Главная > Физика > Теория относительности
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 31. Инвариантный принцип действия в электродинамике

После того как Пуанкаре ([14], R. Р.) убедился в инвариантности интеграла действия Шварцшильда [152] (см. также [132], § 9) относительно группы Лоренца (см. примеч. 10), Борн [153] применил четырехмерную векторную форму записи принципа действия, в результате чего последний приобрел очень наглядный вид.

Шварцшильд сначала образует интегрированием по пространству функцию Лагранжа

после чего получает функцию действия интегрированием по времени. Естественно объединить интегрирование по пространству и по времени введением четырехкратного интеграла ([14], R. Р.). Обозначая через L инвариант

можно записать удвоенную функцию действия в виде

Рассматриваемый принцип действия состоит в том, что при известных условиях вариация от IV равна нулю:

Эти условия таковы:

1. Интеграл W берется по определенной области четырехмерного мира; независимыми переменными являются компоненты четырехмерного потенциала, имеющие заданные значения на границах области интегрирования; четырехмерный ток т. е. мировые линии электрических зарядов и их величина, не варьируются. Согласно § 23 (см. (174) и (175)) при этом

и из (232) следует вторая система уравнений Максвелла (208). Первая система имеет место уже вследствие введения векторного потенциала, и, таким образом, ее существование предполагалось заранее.

2. Поле есть определенная функция координат четырехмерного мира и не варьируется; напротив, мировые линии материи должны варьироваться. Поэтому интеграл от L не вносит ничего в значение вариации; второй интеграл нужно сперва преобразовать. Если есть элемент заряда, относящийся к определенному элементу материи, и — собственное время соответствующей мировой линии, отсчитываемой от какой-либо начальной точки, то, учитывая (201), можно написать

Интегрирование ведется по мировому цилиндру, который получается, если на каждой мировой линии материи отложить одинаковую длину. Начальные и конечные точки мировых линий варьироваться не должны. Интегрируя по частям, получаем

или

Борн налагает на вариации мировых линий материи дополнительное условие

Согласно § 15, для мировой линии с направлением, везде времениподобным, как это и имеет место, при фиксированных концах и постоянных

Поэтому из (232) на этот раз получаем

где — постоянный мпояштель Лагранжа. Это соотношение совпадает с (221), если считать плотностью массы покоя. Как и в § 29, мы здесь отвлеклись от собственного поля рассматриваемой частицы.

Вейль [154] в отличие от Борна не накладывает дополнительные условия (235), но добавляет к функции действия член

и получает

Вследствие (234) и (236) отсюда также следует уравнение (221).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление