Главная > Методы обработки данных > Временные ряды. Обработка данных и теория
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

9.6. Рабочий пример

Рассмотрим оценки коэффициентов ряда главных компонент для временного ряда, имеющего размерность 14. Это ряд средних месячных температур, измеренных на одной американской и 13 европейских метеостанциях, упоминавшихся в гл. 1. При обсуждении теоремы 9.4.2 мы подчеркнули, что оценки могут иметь существенные отклонения, если матрица спектральной плотности ряда как функция сильно отличается от константы. По этой причине наш ряд был подвергнут предварительной фильтрации, удалившей эффекты сезонного изменения температуры. На рис. 9.6.1 представлены оценки спектра мощности ряда, прошедшего такую обработку; эти оценки рассчитывались по формуле (9.4.19) при

На рис. 9.6.2 изображены кривые для по-прежнему обозначает собственное значение матрицы оценивающей матрицу спектральной плотности. Поскольку мы не располагаем программой для вычислений на ЭВМ собственных значений и собственных векторов комплексных эрмитовых матриц, то практически рассчитывались с помощью леммы 3.7.1 по матрице с действительными элементами:

Кривые на рис. 9.6.2 спадают с ростом к в значительной степени так же, как кривые на рис. 9.6.1, изображающие спектр мощности. Согласно выражениям (9.4.18) и (9.4.20), стандартное отклонение этих оценок приближенно равняется

    (9.6.2)

На рис. 9.6.3 и 9.6.4 представлены величины оценок прироста и фазы для первых двух главных компонент. Для первой из них поразительным образом постоянны модули как функции к. За исключением Нью-Хейвенской станции, все они не близки к 0. Для большинства рядов фазы близки к 0 или одновременно. При интерпретации этого явления следует иметь в виду, что собственные векторы определены с точностью до множителя, равного по модулю единице. Именно поэтому на большинстве графиков 4 точки выступают из плавной кривой. Ряд первой главной компоненты, по-видимому, в значительной степени пропорционален усреднению по 13 европейским рядам, которое проводится без всяких временных задержек. Модули и фазы ряда второй главной компоненты содержат

(см. скан)

Рис. 9.6.1. Логарифмы оценок спектра мощности, построенных усреднением 51 периодограммы, для рядов средних месячных температур (без сезонной составляющей) на разных метеостанциях.

(см. скан)

Рис. 9.6.2. Логарифмы оценок спектра мощности рядов главных компонент.

(см. скан)

Рис. 9.6.3. Оценки прироста и фазы для ряда первой главной компоненты.

(см. скан)

Рис. 9.6.3 (продолжение).

(см. скан)

Рис. 9.6.3 (продолжение).

(см. скан)

Рис. 9.6.4. Оценки прироста и фазы для ряда второй главной компоненты.

(см. скан)

Рис. 9.6.4 (продолжение).

(см. скан)

Рис. 9.6.4 (продолжение).

Таблица 9.6.1. Десятичные логарифмы собственных значений матрицы (см. табл. 7.8.1) (см. скан)

более значительную ошибку и их труднее истолковать. Для Нью-Хейвена прирост имеет заметно большую величину при к, близких к 0. Рассуждения, приведенные в конце § 9.4 и упр. 9.7.7, позволяют предложить два варианта определения приближенных стандартных отклонений этих оценок.

В табл. 9.6.1 приведены значения десятичного логарифма собственных значений матрицы содержащихся втабл. 7.8.1. Соответствующие собственные векторы даны в табл. 9.6.2. Эти величины имеет смысл рассматривать, поскольку две указанные главные компоненты имеют явный характер. Изучая табл. 9.6.2, можно заметить, что первый вектор соответствует простому среднему 13 рядов, когда из общего числа 14 исключается ряд для Нью-Хейвена. Второй же собственный вектор соответствует главным образом данным Нью-Хейвена.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление