Главная > Методы обработки данных > Временные ряды. Обработка данных и теория
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6.8. Оценивание импульсной характеристики

В предыдущем параграфе рассматривались вопросы оценивания передаточной функции . Теперь мы займемся задачей оценивания соответствующей функции импульсной характеристики . С использованием она задается выражением

    (6.8.1)

Пусть является оценкой и имеет рассмотренный ранее вид. Пусть также — последовательность положительных целых чисел, стремящаяся к вместе с Г. В качестве оценки а рассмотрим

    (6.8.2)

Заметим, что, пользуясь свойствами симметрии пределы суммирования в выражении (6.8.2) можно сократить до в членах . Заметим также, что оценка имеет период и поэтому, например,

    (6.8.3)

Может быть доказана

Теорема 6.8.1. Пусть удовлетворяет условию 2.6.1 и имеет среднее 0. Пусть , удовлетворяет условию 6.5.2. Допустим, что задано выражением (6.1.1), в котором для выполнено условие Пусть далее (а) удовлетворяет условию 6.5.1, а задается выражением (6.8.2). Тогда

    (6.8.4)

Мы видим, что при больших и малых математическое ожидание представляет собой по существу желаемое . Из этой теоремы вытекает

Следствие 6.8.1. Если выполнены условия теоремы 6.8.1 и при то является асимптотически несмещенной оценкой.

Обратимся теперь к изучению моментов второго порядка оценки Прежде всего определим

а после этого

    (6.8.6)

Это выражение ограничено при тех условиях, которые мы считаем выполненными. Верна

Теорема 6.8.2. Если выполнены допущения теоремы 6.8.1 и при , то

    (6.8.7)

Заметим, что из (6.8.6) следует, что асимптотически ковариационная матрица не зависит от и. Кроме того, асимптотически ковариационная матрица зависит от разности поэтому можно рассматривать в некотором смысле как процесс, имеющий ковариации стационарного временного ряда. Переходя к пределу, мы получим

Следствие 6.8.2. Если выполнены условия теоремы 6.8.2 и при , то является состоятельной оценкой .

Что касается совместного поведения то верна

Теорема 6.8.3. В допущениях теоремы 6.8.1

    (6.8.8)

Мы видим, что асимптотически некоррелированны при всех и, Я. Для предельного распределения верна

Теорема 6.8.4. Если выполнены условия теоремы 6.8.1 и при , то асимптотически нормальны и имеют ковариационную структуру, задаваемую выражениями (6.6.10), (6.8.7) и (6.8.8).

В теореме 6.8.2 мы требовали, чтобы Из выражения (6.8.7) видно, что мы должны брать столь большим, на» сколько это возможно. Представляется разумным выбор поскольку в данном случае дисперсия а асимптотически имеет порядок Однако при этом мы не сможем из выражения

(6.8.7) выделить главный член. В случае же пре обладающим в (6.8.7) является первый член. В итоге мы можем асимптотически сравнить порядок этой дисперсии с порядком дисперсии величины

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление