Главная > Разное > Стохастические модели социальных процессов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.3. ИЗМЕРЕНИЕ МОБИЛЬНОСТИ

Часто удобно иметь скалярную меру мобильности, которая позволяла бы нам сравнивать различные сообщества людей и характеризовать изменения мобильности в рамках одного сообщества. В прикладных работах были предложены многочисленные дескриптивные меры мобильности. Некоторые примеры приведены у Матраса (1960b), а полное их рассмотрение содержится в работе Будона (1973). Полезный обзор мер приведен в работе Бибби (1975). Мы не ставим своей целью дать полное изложение этой темы, а хотим только показать, как стохастическая теория соотносится с проблемой измерения. Будем предполагать, что мобильность адекватно описывается марковской моделью, и при этом предположении поставим вопрос о том, как надо измерять мобильность.

Поскольку движение полностью определяется переходной матрицей Р, вся информация о мобильности содержится в ее элементах. Таким образом, наша задача, поставленная формально, состоит в том, чтобы отобразить множество переходных матриц на некоторый подходящий интервал так, чтобы упорядочить их по степени мобильности.

Этот вопрос был в значительной степени выяснен в двух теоретических построениях, данных Шорроксом (1978), а также Соммерсом и Конлиском (1979). Последующее рассуждение основывается главным образом на этих работах, но мы построим его с учетом некоторого различия в понятиях «мировой мобильности», по-видимому, до сих пор не замеченного. Суть вопроса может быть показана при рассмотрении специального случая Возьмем три матрицы:

На одном конце этой шкалы нет неясностей. Матрица (а) соответствует некоторому сообществу, в котором нет никакого движения. Ясно, что эта матрица должна быть помещена на одном конце нашей шкалы измерений. Различие, которое мы хотим установить, становится ясным, когда мы рассматриваем другой конец шкалы. Здесь имеются две возможности, представленные матрицами (б) и (в). Матрица (б) соответствует тому, что Прайс (1955а) назвал совершенно мобильным обществом. Его отличительная черта состоит в том, что социальная группа сына не зависит от группы его отца. Для общего случая всякая матрица, имеющая одинаковые строки, будет обладать таким же свойством. Если мы измерим степень, до которой группа сына определена группой отца, то станет ясно, что (а) и (б) принадлежат к противоположным концам шкалы. Случай же (в) можно объединить с (а), так как при (в) и (а) группа сына полностью определяется группой его отца. Рассматриваемый случай мобильности часто представляет наиболее существенный интерес, поскольку именно он показывает, до какой степени благоприятные возможности сына ограничены случайностью рождения. Было бы меньше путаницы, если бы этот тип мобильности характеризовал степень зависимости между поколениями или степень глобальной временной зависимости (связи поколений).

Понятие «мировая мобильность» используется также и в другом смысле, когда говорят о количестве имеющих место перемещений. Если мы хотим измерить количество перемещений, то матрица (в) диаметрально противоположна матрице (а). В одном случае двигается каждый, в другом не двигается никто. На практике это различие не очень четкое и почти не имеет значения благодаря тому, что наблюдаемые переходные матрицы всегда лежат где-то между (а) и (б). Тем не менее, устанавливая критерии, по которым следовало бы оценивать мобильность, как это делает Шоррокс (1978), важно хорошо знать, какого рода мобильность мы намереваемся измерять.

Вторая особенность таблиц мобильности, которую часто упускают из виду, состоит в том, что группы могут иногда быть упорядочены по статусу, а иногда нет. Если группы упорядочены, то движению между

смежными группами можно придавать Меньший вес, чем движению между далекими группами. Такое соображение учитывается, когда пытаются измерить количество перемещений, но часто в случае исследования связи между поколениями этого делать не стоит.

В общем случае показатели мобильности различны, тогда как при они совпадают иногда. Поэтому мы начнем с общего случая, отмечая по ходу дела специфику ситуации, когда

Измерение зависимости между поколениями

Сначала мы рассмотрим задачу, как измерять степень, с которой группа сына зависит от группы отца. Метод такого измерения основан на спектральном разложении переходной матрицы. Если Р — стохастическая матрица, то ее можно представить в виде

Матрицы известны как спектральное множество, они обладают следующими свойствами:

Коэффициенты являются собственными значениями матрицы Р, и так как Р представляет собой стохастическую матрицу, одно собственное значение равно единице, а остальные меньше единицы или равны ей по модулю. Следовательно, мы можем их упорядочить так, что и записать (2.21) в виде

где Последний шаг обусловлен тем фактом, что (2.23) дает

а мы знаем из (2.7), что эта предельная матрица имеет тождественные строки с элементами, равными элементам установившейся структуры матрицы Р.

Анализ (2.23) показывает, что если то Р имеет тождественные строки, указывающие на отсутствие зависимости между поколениями. Следовательно, степень зависимости может быть измерена тем, насколько сильно Р отличается от Один из способов измерения этого отличия состоит в построении подходящей функции от 0. Были предложены три таких меры, их мы теперь рассмотрим по порядку.

Первая, предложенная Шорроксом (1978), а также Соммерсом и Конлиском (1979), основана на использовании второго наибольшего

по абсолютной величине значения . Обозначим его тогда мерой будет функция

Она может изменяться между 0, когда нет зависимости, и 1. Чем больше величина тем сильнее зависимость группы сына от группы отца, и, следовательно, тем меньше в этом смысле степень социальной мобильности. Этой мере могут быть даны разнообразные интерпретации. Шоррокс (1978), например, показывает, что она является функцией того, что он называет периодом полураспада, который в данном контексте является числом поколений на временном интервале (подходящим образом определенном) между текущей и установившейся структурой, поделенном пополам. Недостаток функции к которой мы вернемся, состоит в том, что второе по величине собственное значение матрицы Р может оказаться мнимым.

Вторая мера может быть основана на среднем значении

Так как сумма собственных значений матрицы Р равна сумме ее диагональных элементов, можно записать:

где след матрицы Как и ранее, эта величина равна нулю, когда нет зависимости между поколениями, и возрастает до единицы, когда сын обязательно идет по стопам отца, т.е. в неподвижном сообществе людей. Эта мера может также принимать отрицательные значения, причем минимум имеет место, когда каждая группа сына отличается от группы его отца. Знак может, таким образом, быть использован для различия между тем, что можно было бы назвать «положительной» и «отрицательной» зависимостью.

Вместо среднего арифметического значения всех 0 мы могли бы воспользоваться средним геометрическим их модулей. Это дает меру

Произведение всех собственных значений равно детерминанту матрицы Р (напомним, что следовательно, можно написать:

За исключением возможной разницы в знаке, все эти меры эквивалентны при . Для мера страдает тем недостатком, что она достигает своего минимального значения, равного нулю, если какие-либо две строки являются тождественно равными. Следовательно, эта мера не может установить различия независимости между поколениями для одной пары групп и для всего их множества.

Соммерс и Конлиск (1979) предложили вариант , который позволяет обойти трудности, обусловленные мнимостью собственных значений. Они предложили заменить Р на

где Легко проверить, что Р имеет ту же предельную структуру, что и Р. Марковская цепь с матрицей Р обратима, так как удовлетворяет условию

Преимущество Р состоит в том, что ее собственные значения всегда действительны. Соммерс и Конлиск (1979) привели несколько аргументов в пользу этой модифицированной меры, но с практической точки зрения она вряд ли необходима. Мы уже отмечали, что условие обратимости почти удовлетворяется для данных Гласса и Холла, поэтому неудивительно, что в этом случае . В 19 других случаях, для которых Соммерс и Конлиск вычислили эти две меры, разница между ними была минимальной.

Меры количества перемещений

Простейшей мерой количества перемещений является ожидаемая доля семейных линий, для которых меняется группа от одного поколения к следующему. За период от Т до эта величина равна

Однако в этом случае нарушено требование, чтобы мера зависела только от Р.

Поскольку изменяется с Т, величина этой меры зависит от Т, даже если Р остается постоянным. Чтобы избежать этого, можно вычислить эту меру для системы в равновесном состоянии, заменяя на что дает

Эта мера учитывает все возможные переходы и не учитывает упорядочивания групп. Если группы упорядочены, то представляется целесообразным придать переходам между удаленными группами больший вес, чем переходам между близкими группами. Так как переход из группы 1 в группу 3, например, можно представить себе выполненным в два этапа — из группы 1 в группу 2 и из группы 2 в группу 3, то предлагается использовать в качестве весов число пересечений границ групп. Тогда предлагается положить в основу меры

что является ожидаемым числом пересечений границ групп от данного момента времени до следующего, когда система находится в установившемся состоянии. Удобно, когда мера принадлежит интервалу (0, 1), поэтому разделим это выражение на величину его наибольшего возможного значения. Наибольшее количество перемещений наблюдается, когда каждая семейная линия перемещается на первом шаге к одной из крайних групп. Соответственно этому они будут изменяться между двумя диаметрально противоположными группами, пересекая в этом процессе границ. Таким образом, мы определяем

Сообщество людей, в котором нет детерминированной зависимости между поколениями, не дает единственного значения любой из мер, да иначе и не может быть. Если эквивалентны, при отсутствии зависимости между поколениями легко показать, что

Следующий пример дает представление о качестве для и о разнице между ними. Предположим, генеральная совокупность I имеет переходную матрицу

Легко убедиться, что предельная структура есть (7/28, 9/28, 12/28); генеральная совокупность II имеет переходную матрицу

с предельной структурой (16/56, 21/56, 19/56). Для генеральной совокупности I

а для генеральной совокупности II

Таким образом, количество перемещений в генеральной совокупности I существенно выше, чем в генеральной совокупности II при измерении с помощью но положение меняется на противоположное при использовании . Это отражает большую степень движения к крайним группам в генеральной совокупности I.

Можно обобщить (2.32), введя вместо произвольные веса, но тогда простая интерпретация в терминах чисел пересечения границ групп будет утрачена. Тем не менее такой подход установил бы связь с другим классом мер, основанных на идеях корреляции. Соммерс и Конлиск (1979) впервые предложили, чтобы группы были расположены на некоторой шкале статуса. Тогда будет показателем статуса для всех членов группы . В этом случае возможной мерой количества перемещений является коэффициент корреляции между показателями статуса групп отца и сына. Большое положительное значение корреляции относилось бы к малому количеству перемещений, тогда как большое отрицательное значение корреляции указывало бы на высокую степень мобильности. Мера количества перемещений имеет интересную и полезную особенность, состоящую в том, что отсутствие зависимости между поколениями всегда соответствует нулевой точке на шкале. Это и неудивительно, поскольку даже в более очевидном смысле она измеряет зависимость группы сына от группы отца.

Не теряя общности, мы можем выбрать шкалу для показателя х так, чтобы он имел нулевое среднее значение и единичную дисперсию, и как прежде будем считать, что система находится в установившемся состоянии. В этом случае коэффициент корреляции равен:

так как число семейных линий, у которых отец в группе i, а сын в группе пропорционально Пользуясь тождеством получаем

Если теперь сравнить (2.34) с (2.32), то можно увидеть, что единственное существенное различие в определении меры состоит в замене на Таким образом, является естественным обобщением . Проблема использования заключается, конечно, в том, чтобы найти подходящую шкалу для измерения социального статуса. Соммерс и Конлиск (1979) предложили так выбирать чтобы

максимизировать (2.34) с учетом требования нулевого среднего и единичной дисперсии. Если группы упорядочены так, что можно ввести ограничение на среднее и дисперсию в задачу максимизации, применяя другие методы (см. Барлоу и др., 1972). Привлекательность несколько уменьшается из-за относительной трудности вычислений и весьма сложной интерпретации максимизированной корреляции.

Другие подходы

Всякая попытка ввести некоторую числовую (скалярную) меру, основанную на объединении всей информации, содержащейся в переходной матрице, ведет к чрезмерному упрощению. Более подробную картину процесса перемещений можно получить, жертвуя, конечно, простотой, если ввести вместо одного числа набор чисел. Прайс (1955а) высказал некоторые предложения, как увеличить множество мер. Одцо из них основано на продолжительности пребывания в каждой группе. Распределение длительности пребывания в группе i для марковской модели является геометрическим со средним значением . В мобильном обществе пребывание в данной группе короче, чем в немобильном. Чтобы судить о том, является ли среднее значение большим или малым, нужен некоторый эталон для сравнения. Прайс предложил воспользоваться средними значениями для соответствующего общества без зависимости между поколениями. Он сравнил среднюю длительность пребывания для сообщества с переходной матрицей Р и длительность для сообщества с матрицей Для данных Гласса и Холла отношение первого к последнему варьировалось между 1,11 для группы 4 и 1,59 для группы 1.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление