Главная > Математика > Векторная алгебра
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. ОСНОВНЫЕ СОСТОЯНИЯ

Используя плоские решения, можно развить метод приближенных вычислений невозбужденных нижних уровней для атомов более сложных, чем атом водорода. Сначала рассмотрим чисто умозрительную орбиту радиуса для уровня энергии Е, когда заряд ядра равен а для энергии взято выражение

в котором фундаментальная постоянная атома водорода.

Затем, учитывая, что в основном состоянии равняется будем считать, что значения квантового числа соответствуют стандартным спектроскопическим обозначениям орбитальных уровней так как в квантовой механике при каждом значении возможно только различных положений плоскости орбиты в пространстве, то предположим, что на одном уровне пребывает электронов с плоскими орбитами, и частицы эти могут считаться независимыми, если принять, что каждая из них находится в центральном поле приведенного заряда

Введенный для учета экранирования ядра член к соответствует результирующей центральных сил, созданных остальными электронами в направлении радиус-вектора ОА, проведенного из центра ядра О в ту точку орбиты А, где расположен рассматриваемый электрон.

Затем надо минимизировать силы взаимодействия, т. е. выбрать для попарно взаимодействующих электронов такие положения на орбитах, когда они максимально удалены друг от друга.

Проделать соответствующие вычисления для случая раз ионизованного атома с зарядом ядра Z довольно просто, потому что при оказывается, что или так что углы, которые плоскости двух орбит могут образовывать с определяются на основании (73) соответственно из условий или Коэффициент взаимодействия к в таком случае равен а полная энергия двух электронов равняется

Прежде чем перейти к обоснованию этой формулы, отметим, что в случае таких двухэлектронных систем при корректном решении волнового уравнения Шредингера с помощью последовательных приближений по методу Хиллерааса получаются значения энергии, довольно близкие к экспериментальным данным. Так, для атома гелия, если ограничиться первым квантовомеханическим приближением, выбирая в качестве приближенной волновой функции системы частиц произведение экспонент, которое соответствует минимуму энергии взаимодействия,

то расчетное значение энергии 77 эВ, найденное при оказывается несколько меньше экспериментального значения 78,63 эВ.

Применяя формулу (74), получим значение 77,69 эВ, которое оказывается лучшим приближением. Однако предложенный нами метод не позволяет улучшать этот результат. Можно, однако, отметить, что принципиальная схема нашего расчета энергий основных состояний может быть использована и в более общих случаях для атомов, ионизованных раз и даже раз, и при этом получаются хорошие результаты. Для атомов, ионизованных раз ( целое, совпадение результатов с экспериментальными значениями в большинстве случаев очень хорошее, но иногда минимуму энергии могут отвечать несколько различных конфигураций, т. е. задача вырождена, и тогда экспериментальные значения чаще всего оказываются близки к расчетным величинам, усредненным по различным возможным состояниям .

Теперь займемся выводом формулы (74).

Пусть в общем случае электрон А находится в плоскости (рис. 5), а электрон В — в плоскости и длины векторов

Рис. 5.

Сила отталкивания между электронами минимальна при и в таком случае

Ее составляющая вдоль ОВ обусловливает изменение эффективного заряда, действующего на В, в приближении центрального

Предположим еще, что вследствие устойчивости плоскости орбиты составляющая перпендикулярная ОВ, уничтожается.

Для атомов, ионизованных раз, и, следовательно,

так что полная энергия двух электронов находится по формуле (74). Если выбрать для фундаментальной постоянной значение 13,54, то для энергии Е основного состояния двухэлектронной системы в поле ядра получим следующую таблицу, в которой Е представляет экспериментальное значение энергии в электронвольтах, заимствованное из Бауэра и Сюрдена:

Как только число электронов превосходит 2, квантовая механика вынуждена обращаться к приближенным методам решения задачи. Покажем, каким образом рассмотренный выше метод позволяет очень легко получать приближенные решения.

Для электрона С, принадлежащего оболочке так что Пусть в плоскости расположены электроны Ли В. Орбиты электронов А и В, принадлежащих оболочке К, предполагаем удаленными на расстояние от начала координат, и пусть радиус орбиты электрона С из оболочки L равен R. Введем число и соотношением и попытаемся его определить, напомнив, что мы считаем радиусы орбит пропорциональными Ограничимся случаем

Действие А на С, очевидно, окажется минимальным, когда А и С диаметрально противоположны (рис. 6), и коэффициент задается формулой

Минимальному воздействию С на А соответствует значение коэффициента

Не следует, конечно, упускать из виду, что в квантовой механике рассмотрение орбит — это всегда чистейшая спекуляция, орбиты не соответствуют истинному движению электронов и существуют только в качестве наглядных образов, с помощью которых удобно проводить математические оценки величины взаимодействия.

Рис. 6.

Введем теперь из соображений симметрии

так как электроны Ли В играют одинаковые роли и тем самым неразличимы.

Таким образом, для определения и получаем уравнение

которое при каждом Z имеет только один положительный корень, причем его значение не превосходит 0,25. Энергию одного электрона С найдем, вычитая из полной энергии трехэлектронной системы; тогда в единицах получается выражение

Результаты вычислений по этой формуле сведены в таблицу, в которой Е обозначает экспериментальное значение энергии, взятое у Бауэра и Сюрдена:

Относительная точность приближения тем лучше, чем больше номер

Применение изложенного метода приводит к хорошим результатам, особенно дня При нужному уровню отвечают так что квантовое число принимает значения 1 и 2, а для а возможны четыре значения. Будем говорить, что атом находится в нормальном состоянии, если при два электрона из оболочки L движутся в одной плоскости. Согласие с опытом получается тогда очень хорошим, за исключением случая соответствующего четырежды ионизованному азоту, когда приходится предположить, что электроны оболочки L движутся в разных плоскостях, т. е. имеет место вырождение.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление