Главная > Физика > Теория относительности
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 65. Теория Вейля

В ряде работ Вейль [349] развил чрезвычайно глубокую теорию, в основе которой лежит обобщение римановой геометрии; эта теория пытается свести все происходящее в физическом мире к явлениям тяготения и электромагнетизма, а эти последние — к метрике пространства. Поскольку теория Вейля содержит определенные высказывания о природе элементарных частиц, мы изложим здесь ее основы и полученные до сих пор результаты.

а. Чистая геометрия окрестности. Калибровочная инвариантность. Для того чтобы перейти от евклидовой геометрии к геометрии Римана. мы предположили в гл. И, что при переносе направления вектора из точки Р в точку Р путь перехода между этими двумя точками безразличен. Вейль делает следующий шаг, допуская подобную же зависимость от пути длины вектора при его переносе. При таком предположении возможно еще сравнивать длины, измеренные в одной и той же мировой точке, но уже нельзя сравнивать длины, измеренные в различных мировых точках. В соответствии с этим в теории Вейля измерения позволяют установить только отношения друг к другу, но не сами эти величины. Фиксируя сначала абсолютные значения каким-либо произвольным образом, определим квадрат длины масштаба выражением

если — разности координат его концов. (Мы будем говорить здесь и в дальнейшем для краткости о длине масштабов, но, конечно, в случае, времениподобного линейного элемента все сказанное следует относить к периоду часов.) Если мы перенесем теперь наш масштаб

вдоль определенной кривой из точки в точку то квадрат длины его при этом изменит свое значение. Мы постулируем, что это изменение происходит всегда на одну и ту же часть первоначального значения I:

где — определенная функция t, не зависящая уже от I, В качестве второй аксиомы примем, что зависит лишь от первых производных координат Так как, далее, уравнение (472) должно оставаться справедливым при любом выборе параметра t, то должна быть однородной функцией первой степени от . Мы можем еще уточнить вид этой функции, рассмотрев разъясненное в § 14 понятие параллельного переноса. Это понятие было введено в § 14 через посредство двух требований, из которых одно устанавливает неизменность компонент вектора при бесконечно малом параллельном переносе в соответственным образом выбранной системе координат, тогда как другое устанавливает неизменность длины вектора при параллельном переносе. Первое предположение мы можем сохранить неизменным; оно приводит к выражению (64), определяющему изменение компонент вектора:

где

Второе предположение, очевидно, теряет здесь смысл, так как два вектора в различных точках уже нельзя сравнить по длине. Вместо этого мы должны ввести требование, чтобы при параллельном переносе длина изменялась согласно (472):

    (473)

Используя (64), получаем сразу, что величина должна быть линейной формой

Только в этом случае, следовательно, возможен параллельный

перенос. Далее, учитывая, что

получаем

    (475)

Таким образом, коэффициенты связности геометрии Вейля отличаются от соответствующих коэффициентов Романовой геометрии. Мы будем всюду выражения для последних, получающихся из первых при отмечать звездочкой. Итак, если величины (69), то

    (476)

Мы установили абсолютные величины совершенно произвольно. Вместо системы величин мы могли бы с тем же успехом применить систему величин , где X — произвольная функция точки. Все элементы длины пришлось бы тогда умножить на X, и вместо мы получили бы согласно систему величин Установление множителя X, калибровки, в геометрии Вейля столь же произвольно, как и выбор координатной системы в римановой геометрии. Так же как в геометрии Римана мы требовали инвариантности всех геометрических соотношений и физических законов относительно любого преобразования координат, в геометрии Вейля мы должны потребовать сверх того еще инвариантности их относительно подстановок

т. е. относительно изменений калибровки (калибровочная инвариантность).

. Электромагнитное поле и метрика . Из (472) в результате интегрирования получаем

Если линейная форма представляет собой полный дифференциал, то длина вектора не зависит от пути, по которому он переносится, и мы возвращаемся к римановой

геометрии. Необходимым и достаточным условием для этого является равенство нулю выражений

В самом деле, в этом случае всегда возможно соответствующим выбором калибровки достичь того, чтобы вектор был равен нулю. В общем случае, однако, величины будут отличаться от нуля. Они образуют ковариантные компоненты бивектора, которые, сверх того, остаются неизменными при изменении калибровки по (477). Они удовлетворяют, далее, уравнениям

вытекающим из (479). Легко видеть, что соотношения (479), (480) совершенно одинаковы с уравнениями (206), (203) электронной теории. Аналогия, однако, идет еще дальше. Если стать (в противоположность утверждениям теории Ми) на ту точку зрения, что все электромагнитные явления первично обусловлены пространственно-временным распределением напряженностей полей, потенциалы же имеют лишь значение математических вспомогательных величин, то все значения потенциала приводящие к одинаковым напряженностям поля будут физически совершено равнозначными, так что в них всегда будет оставаться неопределенным градиент Но мы видели, что то же самое относится к метрическому вектору Таким образом, мы приходим вместе с Вейлем к отождествлению величин обоих типов: метрический, вектор определяющий согласно (478) изменение длины при перенесении, должен (с точностью до произвольного числового множителя) совпадать с электромагнитным 4 потенциалом. В теории Эйнштейна гравитационные эффекты внутренне связаны с поведением масштабов и часов, так что одно следует однозначно из другого; в теории Вейля то же имеет место в отношении электромагнитных действий. В этом смысле и гравитация, и электричество в теории Вейля являются следствиями метрики мира.

Эти представления Вейль вынужден, однако, несколько видоизменить. Именно, основные положения теории

непосредственно приводят, как подчеркнул Эйнштейн, к выводам, по-видимому, противоречащим опыту. Представим себе электростатическое поле, связанное с некоторым статическим -полем. Пространственные компоненты тогда исчезают, а временная компонента так же как не зависит от времени. Тем самым калибровка, с точностью до постоянного числового множителя, определена. Применив соотношение (478) к периоду покоящихся часов, получим

где а — коэффициент пропорциональности. Смысл этого уравнения заключается в следующем. Пусть двое идущих с одинаковой скоростью часов сначала находятся в точке с электростатическим потенциалом Пусть часы переносятся на время t секунд в точку с потенциалом и затем обратно в Результатом будет то, что скорость хода часов увеличится или уменьшится (смотря по знаку а и разности ) раз по сравнению со скоростью хода часов Этот эффект должен был бы особенно проявиться для спектральных линий того или иного определенного вещества, и спектральных линий определенной частоты вообще не могло бы существовать. Ибо даже если а мало, различие с течением времени должно согласно (481) произвольно возрастать. Вайду этого Вейль принимает следующую точку зрения. Идеальный процесс конгруэнтного переноса мировых отрезков в том виде, как он задается соотношением (472), не имеет ничего общего с реальным поведением масштабов и часов, метрическое поле не определяется непосредственно показаниями этих измерительных приборов. Таким образом, величины в противоположность линейному элементу теории Эйнштейна, принципиально не могут быть получены прямыми наблюдениями. Это — чрезвычайно большой недостаток. Он лишает с физической точки зрения теорию Вейля — хотя она не противоречит прямо опыту — ее внутренней убедительности. Так, связь мезкду электромагнетизмом и метрикой мира оказывается уже не физической, а чисто

формальной. В самом деле, между электромагнитными явлениями и поведением масштабов и часов в этом понимании теории уже нет непосредственной связи; такая связь имеется лишь между электромагнитными явлениями и идеальным процессом, математически определенным как конгруэнтный перенос вектора. Кроме того, связь между метрикой мира и электрическими явлениями имеет под собой лишь формальное, а не физическое основание, в противоположность связи между метрикой мира и тяготением, которая имеет в факте равенства инертной и тяжелой масс надежную эмпирическую опору и является необходимым следствием принципа эквивалентности и специальной теории относительности.

у. Тензорное исчисление в геометрии Вейля. Прежде чем перейти к построению законов поля, необходимо кратко изложить формальные правила составления калибровочно инвариантных уравнений. Очевидно, что понятие тензора должно быть в теории Вейля изменено таким образом, чтобы система уравнений, выражающих равенство нулю всех компонент какого-нибудь тензора, оставалась инвариантной не только при произвольном преобразовании координат, но епге и при произвольном изменении калибровки по (477). А именно, оказывается целесообразным называть тензорами лишь такие величины, которые при преобразовании (477) просто умножаются на т. е. на некоторую степень Н; называется весом тензора. Например, является тензором веса — тензором веса в четырехмерном мире имеет вес 2, величины согласно (64) или (476) абсолютно инвариантны относительно калибровки, т. е. их вес равен нулю.

Все те операции, в основе которых лежит только понятие параллельного переноса, могут быть, естественно, сразу перенесены в геометрию Вейля, с той разницей, что будут задаваться выражениями (66) и (476) вместо выражений (66) и (69). И здесь также геодезические линии могут быть определены требованием, чтобы касательные к ним оставались всегда параллельными самим себе; они по-прежнему удовлетворяют уравнениям (80). Уравнения (77а) ) должны быть, однако, по (472), (474) заменены уравнениями

Если, в частности, для одной из точек геодезической линии то ото равенство сохраняет силу повсюду. На этом основана возможность установления нулевых геодезических линий. Свойство геодезических линий быть кратчайшими в геометрии Вейля отпадает, поскольку понятие длины кривой оказывается в ней лишенным смысла. Далее, так же как в § 16, при помощи параллельного переноса вектора вдоль замкнутой кривой мы приходим к тензору кривизны

Написанные здесь компоненты имеют вес 0, а поэтому вес компонент есть 1. Соотношения симметрии для тензора кривизны геометрии Вейля, однако, иные, чем для риманова, определяемого согласно (92). Вейль исследовал его еще подробнее и вычислил выражение (86) для тензора кривизны в ямюм виде, подставив соотношенние Так же, как к § 17, и здесь мы можем получить свернутый тензор кривизны ковариантные компоненты которого имеют вес 0, а также инвариант R (95), вес которого равен —1. Наконец, все операции § 19 и 20 сохраняют силу и и тензорном анализе теории Вейля, если, во-первых, дифференцируемые компоненты тензоров и тензорных плотностей имеют нулевой вес, и, во-вторых, величины как выше, задаются выражениями (66) и (476). Легко заметить, что для доказательства большинства высказанных положений совершенно достаточно знать, что при помощи величин понятие параллельного переноса устанавливается по (64) инвариантным образом, снизь же с метрическими величинами не обязательно должна быть известной. В последних изложениях своей теории Вейль особенно подчеркивает это обстоятельство, предпринимая трехступенчатое построение геометрии. В первой ступени излагаются те положения, которые сохраняют свою справедливость в любом многообразии, во второй — соотношения, опирающиеся на понятие параллельного переноса («аффинной связи» по Вейлю), и, наконец, в третьей ступени — следствия существования обеих метрических фундаментальных форм: квадратичной (тяготение) и линейной (электричество). Соединение обоих этих, разделенных в старых теориях, явлений физики приводит, таким

образом, простым формальным путем к тому, что пели чины фигурируют одновременно в геодезических компонентах Г, а следовательно, в большинство других уравнении, инвариантных относительно калибровки.

Особую важность для физических применении имеют видоизменения, которые вносит теория Вейля в соображения о бесконечно малых координатных преобразованиях и об интегральных инвариантах, изложенные в § 23. Прежде всего, наряду с бесконечно малыми координатными преобразованиями вводятся бесконечно малые изменения калибровки. Для этих последних, но (477), при

    (482)

Таким образом, очевидно, что в теории Вейля лишь скалярные плотности 555 нулевого веса приводят к интегральным инвариантам . Соответствующие скаляры имеют тогда, благодаря множителю в четырехмерном мире вес —2. Скаляры этого рода будут поэтому играть в последующем важную роль. Среди них имеется четыре составленных рационально из компонент тензора кривизны:

Входящий в вариационный принцип теории Эйнштейна инвариант Н имеет, напротив, вес —1. Вейль указывает, что обстоятельство, т. е. тот факт, что соответствующие скалярные плотности имеют нулевой вес, отличает четырехмерный мир от метрического многообразия любого другого числа измерении. В самом деле, в этих последних по существует скалярных плотностей нулевого веса, построенных столь простым образом.

б. Законы поля и вариационный принцип. Физические следствия. Мы должны теперь отыскать калибровочно инвариантные законы природы. По Вейлю все явления природы должны быть сведены к электромагнитным и гравитационным действиям. Таким образом, мы будем иметь дело с 14 независимыми переменными

определяющими состояние. Но так как в добавление к инвариантности относительно преобразования координат мы должны требовать еще и инвариантности относительно изменения калибровки, то в общем решении уравнений поля мы будем иметь уже не четыре, а пять произвольных функций, вследствие чего и среди 14 уравнений поля пять окажутся тождествами. Мы увидим, что, как и в теории Эйнштейна, четыре тождества выражают закон сохранения энергии-импульса, а пятое тождество соответствует закону сохранения заряда.

Прежде всего мы должны попытаться сохранить уравнения Максвелла — Лоренца и отождествить материальный тензор энергии с максвелловским, а в уравнениях Эйнштейна просто заменить тензор кривизны римановой геометрии таким же тензором геометрии Вейля. Оказывается, однако, что лишь первая из этих двух задач осуществима. Исследуем сначала теорию Максвелла. Первая система уравнений Максвелла, как легко видеть, выполняется с самого начала. Поскольку напряженности поля — нулевого веса, то и контравариантные компоненты соответствующей тензорной плотности в четырехмерном мире обладают также нулевым весом. Уравнения

поэтому инвариантны относительно изменения калибровки. У равнения Максвелла остаются неизменными при замене . Теорема Бейтмана, согласно которой уравнения Максвелла инвариантны относительно конформных преобразований (§ 28), содержится в этом положении как частный случай. В самом деле, подобное преобразование переводит обычные значения компонент встречающиеся в специальной теории относительности, в значения Калибровочная инвариантность уравнений Максвелла связана с калибровочной инвариантностью интеграла действия из которого они выводятся. Заметим еще, что и упомянутое (в § 30, уравнение как случайное исчезновение следа максвелловского тензора энергии также вытекает из калибровочной инвариантности этого интеграла действия. Именно, варьирование этого интеграла дает, согласно § 55, если сохранять постоянными,

Если теперь исследовать условие, требуемое для того чтобы оставалось неизменным при бесконечно малом изменении калибровки то получим по (482) непосредственно что и требовалось доказать.

Совершенно иначе, чем с максвелловской теорией, обстоит дело с теорией Эйнштейна. Уже тот закон, согласно которому мировые линии материальных точек и световых лучей являются геодезическими, в общем случае не выполняется в теории Вейля. Материальная точка движется по геодезической линии лишь при отсутствии электромагнитных полей, а для светового луча уравнение геодезической линии теряет смысл, так как даже при отсутствии гравитационных полей члены, содержащие 4-потенциал вносят осциллирующие функции того же периода, что и световое колебание, в уравнение геодезической линии. Только калибровочно-инвариантное уравнение

нулевого конуса остается справедливым для мировых линий световых лучей. Попытка использовать в теории Вейля уравнения поля теории Эйнштейна, заменив в них тензор кривизны римановой геометрии более общим вейлевским тензором, терпит неудачу, потому что в уравнении

левая сторона имеет вес 0, а правая — вес —1; последнее легко видно на примере максвелловского тензора энергии. Причина же этого заключается в том, что интеграл действия на котором основаны уравнения поля Эйнштейна, не инвариантен относительно калибровки, ибо подынтегральная величина обладает в нем весом 1 вместо 0. Таким образом, если держаться принципа калибровочной инвариантности, то нужно отказаться от уравнений поля Эйнштейна. Последнее замечание указывает, однако, путь, которым можно прийти к калибровочно-инвариантным уравнениям ноля. Надо установить вариационный принцип

в котором интеграл инвариантен также и относительно отклонений в калибровке. Вообще, если при варьировании (принимая, что вариации на границах равны нулю)

то уравнения

суть законы природы. Отыскивая условия, при которых инвариантно относительно бесконечно малых преобразований координат и относительно бесконечно малых изменений калибровки, мы получим среди этих 14 уравнений пять тождеств:

как и требовалось из соображений причинности. Далее, из рассмотрения таких вариаций интеграла действия, которые не исчезают на границе, вытекает возможность построить из него определенным образом векторную плотность s и плотность аффинного тензора тождественно удовлетворяющие соотношениям

и не исчезающие в силу (486). Вейль называет поэтому 4-током, — компонентами энергии. Мы видим, что закон сохранения заряда в теории, Вейля фигурирует наряду с законом сохранения энергии как формально совершенно ему равноправный. Оба эти закона вытекают из законов природы, в результате чего среди этих последних оказывается пять необходимых тождеств. Компоненты полной энергии, которые, как и в теории Эйнштейна, составляют лишь аффинный тензор, т. е. ковариантны только относительно линейных преобразований, не могут уже больше Сыть разложены на две части, зависящие одна от тяготения, а другая — от собственно материи; таким образом, в теории Вейля вовсе нет тензора энергии-импульса материи Нельзя не признать, что вариационный принцип выражает эти зависимости значительно более простым и удобообозримым образом. Но мы могли бы, однако, добавить, что с физической точки зрения отнюдь не является само собой разумеющимся, что законы природы должны выводиться из вариационного принципа. Гораздо более естественно выводить законы природы из чисто физических требований, как было сделано в теории Эйнштейна (см. § 56).

Чтобы прийти к дальнейшим выводам, мы должны сделать специальные предположения о функции действия. Число возможностей здесь, впрочем, не так велико, как в теории Именно, тогда как в последней из любых инвариантов при помощи произвольной функции можно было получить новый инвариант; здесь это уже невозможно, поскольку инварианты должны быть веса —2, чтобы соответствующие скалярные плотности были нулевого веса. Поэтому, самое большее, лишь однородная функция первой степени этих инвариантов может привести к новой допустимой функции действия. Тем не менее многообразие Допустимых функций действия все еще остается значительным. Наиболее естественное предположение заключается в том, что инварианты действия построены рациональным образом из компонент кривизны. Согласно сказанному в пункте функция действия должна для этого являться линейной комбинацией инвариантов (483), Вычисление

приводит тогда сразу к справедливости уравнений Максвелла

а также к выражению

для четырехмерного тока (R — инвариант кривизны вейлевской геометрии, к — некоторая постоянная). Для статического случая отсюда вытекает

    (491)

В случае наличия зарядов эта постоянная, вообще говоря, не может равняться нулю. Если предположить, что она положительна, то положительная кривизна пространства и, следовательно, замкнутость мира следуют отсюда сами собой, без всякого добавления в уравнениях гравитационного поля особого Л-члена. Это обстоятельство представляет собой существенное достоинство теории Вейля. Наконец, что касается уравнений гравитационного поля, эти последние и в случае отсутствия электромагнитного ноля не совпадают с уравнениями Эйнштейна, как этого и следовало ожидать на основании всего изложенного выше; порядок этих уравнений выше второго. Можно, однако, показать, что в единственном практически важном случае статического, сферически-симметричного поля вокруг «материальной точки», т. е. в случае, с которым приходится иметь дело в задачах о движении перигелия Меркурия и искривлении световых лучей, гравитационное поле (421) теории Эйнштейна является также решением уравнений поля вейлевской теории. Следовательно, обе теории одинаково пригодны для истолкования движения перигелия Меркурия и искривления световых лучей в гравитационном поле.

Остается сказать о выводах теории Вейля, касающихся проблемы материи. Задача заключается снова в том, чтобы найти такие статические, сферически-симметричные решения уравнений поля, которые нигде не являются сингулярными. От функции действия, которая соответствует действительности, мы должны снова потребовать, чтобы она допускала только по одному такому решению

для каждого из двух видов электричества. В качестве существенно нового момента сравнительно с теорией Ми здесь, благодаря замкнутости мира, появляется требование регулярности не в бесконечности, а на «экваторе» мира. Таким образом, мы приходим к тому, чтобы ожидать связи между величиною мира и размерами электрона, что, впрочем, может показаться несколько фантастичным. Силы, удерживающие электрон целым, имеют здесь лишь частично электрическую природу, частично же являются гравитационными силами. Однако даже для особо подробно рассмотренных здесь предположений о функции действия дифференциальные уравнения настолько сложны, что интегрирование до сих пор не выполнено. Кроме того, дифференциальные уравнения эти одинаковы для обоих родов электричества (ср. § 67), так что действительные совершенно асимметричные соотношения, во всяком случае, передаются ими неверно (см. примеч. 21). Резюмируя, можно сказать, что теории Вейля до сих пор не удалось приблизиться к решению проблемы материи. Напротив, как подробнее будет разобрано в § 67, многое говорит за то, что решение проблемы материи вообще не может быть найдено на этом пути.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление