Главная > Методы обработки данных > Временные ряды. Обработка данных и теория
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4.8. Упражнения

4.8.1. Пусть векторы и V имеют совместное нормальное распределение. Пусть также Докажите, что компоненты вектора Y независимы, если матрица диагональна.

4.8.2. Докажите, что если величина Y имеет распределение то распределением будет для любой -матрицы А. Выведите отсюда, что если элементы Y представляют собой независимые -распределенные величины и А есть унитарная -матрица, то элементы также будут независимыми величинами с распределением . Выведите также, что маргинальное распределение многомерного нормального комплексного распределения является нормальным.

4.8.3. Покажите, что если X имеет распределение то величины независимы.

4.8.4. Докажите, что если W имеет распределение то распределено как

4.8.5. Докажите, что если W имеет распределение то Докажите также, что

4.8.6. Докажите, что если W имеет распределение где — невырожденная матрица, то будет величиной с распределением .

4.8.7. Пусть Y имеет распределение и

где - эрмитова матрица ранга Докажите, что необходимое и достаточное условие, для того чтобы формы были независимы и имели нецентральное

хи-квадрат распределение состоит в том, чтобы

4.8.8. Пусть матрица W, имеющая распределение представлена в виде

где имеют соответственно размеры Допустим также, что представлена аналогичным образом. Докажите, что матрица будет распределена как

Докажите, что если , то величина имеет распределение и не зависит от

4.8.9. Пусть Y имеет распределение Докажите, что справедливо равенство

а при эта величина равняется

где обозначает алгебраическое дополнение размера [Goodman, Dubman (1969)].

4.8.10. Пусть стационарный процесс с конечными моментами, такой, что для некоторого положительного Т. В таком случае называется периодическим процессом. Докажите, что

для целых таких, что

4.8.11. Докажите, что при для стационарной гауссовской последовательности выполняется равенство

4.8.12. Пусть есть векторный -компонентный белый шум. Обозначим

Докажите, что если задается формулой (4.3.13), то

4.8.13. Пусть есть векторный -компонентный стационарный ряд, удовлетворяющий условию (4.3.6). Положим Покажите

что для величины задаваемой выражением

4.8.14. Предположим, что выполнены условия теоремы 4.3.2 и величина определяемая формулой (4.3.3), допускает при некотором конечном К и , оценку

Докажите, что тогда

4.8.15. Пусть есть -компонентный векторный ряд. Допустим нам известен отрезок наблюдений . Докажите, что является достаточной статистикой.

4.8.16. Докажите, что при выполнении условий теоремы 4.6.1 величина непрерывна в среднем порядка v для любого

4.8.17. Пусть Y является -компонентной векторной случайной величиной с ковариационной матрицей Определите, какая линейная комбинация имеет наибольшую дисперсию.

4.8.18. Используя 3.10.15, обобщите рассуждение § 4.7 на случай векторных рядов.

4.8.19. Докажите, что при выполнении условий теоремы 4.4.2 величина сходится по распределению при к величине, равномерно распределенной в интервале , если Каким будет предельное распределение в случае

4.8.20. Предположим, что выполнены условия теоремы 4.4.2. Допустим также, что функция определяемая формулой (4.3.3), при некотором конечном допускает оценку

Предположим еще, что при при Докажите, что тогда к применимо заключение теоремы 4.4.2.

4.8.21. Пусть Покажите, что справедливо

равенство

где задается формулой (4.3.2).

4.8.22. Пусть — последовательнобть независимых нормально распределенных величин с нулевым средним и дисперсией Положим

Покажите, что для таких целых s, что величина имеет распределение

Найдите распределение величины Найдите распределение для

4.8.23. Пусть есть -компонентный векторный ряд, удовлетворяющий условию 2.6.1. Пусть функции удовлетворяют условию 4.3.1. Положим

где . Покажите, что являются асимптотически (при независимыми -распределенными величинами, если и асимптотически распределенными величинами, если

Указание. Этот результат немедленно вытекает из теоремы 4.4.2, если переопределены надлежащим образом.

4.8.24. Покажите, что если X имеет распределение эрмитова -матрица, то распределено как где

собственные значения матрицы

— независимые -распределенные величины.

4.8.25. Пусть — независимые -распределенные величины. Покажите, что являются оценками максимального правдоподобия для и S [Giri (1965)].

4.8.26. Покажите, что -распределенная величина, для которой может быть представлена в виде , где

Выведите отсюда, что действительная часть такого комплексного распределения Уишарта имеет распределение

4.8.27. Используя функцию плотности (4.2.9), покажите, что -распределенную величину W можно представить как где X, Y — нижние треугольные матрицы, т. е. имеющие одни нули над главной диагональю, - - независимые -распределенные величины и — независимые -распределенные величины.

4.8.28. При тех же условиях, что и в упр. 4.8.25, покажите, что имеет распределение где обозначает нецентральное хи-квадрат распределение с степенями свободы и параметром центральности , a обозначает независимое от него центральное хи-квадрат распределение с степенями свободы [Giri (1965)].

4.8.29. Покажите, что при выполнении условий теоремы 4.4.2 предельное распределение не изменится, если опустить любое конечное число величин из ряда .

4.8.30. Пусть W имеет распределение Покажите, что

где суммирование ведется по всем таким перестановкам Р множества что Р не оставляет на месте никакое собственное подмножество множества Покажите также, что число таких перестановок будет

4.8.31. Пусть W имеет распределение Покажите, что

получающихся в результате всех замен при здесь Р — перестановки, описанные в предыдущем упражнении. Покажите, что общее число слагаемых будет равно

4.8.32. Пусть W имеет распределение Покажите, что функция плотности величины задается формулой

где — модифицированная функция Бесселя второго рода порядка [Pearson и др. (1929), Wishart, Bartlett (1932)].

4.8.33. Пусть W имеет распределение

(a) Покажите, что плотность величины отношению к задается формулой

(b) Покажите, что плотность величины задается формулой

где

(c) Покажите, что величина имеет плотность

(d) Покажите, что плотность величины имеет вид

где

(e) Покажите, что плотность величины равняется

где - модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка.

Все плотности, приведенные в этом упражнении, получены в работе Goodman (1937).

4.8.34. Пусть - стационарная гауссовская последовательность с нулевым средним и спектром мощности Покажите, что представление Крамера можно записать в виде

где — комплексный процесс броуновского движения, такой, что .

4.8.35. Предположим, что ряд задается формулой (2.9.15). Покажите, что его можно записать, используя представление Крамера ряда , следующим образом:

4.8.36. (а) Пусть W имеет распределение суть -компонентные векторы. Покажите, что

(b) Пусть W имеет распределение и а, р, у, 6 суть комплексные -компонентные векторы. Покажите, что

4.8.37. Пусть действительный ряд с нулевым средним, удовлетворяющий условию 2.6.1. Пусть — неотрицательное целое число. Тогда теорема 2.9.1 показывает, что ряд также удовлетворяет условию 2.6.1. Используя это, а также теорему 4.4.1, покажите, что

является асимптотически нормальной величиной со средним и дисперсией

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление