Главная > Математика > Векторная алгебра
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. МЕТОД НЕПОДВИЖНОЙ СОБСТВЕННОЙ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА

Существование собственных систем отсчета позволяет нам ввести в качестве базиса неподвижный собственный репер. Изучение локальных деформаций собственного репера, взятого в произвольной пространственно-временной точке О, оказывается полезным при рассмотрении ряда общих проблем теории электрона. Такой метод можно применять лишь в рамках векторной интерпретации уравнения Дирака, и поэтому он специфичен для этого подхода.

С локальными деформациями базиса связан тензор вращений Q, составляющие которого задаются выражением

Мы увидим, что эти величины полностью определяются, если известны роторы векторов, образующих собственный репер, и в качестве следствия сможем определить тензор Тетроде, который играет важную роль в анализе общих проблем.

Итак, поместим начало отсчета в некоторую произвольную точку пространства-времени О, выбранную так, чтобы гарантировать общность рассмотрения. Взяв в качестве неподвижного базиса собственный базис в этой точке О, запишем уравнение Дирака (43). В точках, отличных от О (для них ), векторы собственного базиса всегда определяются согласно (48), т. е.

Для большей ясности будем постоянно придерживаться следующего соглашения: отмечать индексом 0 значения физических величин в начале системы отсчета О. Таким образом, поскольку обозначает сейчас собственный базис в точке О, и поэтому будет лоренцевым вращением, обеспечивающим переход от собственного базиса к собственному базису так что

Теперь представим R в виде

где а — скалярная функция, обращающаяся в точке О в нуль (т. е. другие свойства а уточним позже. Из свойства выводим, что и так как поскольку то, как нам известно, существует такой бивектор В, что

Следовательно, если то найдутся бивектор b, имеющий квадрат 1, и такие скаляры что

Из условия выводим, что

откуда с точностью до слагаемого, кратного Кроме того, S является суммой скаляра бивектора и псевдоскаляра

При этом и, значит,

так что

Точно так же и

значит,

Следовательно,

и так как - бивектор, то - вектор, — тривектор.

Аналогично, если то, разлагая экспоненту от В, получаем

Теперь вычислим . Отправляясь от выражения (54), получаем

и, так как величины — скаляры, они коммутируют с S. Таким образом,

поэтому в точке О, где получается выражение

Выберем теперь а так, что

здесь — значение вектор-потенциала в точке О.

Для этого достаточно выбрать в качестве скаляра а

Условие тогда тоже выполняется. Напомним, что

Возьмем волновую функцию F в канонической форме

и, пользуясь введенными обозначениями, подставим результаты проделанных выкладок в уравнение Дирака (43) для функции VF. Тогда

потому что векторный оператор антикоммутирует с i. Тем самым

Обозначив видим, что

Можно найти С, и воспользовавшись уравнением Дирака:

Таким образом, получаем равенство

и, значит, в уравнении Дирака явно выделено значение вектор-потенциала в точке О.

Совершим теперь предельный переход, устремляя аргументы всех функций в (56) к точке О, т. е. выпишем локальные соотношения между величинами. Тогда

Разложив левую часть этого равенства в окрестности точки О, имеем

Это уравнение распадается на векторную и тривекторную части:

Полученные уравнения вполне аналогичны уравнениям Лоренца и в точности совпадают с ними, если (или ) в некоторой окрестности точки О; в таком случае бивектор электромагнитного поля равен а вектор тока

Теперь можно вычислить градиенты векторов собственного базиса в точке О, т. е. величины и в результате найти градиенты векторов тока

Действительно, пользуясь соотношением

выводим

Записав выражение для второго слагаемого в виде

получаем

Однако условие требует, чтобы

и, следовательно,

В результате уравнение для преобразуется к виду

Его можно переписать, с учетом выражения для скалярного произведения, и так:

Но, поскольку бивектор, полученное уравнение можно разложить в систему двух уравнений:

Совершенно аналогично проводится вычисление так как

а коммутирует с Значит, можно получить уравнения

Напротив, вычисления несколько отличаются от предыдущих, потому что

Следовательно,

т. е., проделывая аналогичные преобразования, получим уравнение

которое можно разложить на два:

и

Точно так же проводятся вычисления они приводят к выражению

или

а также

Все полученные результаты (при ) можно свести в две общие формулы.

Для дивергенций общее выражение имеет вид

причем при последний член, очевидно, равен нулю. Вычисления показывают, что при он равен а при как и должно быть, получим —

Для роторов имеем формулу

и, стало быть, при последний член справа равен нулю. Кроме того,

т. е. при получаются ранее найденные выражения для роторов

Из этих формул можно вывести выражения для дивергенций и роторов векторов тока, потому что

и отсюда для дивергенций получаем

Первое слагаемое в правой части этого уравнения найдем, умножив скалярно на обе части (58). Тем самым

При получается условие сохранения нормировки волновой функции, так как

а при приходим к формуле Уленбека и Лапорта для дивергенции вектора спинового тока

Что касается общей формулы для роторов, то она переписывается в виде

В частности,

и столь же просто получить аналог этого выражения для так как вновь последний член в (61) будет равен нулю.

Формула (61) содержит величины но их можно исключить, умножая (61) на и проводя затем суммирование по Тем самым в правой части появится градиент который можно исключить с помощью уравнения (57). Преобразуем слагаемое

Последний член здесь равен нулю, так что

т. е. в результате имеем

После этого надо вычислить величину

предварительно можно ее преобразовать, разложив в сумму

Здесь первый член равен нулю, а для нахождения второго сначала выпишем выражение для затем отыщем скалярные произведения внутри квадратных скобок порознь для и просуммируем по Проделав эти вычисления, получим

Остается только при преобразовать выражение

находим, что оно равно

Подставляя в конце концов все эти результаты в уравнение (61), предварительно умноженное на ум, убедимся, что после суммирования по получится

Это уравнение естественным образом распадается на свою векторную и тривекторную части, и, таким образом, в нашем распоряжении оказываются два уравнения для роторов векторов тока, полученные с помощью техники векторной алгебры. Эти новые уравнения дополняют известные результаты для дивергенций.

Градиент поля частицы. С точностью до числового множителя, равного магнетону Бора, бивектор собственного поля частицы задается, как было указано выше, выражением

Для отыскания градиента сначала находим величину

это делается теми же методами, что и раньше, и особых трудностей не представляет.

Следовательно, можно будет поставить вопрос: при каком дополнительном условии эти поля т. е. плотности собственных моментов, удовлетворяют уравнениям Лоренца? Таким необходимым и достаточным условием оказывается обращение в нуль тривекторной части предыдущего выражения. Этот результат, в общем случае довольно сложный, значительно упрощается, когда (или ) в некоторой окрестности точки О. Указанное необходимое и достаточное условие тогда имеет вид

и в таком случае можно найти соответствующий вектор тока.

Тензор вращений. Компоненты этого тензора легко выразить через вращения собственной системы отсчета. В самом деле,

а так как

то, воспользовавшись (59), получим

В частности, при имеем

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление