Главная > Физика > Теория относительности
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА II. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ

§ 7. Четырехмерный мир (Минковский)

Как было показано в предыдущей главе, постулаты относительности и постоянства скорости света приводят к инвариантности всех законов природы относительно группы Лоренца. Под группой Лоренца мы подразумеваем совокупность всех линейных преобразований, удовлетворяющих уравнению (II). Каждое такое преобразование может быть составлено из вращения координатной системы (к совокупности которых можно прибавить и отражение) и специального лоренцева преобразования типа (I). С точки зрения математики специальная теория относительности является теорией инвариантов группы Лоренца.

Ее основы заложены работами Мипковского [64], которому удалось придать этой теории очень изящную математическую форму, используя два обстоятельства.

1. Если ввести вместо обычного времени t мнимую величину то формальное поведение пространственных координат и координаты времени будет одинаковым в преобразованиях группы Лоренца и, следовательно, во всех законах природы, инвариантных относительно этой группы. Действительно, тогда характерный для группы Лоренца инвариант

переходит в

Поэтому представляется целесообразным с самого начала не разделять пространство и время, а рассматривать четырехмерное пространственно-временное многообразие, которое мы вместе с Минковским кратко будем называть миром.

2. Выражение (18) инвариантно относительно преобразования Лоренца и является квадратичной формой координат, что наводит на мысль рассматривать его как квадрат расстояния мировой точки от начала координат по аналогии с соответствующим квадратом расстояния в обычном пространстве. При этом в четырехмерном мире вводится геометрия (метрика), весьма родственная евклидовой геометрии. Полного совпадения обеих геометрий, однако, нет вследствие мнимости одной из координат. Например, две мировые точки, находящиеся на нулевом расстоянии друг от друга, не обязательно совпадают. В § 22 это будет разъяснено более подробно. Несмотря на это различие в геометрических свойствах, мы можем, однако, рассматривать лоренцево преобразование по аналогии с вращением координатной системы в как ортогональное линейное преобразование мировых координат и как вращение (мнимое) мировых осей. И, так же как обычные векторное и тензорное исчисления можно рассматривать как теорию инвариантов линейного ортогонального преобразования координат в теория инвариантов группы Лоренца принимает форму четырехмерного векторного и тензорного анализа. Мы можем, таким образом, сформулировать второй важный для теории момент следующим образом: вследствие того, что группа Лоренца сохраняет инвариантной квадратичную форму четырех мировых координат, теория инвариантов этой группы допускает геометрическое представление и оказывается естественным обобщением обычного векторного и тензорного исчисления на случай четырехмерного многообразия.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление