка закона инерции. Всякое ускорение материальной точки необходимо определяется действием других материальных точек.

В этом новом выражении закона трудность, с которой мы встретились выше при истолковании скорости, сообщенной телу, исчезла, так как в понятии скорости геометрической точки нет уже никакой неопределенности.

Несколько позднее, в динамике систем, мы увидим, что закон инерции для тел в той форме, в какой он был высказан сначала, есть следствие закона инерции для материальных точек и других принципов механики, которые нам предстоит еще изложить.

100. Второй основной закон. Определение массы.

Если в данный момент тело А действует на тело В, то действие будет взаимным: тело А сообщает некоторое ускорение f телу В, а тело В, в свою очередь, вызывает ускорение j тела А.

Выражаясь более точно, следует сказать, что эти ускорения представляют собой ускорения центров тяжести двух тел, как мы это выяснили в предыдущем п°; они могут изменяться в зависимости от положения, движения и физического состояния (электрического, магнитного и т. д.) обоих тел, отношение величин обоих ускорений остается одним и тем же при всех опытах (с данными телами). Это отношение есть, таким образом, постоянная величина, характеризующая совокупность двух тел А и В. Поставим в соответствие телу А положительное число М, которое будем называть его массой. Мы можем также поставить в соответствие телу В число М, удовлетворяющее условию:

которое будет иметь место во всех опытах с этими телами. Число есть масса тела В.

Пусть теперь С — третье тело. Мы можем определить его массу М" сравнением с массой М тела А, как мы только что сделали для тела В. Но с равным правом можно определить массу тела С сравнением с массой М тела В. Для вполне однозначного и непротиворечивого определения массы необходимо, чтобы оба опыта приводили к одному и тому же результату. И это подтверждается экспериментом.

Если массу тела А принять за единицу, то М будет равно 1, и массы других тел будут выражаться в выбранных таким образом единицах массы.

Если разделить тело на несколько частей, то можно утверждать, что масса всего тела равна сумме масс различных его частей. Таким образом, возникает взгляд на массу как на меру количества материи, при этом допускается, что это количество остается неизменным при

всякого рода дроблении, которому материя может подвергаться.

Когда мы будем рассматривать вес (n° 108), то увидим, что массы тел, расположенных на земной поверхности, пропорциональны их весам в одном и том же месте, иначе говоря, их относительным весам, измеренным посредством взвешивания. Таким образом, если в качестве единицы массы мы возьмем массу одного грамма, то масса какого-нибудь тела численно равна его весу, выраженному в граммах (п°112). Таким именно образом практически определяют массы тел, расположенных на земной поверхности.

Масса самой Земли определяется с помощью непосредственного измерения притяжения, испытываемого некоторым телом со стороны другого тела, масса которого известна (опыт Кэвендиша). Массы тел солнечной системы вычисляются на основании уже определенной массы Земли. Все эти определения масс производятся на основании закона всемирного тяготения (п°107).

Если мы будем теперь делить материю на части до самых последних элементов, представляющих собой материальные точки, то нам придется в конце концов применить предшествующие заключения к самим материальным точкам; мы приходим, таким образом, к следующим законам:

1°. Каждой материальной точке можно поставить в соответствие некоторое положительное число , называемое массой точки, таким образом, что при действии друг на друга двух материальных точек с массами значения ускорений, которые они получают при таком взаимодействии, всегда удовлетворяют соотношению:

2°. Если массу одного грамма принять за единицу, то масса материальной точки численно равна ее весу, выраженному в граммах.

3°. Масса тела равна сумме масс всех материальных точек, его составляющих.

101. Математическое определение и измерение силы.

Если материальная точка в некоторый момент времени подвергается действию других материальных точек, она получает в этот момент ускорение, определяемое вектором j. В этом случае говорят, что на точку действует сила F, определяемая геометрическим равенством

Сила есть, таким образом, вектор, приложенный к движущейся точке, имеющий те же направление и ориентацию, что и ускорение и по величине равный произведению массы точки на численное значение ускорения.

Предыдущее уравнение есть основное уравнение динамики.

102. Третий основной закон. Равенство действия и противодействия.

Когда две материальные точки М и М действуют друг на друга, они получают соответственно ускорения . Эти два вектора прямо противоположны друг другу и направлены по прямой ММ, соединяющей точки. Таким образом, названные точки с массами находятся под действием двух прямо противоположных сил, равных по величине величины этих сил должны быть равны между собой на основании определения массы. Одна из сил есть действие, другая — противодействие. Эти силы представляют собой притяжение или отталкивание в зависимости от того, стремятся ли они сблизить две точки, или удалить их друг от друга. Мы можем, таким образом, высказать следующий основной закон, выражающий равенство действия и противодействия.

Если две материальные точки действуют одна на другую, то действие и противодействие равны между собой и прямо противоположны.

103. Четвертый основной закон: независимость действия сил, или закон сложения сил. Физические условия, определяющие силы.

Изучение физических явлений заставляет нас допустить, что ускорения, которые две

материальные точки вызывают друг у друга, и, следовательно, силы, действующие между ними, зависят только от физического состояния (электрического, магнитного и т. д.) каждой из двух точек, от их положений и скоростей. Если физические условия остаются неизменными, то силы взаимодействия этих двух точек не могут быть изменены возможными действиями на них других материальных точек. Действительно, можно установить, что когда несколько различных точек действуют одновременно на одну и ту же точку М, то ускорения, которые они вызвали бы у нее, действуя каждая отдельно, налагаются одно на другое, т. е. складываются геометрически. В этом заключается закон независимости действия сил.

Так как силы пропорциональны ускорениям, то точка М ведет себя так, как если бы она находилась под действием только одной силы, равной результирующей сил, происходящих от каждой из точек в отдельности.

Отсюда имеем следующий закон сложения сил, представляющий собой лишь другое выражение закона независимости действия сил:

Если на материальную точку действуют одновременно несколько сил, то можно заменить эти силы их результирующей.

Заметим, что эта формулировка имеет физический смысл лишь благодаря возможности определять составляющие силы независимо от производимых ими эффектов, а именно так, как это было указано выше.

104. Замечания о двух определениях силы.

В изложенных выше законах понятие силы представлено с двух различных сторон. С точки зрения ее действия, сила определяется ускорением, сообщаемым ею материальной точке, к которой она приложена (динамическое определение силы). С точки зрения ее происхождения, она определяется физическим состоянием, расположением в пространстве и движением тел, являющихся источником или объектом ее действия (статическое определение силы). Соответствие между этими двумя определениями силы имеет

эмпирическую основу, однако все то, что имеется объективного в механике, содержится в этом соответствии. Уничтожить это соотношение равносильно тому, чтобы лишить физическую механику всего ее содержания и привести теоретическую механику к одним номинальным определениям.

Понятие силы и измерение ее никоим образом не предполагают, что сила является реальностью сама по себе. Между тем большое число физиков склонны рассматривать силу как истинную реальность, существующую отлично от тел, которые являются ее источником или испытывают эффект ее действия. Они утверждают, что мускульное усилие, которое мы должны сделать, чтобы передвинуть тело, дает нам достаточно ясное представление о силе, рассматриваемой независимо от движения, которое она способна произвести. Мы, со своей стороны, вместе со многими другими, видим в этом антропоморфизм, оказывающийся, в конце концов, лишь иллюзорным и к тому же бесполезным. Тем не менее, понятие усилия предполагает более или менее ясное представление о точке приложения, напряженности и направлении, т. е. представление о векторе; все это составляет некоторый род интуиции, опирающейся на привычки ума, которые укоренились в течение многих поколений.

105. Силы действительные и силы фиктивные. Галилеевы системы отсчета.

До сих пор мы рассматривали лишь абсолютно неподвижные оси, определенные в п° 97. Силы, действующие между материальными точками и определяемые формулой представляют собой реальные силы.

Предположим теперь, что движение отнесено к осям, которые сами движутся относительно неподвижных осей. Относительное ускорение j точки с массой будет в общем случае отличным от ее абсолютного ускорения

Реальная сила F, действующая на точку, есть Но для наблюдателя, движущегося вместе с подвижной системой координат, точка имеет ускорение она ему кажется

поэтому подверженной действию силы . Эта последняя есть кажущаяся сила, или, иначе, фиктивная сила, которую следует рассматривать как определяющую движение точки относительно подвижных осей. Но при этом нужно иметь в виду, что общие принципы, которые мы сформулировали выше, рассматривая реальные силы, не приложимы в том же виде к фиктивным силам, только что нами определенным. Этот вопрос будет освещен дополнительно в теории относительного движения.

Однако в том частном случае, когда система отсчета совершает прямолинейное и равномерное поступательное движение по отношению к абсолютно неподвижным осям, относительное ускорение совпадает с абсолютным ускорением, и силы, определенные в относительном движении, не отличаются от сил, определенных в абсолютном движении, т. е. от сил реальных. Законы и уравнения механики применяются по отношению к этим новым осям совершенно так же, как по отношению к неподвижным осям. Поэтому различные системы осей, находящихся в прямолинейном и равномерном поступательном движении одни относительно других, совершенно эквивалентны между собой с точки зрения принципов механики; мы уже упоминали выше, что их называют галилеевыми системами.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление