Главная > Разное > Стохастические модели социальных процессов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.2. МАРКОВСКИЕ МОДЕЛИ СОЦИАЛЬНОЙ МОБИЛЬНОСТИ

Основная модель

Сначала мы рассмотрим очень простую модель развития отдельной семейной линии, а затем в последующих разделах изучим последствия устранения некоторых наименее реальных ее особенностей. Основное требование к модели состоит в том, что она должна указывать направление изменений, происходящих в социальной группе. Мы предположим, что эти изменения определяются вероятностями перехода, не зависящими от времени. Пусть — вероятность того, что отец принадлежит группе i, а его сын — группе поскольку система замкнута, то

где k — число групп. Обозначим через Р матрицу вероятностей переходов. Если рассматривать такие семейные линии, в которых отец имеет только одного сына, то история семьи (семейной линии) будет цепью Маркова. Рассматривая общество как совокупность таких семейных линий, мы сможем делать заключения об изменении структуры общества. На практике же требование, чтобы каждый отец имел только одного сына, не выполняется. В результате некоторые семейные линии обрываются, а другие ветвятся. Однако в популяции, размер которой остается постоянным в течение некоторого периода времени, каждый отец будет иметь в среднем одного сына. Можно предположить, что наши результаты для простой модели должны быть применимы в усредненном смысле в некотором реальном обществе такого рода. Позже мы дадим более четкое обоснование этому рассуждению и покажем, что сделанное нами предположение выполняется.

Допустим, вероятность того, что первоначальный прародитель семейной линии принадлежит группе в нулевой момент времени равна Пусть вероятность того, что потомок семьи в момент времени принадлежит группе равна Тогда вероятности могут быть рассчитаны рекуррентно на основании того, что

В матричной форме эти уравнения можно записать следующим образом:

где Повторное применение (2.2) дает

Элементы можно также интерпретировать как ожидаемые доли генеральной совокупности по различным группам в момент времени Т. Если первоначальные группы данной семьи известны, то вектор представляет собой исходную структуру групп.

Матрица играет основополагающую роль в теории цепей Маркова. Эту матрицу можно использовать для получения из (2.3) вероятностей «состояния», но ее элементы имеют также и непосредственную вероятностную интерпретацию. Пусть обозначают элемент матрицы тогда (2.3) можно переписать в виде

Из такого представления ясно, что есть вероятность того, что семья переходит из группы i в группу через Т поколений. Случай представляет особый интерес, поскольку вероятности можно принять за основу измерений мобильности.

Во многих приложениях данная генеральная совокупность сохранялась в течение многих поколений, так что «текущее» состояние соответствует большому значению Т. Следовательно, большой практический интерес представляет исследование поведения вероятностей

при T, стремящемся к бесконечности. В общей теории цепей Маркова показано, что такое предельное поведение зависит от структуры матрицы Р. Можно показать, что если матрица Р регулярна то при Т, стремящемся к бесконечности, все эти вероятности стремятся к некоторым пределам. Регулярная (конечная) цепь Маркова — это такая цепь, в которой после некоторого числа Т поколений возможно любое состояние (класс) независимо от начального. Точнее, для того чтобы цепь была регулярной, необходимо и достаточно, чтобы все элементы матрицы для некоторого Т были отличны от нуля. Все матрицы вероятностей переходов, которые могут встретиться в данной книге, регулярны, но позже мы встретим примеры, матрицы в которых не обладают таким свойством.

Как только установлено существование пределов, непосредственной задачей становится их вычисление. Таким образом, если мы обозначим через то из (2.2) следует, что предельная структура должна удовлетворять соотношению

при

Таким образом, предельную структуру, или распределение, можно получить, решив некоторую систему уравнений. Важным свойством такого решения является то, что оно не зависит от начального состояния системы. Поскольку в силу наших предположений каждая сохранившаяся семейная линия достигает равновесия, заданного (2.5), вектор дает ожидаемую структуру генеральной совокупности в настоящее время. Если кроме этой структуры ничего не наблюдается, то у нас нет никаких средств восстановления переходной матрицы. Действительно, мы не можем вывести матрицу Р из двух последовательно наблюденных структур хотя Уайт (1963) и Матрас (1967) изучали вопрос о том, какую неполную информацию можно получить в подобных условиях. Предельное значение обозначенное может быть получено из (2.3). Оно должно удовлетворять соотношению

которое может быть выполнено, если

что означает

Если наша модель дает адекватное описание реальных обществ, то предшествующий анализ показывает, что их будущее развитие зависит только от исходной структуры и матрицы вероятностей переходов. Из этих двух факторов влияние исходной структуры с течением времени постепенно исчезает. Следовательно, по истечении достаточно продолжительного времени структура общества определяется только переходной матрицей. Этот вывод означает, что исследование мобильности должно быть сосредоточено на вероятностях перехода. В частности, меры мобильности должны быть функциями элементов матрицы Р. Прежде чем продолжать обуждение этого положения, следует проверить адекватность модели, пользуясь реальными данными о мобильности.

Опубликовано несколько эмпирических исследований мобильности, которые содержат достаточное для частичной проверки теории количество данных. Одно из таких исследований, выполненное Глассом и Холлом (Гласс, 1954), основано на случайной выборке 3500 пар отцов и сыновей в Великобритании. Другое исследование, выполненное Н. Роговой (1953), основано на данных из заявлений на получение свидетельств о браке в округе Марион (штат Индиана). Рогова получила данные о двух периодах: один — с 1905 по 1912 г. при объеме выборки 10 253; второй — с 1938 по 1941 г. при объеме выборке 9892. Более поздние данные, относящиеся к Дании, приведены в исследовании Свалагосты (1959).

Данные Гласса и Холла использовались Прайсом (1955а), и материал настоящего раздела взят из его статьи. Гласс и Холл разделили

Таблица 2.1. Оценки вероятностей переходов для Англии и Уэльса в 1949 г. (по данным Гласса и Холла)

(см. скан)

Таблица 2.2. Действительное и равновесное распределения социальных групп в Англии и Уэльсе (1949 г.) оцененные по данным Гласса и Холла

членов их выборки на семь профессиональных групп, представленных в табл. 2.1, в которой содержатся также оценки вероятностей переходов.

В первых двух столбцах табл. 2.2 приведена структура группы населения в двух последовательных поколениях. Если марковская модель адекватна и если общество достигло равновесия, можно предположить, что эти распределения одинаковы, за исключением флуктуаций в выборке. Можно также предположить, что оба эти распределения соответствуют распределению равновесия, полученному из (2.5). Прайс (1955а) выполнил расчеты, необходимые для такого сравнения, и его результаты представлены в табл. 2.2.

Различия между этими тремя распределениями невелики, хотя, по-видимому, имеется сдвиг в сторону более низких групп по мере движения вдоль таблицы. Если этот сдвиг не является просто результатом флуктуаций в выборке, то его можно принять за показатель того, что процесс еще не достиг равновесия. Другое возможное объяснение приводится ниже. Исчерпывающего ответа на вопрос об ошибке выборки нет, но первый шаг в направлении решения этой проблемы дает теория выборки, которая будет изложена позже. Хотя мы, пользуясь этими данными, не можем выполнить полностью проверку модели, представляется, что между данными и предсказаниями теории имеется широкое соответствие.

Данные Н. Роговой приводят к аналогичным выводам относительно применимости теории марковских цепей к социальной мобильности. Она получила информацию о двух группах данных, разделенных 30-летним периодом времени, так что мы можем посмотреть, произошло ли сколько-нибудь существенное изменение вероятностей переходов за этот период. Две переходные матрицы даны в табл. 2.3.

Мы следовали Кемени и Снеллу (1976) в использовании грубой группировки вместо разбивки, приведенной Роговой. С учетом ошибки выборки видим, что за данный период времени произошли изменения в переходной матрице. Однако эти изменения невелики, и мы будем предполагать, что не будет большой ошибкой считать их постоянными для достаточно коротких периодов времени.

Никакой набор данных не позволяет нам выполнить прямую проверку марковского свойства. Это свойство требует, чтобы группа сына зависела только от группы отца и не зависела от группы его деда. Чтобы проверить это условие, нам нужны записи истории семьи, по крайней мере, за три поколения. Косвенное подтверждение этого предположения обеспечивается близостью между равновесной структурой

Таблица 2.3. Вероятности переходов, оцененные по данным Н. Роговой для округа Марион, штат Индиана

групп, предсказанной теорией Маркова, и наблюденной структурой групп.

Теоретически есть основания считать, что процессы социальной мобильности не обладают марковским свойством. Это объясняется тем фактом, что границы группы очерчены произвольно. Так, например, мы могли бы еще подразделить те семь категорий, которые использовались Глассом и Холлом. В то же время некоторые группы можно было бы объединить и получить меньшее число категорий. Известно (см. Кемени и Снелл, 1976, гл. 6), что если состояния цепи Маркова объединяются, то новая цепь, вообще говоря, не обладает марковским свойством. В наших условиях это означает, что мы не можем произвольно перестроить группы и сохранить марковское свойство. Даже если имеется одна система группировки, обладающая таким свойством, она может и не оказаться именно той системой, которую нам пришлось выбрать. Однако, как мы отмечали в гл. 1, достаточно того, чтобы наша модель отражала главные свойства процесса, не будучи точной в деталях. Итак, хотя предположения, на которых основана теория, и не вполне реалистичны, эта модель достаточно близка к реальности и ее дальнейшее использование вполне оправдано.

Обращение времени в марковской модели

Основное разностное уравнение марковской модели для межпоколенной мобильности возникает при рассмотрении ожидаемой группы в следующем поколении, обусловленной существующей группой. С помощью такого способа оказалось возможным предсказывать будущие структуры групп и получать их предельную форму. Иногда бывает интересно пойти в обратном направлении и рассмотреть, что произойдет, если мы попытаемся обратить время вспять. Соответствующие вероятности переходов тогда обозначим как . Эти вероятности переходов просто соотносятся с прямыми вероятностями переходов следующим образом. Пусть временно обозначает номер группы, в которой семья находится в момент Т. Тогда

Сравнивая две альтернативные формы правой части, имеем

Хотя обращенный процесс является марковским, он, вообще говоря, неоднороден по времени. Однако если система достигла установившегося состояния, то примут свои предельные значения. В этом случае, меняя местами i и получаем

    (2.9)

Может случиться, что переходные матрицы прямой и обращенной цепи окажутся одинаковыми, т.е. Это означает, что процесс протекает одинаково, в каком бы направлении по времени его не рассматривать: такой процесс мы будем называть обратимым или обращаемым. Одно из следствий обратимости (обращаемости) заключается в следующем: если мы считаем, что некто находится в группе i, то вероятность того, что его сын находится в группе такая же, как и вероятность того, что его отец был в группе Еще один способ выразить это свойство заключается в использовании понятия ожидаемого числа изменений группы между данным поколением и следующим. Предположим, что мы имеем генеральную совокупность из N семейных линий; тогда ожидаемое число переходов из группы i в группу от одного поколения к следующему будет . Ожидаемый поток в противоположном направлении есть При условии обращаемости, полученной с помощью замены в (2.9), эти два потока равны. Следовательно, обращаемость означает одинаковый обмен между группами. Поскольку система находится в равновесии, нет никакого изменения размеров групп от одного поколения к другому. Но обращаемость требует гораздо большего: семейная линия может развиваться в новом направлении, только если существует некоторое компенсационное движение в противоположном направлении. Сказанное не представляется вполне правдоподобным для случая социальной мобильности, но, как заметили Кемени и Снелл (1976), это, по-видимому, не относится к данным Гласса и Холла. Данное положение можно проверить вычислением матрицы с элементом , равным для обратимого процесса эта матрица будет симметрической. Если мы образуем такую матрицу для данных Гласса и Холла, приведенных в табл. 2.1 и 2.2, то получим

Приблизительная симметричность этой матрицы означает, что имеет место почти равный обмен между каждой парой групп. Трудно привести какие-либо социальные причины, объясняющие, почему так должно быть, и этот вопрос, очевидно, требует дальнейших исследований.

Изменчивость размеров группы

Развиваемая до сих пор теория позволяет в любой будущий момент времени рассчитать для каждой группы ожидаемые численности или их соотношения. До сих пор у нас не было способов определения дисперсий и ковариаций наших предсказаний. Метод вычисления вторых моментов, в том числе и смешанных моментов для групповых чисел, был разработан Поллардом (1966), и теперь мы опишем его применение К нашей задаче.

Пусть N обозначает число семейных линий в генеральной совокупности; оно остается постоянным во времени. Пусть размер группы в момент Т равен и пусть число переходов между классом i и классом с момента Т до момента равно Из определений следует, что

Если мы возьмем математические ожидания для каждой части этого равенства, то придем к (2.1), поскольку Рассмотрим ковариацию Для упрощения изложения допустим, как обычно, что при Тогда из (2.10) имеем

Чтобы оценить математические ожидания в (2.11), воспользуемся хорошо известным результатом об условных математических ожиданиях: . В рассматриваемом случае удобно получить математические ожидания при условии, что даны Уравнения для математических ожиданий следуют из того, что при заданных величины являются полиномиально распределенными случайными величинами с вероятностями Следовательно,

и

где

Безусловные математические ожидания теперь получаются из (2.12) и (2.13), если взять математические ожидания правых частей по . Подстановка полученных выражений в дает

Таким образом, получено рекуррентное соотношение между математическими ожиданиями, и ковариациями в момент Т и ковариациями в момент Так как ковариации при равны нулю, совокупность первых и вторых может быть вычислена по (2.14) и (2.1). Если это необходимо, то тот же метод может быть распространен и на получение моментов более высоких порядков, в том числе и смешанных.

Поскольку математические ожидания и ковариации в момент — линейные функции соответствующих величин в момент Т, то можно выразить соотношения между ними в матричной форме. Для этого введем вектор, состоящий из средних значений и ковариаций, и обозначим его через . Этот вектор сначала содержит k средних значений, а затем ковариаций, расположенных в алфавитном порядке, т. е.

здесь для краткости опущены аргументы . В этом перечислении имеется некоторая избыточность вследствие того, что, например, ковариация между появляется как и как , но, сохраняя обе эти записи, мы обеспечиваем симметрию выражения. Уравнения (2.1) и (2.14) теперь можно совместить и записать в форме

где элементы матрицы П размерности являются функциями от Матрицу П можно разбить на блоки следующим образом:

где Р размерности является переходной матрицей, О размерности — нулевая матрица, X размерности — матрица с элементами вида размерности — матрица с элементами вида . В случае X и индексируют столбец, а i или — строку.

Уравнение (2.15) представляет собой обобщение уравнения (2.2) и может применяться таким же образом. П уже не является стохастической

матрицей, так как она имеет отрицательные элементы, но сумма элементов строк остается равной единице. На основании этого факта можно сделать вывод, что элементы матрицы стремятся к пределам при стремлении Т к бесконечности. Следовательно, эти пределы должны удовлетворять уравнениям

здесь и далее черточка сверху обозначает математическое ожидание случайной величины. Имеется программа для ЭВМ, вычисляющая векторы при всех Т. В гл. 3 мы приведем результаты некоторых расчетов для более общей модели. Далее рассмотрим один частный случай и изложим идею о типе решения, получаемого для данной прикладной задачи.

Предположим, что имеется, по терминологии Прайса, совершенно мобильное общество, т. е. Тогда уравнение (2.14) упрощается:

Теперь

так что последние слагаемые в (2.17) исчезают. Оставшаяся часть, оказывается, дает дисперсии и ковариации полиномиального распределения. Действительно, легко видеть, что имеет полиномиальное распределение с параметрами N и для всех Т. Распределение группы в момент не зависит от распределения группы в момент Т. Следовательно, мы можем рассматривать N семейных линий как независимо распределенные по группам с вероятностями что является условием того, что это распределение должно быть полиномиальным. Таким образом, в этом случае средняя квадратичная ошибка предсказанного значения величины будет

Основное предположение при выводе этих результатов состояло в том, что индивидуумы, покидающие данную группу, распределены полиномиально по всем группам. Вероятности, управляющие этими потоками, являются элементами той строки переходной матрицы, которая соответствует интересующей нас группе. Что касается вторых моментов, то сделанное предположение находит отражение во второй части (2.13) при и это приводит к результату (2.14). Винн и Салес (1973а) рассмотрели более общую структуру ошибки, при которой ковариации между любой парой потоков, исходящих из данной группы, считаются произвольными при условии, что общий поток фиксирован. Иначе говоря, Винн и Салес (1973а) полагают, что

при заданном Величины а подчинены ограничению из-за того» что

и фиксированы следовательно,

При выполнении ограничения (2.19) величины могут иметь любые значения, за исключением случая, когда и ковариация становится дисперсией, а, следовательно, она должна быть положительной. Для полиномиального распределения

Обоснование, приводящее к (2.14), по-прежнему остается в силе, но последнюю сумму в правой части следует заменить на

В матричном представлении этих уравнений подматрица X становится матрицей размерности с элементами Винн и Салес (1973а) установили существование предельной формы (2.16) и рассмотрели оценку ошибок; они применили этот метод к данным, относящимся к профессиональной мобильности.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление