Главная > Методы обработки данных > Временные ряды. Обработка данных и теория
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6.12. Сравнение трех оценок импульсной характеристики

Пусть модель, рассматриваемая в этой главе, имеет более простой вид

    (6.12.1)

для некоторых конечных Это случай конечной зависимости от ряда Займемся сравнением трех часто используемых оценок коэффициентов а , а именно оценки из § 6.8, оценки наименьших квадратов и асимптотически эффективной линейной оценки.

Для начала заметим, что достаточно рассмотреть простую следующую модель:

    (6.12.2)

В самом деле, (6.12.1) можно представить в виде

    (6.12.3)

что имеет с увеличенным числом измерений.

В § 6.8 была принята следующая оценка а соотношения (6.12.2)

Из (6.6.4) следует

    (6.12.5)

так что ковариационная матрица приблизительно равна

    (6.12.6)

Частный случай модели (6.12.2) предполагает также использование метода наименьших квадратов, минимизирующего

    (6.12.7)

относительно и а, что приводит к оценке

    (6.12.8)

которую можно приблизить следующим образом:

Используя (6.12.5) для ковариационной матрицы (6.12.9), получим следующее приближение:

Заметим, что оценки (6.12.4) и (6.12.9) являются взвешенными средними значениями . Это предполагает использование в качестве дальнейшей оценки наилучшей линейной комбинации этих значений, что, согласно и выражению (6.12.5), представляется приблизительно в следующем виде:

    (6.12.11)

с ковариационной матрицей

    (6.12.12)

Учитывая вид выражений матричные разности будут неотрицательно определены. В случае когда близко к константе, что имеет силу, когда ряд ошибок является белым шумом и Г не слишком мало, формулы (6.12.9) и (6.12.11) показывают, что оценка наименьших квадратов будет эффективной оценкой . В случае когда близко к константе, формулы (6.12.4) и (6.12.11) показывают, что оценка а будет близка к оценке Hannan

(1963b, 1967a, 1970) рассматривал оценки для случайного ряда Grenander, Rosenblatt (1957), Rosenblatt (1959) и Hannan (1970) рассматривали эти оценки для фиксированных рядов

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление