Главная > Разное > Стохастические модели социальных процессов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

1.4. ПРЕДПОСЫЛКИ, ТЕРМИНОЛОГИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ

Предпосылки

Многие специалисты в области общественных наук сочтут, что математический уровень этой книги для них несколько высок. Имея это в виду, мы стремились сделать изложение простым, а аргументы неформальными. Следовательно, нужно было тщательно продумать способ изложения идей о природе моделей и их применении, чтобы они были ясны при чтении текста между формулами. Однако, чтобы добиться действительного понимания предмета, нет альтернативы тому, чтобы поработать над математикой. По возможности мы стремились к тому, чтобы для усвоения материала было достаточно этой книги, и отдельные дополнительные разделы ее послужат введением к последующему изучению математики и теории вероятностей. Полезным руководством по математическим и статистическим методам является «Справочник по прикладной математике» (Ледерман, 1980), на который в дальнейшем мы будем ссылаться. Одно из руководств к основным томам (Бартоломью, 1981) специально предназначено для специалистов по общественным наукам и охватывает в общих чертах большую часть материала дайной книги. Читатель-нематематик должен признать, что язык математика очень лаконичен, и, следовательно, надо быть готовым затратить определенное время, чтобы уяснить смысл простой формулы. Мы настоятельно советуем просчитывать числовые примеры и вычерчивать графики до тех пор, пока смысл формул не будет полностью ясен. В некоторых случаях это сделано в тексте, но в целях экономии места мы, как

правило, излагали только наиболее важные результаты анализа. Для того, кто хочет полностью разобраться в моделях, большой помощью было бы умение программировать на языках Бэйсик, Фортран, Алгол.

Терминология

Изложение материала в книге развивается от простого к сложному. Это относится, вообще говоря, как к математической теории, так и к социальным процессам. Некоторые используемые термины могут оказаться незнакомыми или привести к путанице из-за различного толкования, которое они имеют в различных дисциплинах.

Состояние системы является фундаментальным понятием в теории стохастических процессов. В общественных науках этот термин может применяться как к индивидиууму, так и к системе в целом. Мы будем говорить о чем-либо «находящееся в состоянии имея в виду, что это принадлежит к классу, категории или группе, обозначенной через i. В применении к системе этот термин относится обычно к числу индивидуумов в различных категориях. Правильный выбор множества состояний является ключевым в искусстве построения моделей.

Социальные системы мы будем подразделять на замкнутые и открытые. Оказывается, что в социологии эти термины имеют не однозначное толкование. Здесь они используются в прямом и очевидном смысле. Принадлежность к замкнутой системе не меняется со временем; ни один элемент не покидает систему и не допускается в нее. Открытая система имеет как пополнения, так и потери. Системы с потерями, но без пополнения можно рассматривать как замкнутые, если принять условие, что элементы, покидающие систему, переходят в дополнительную категорию, добавленную в данную систему. Все открытые системы можно формально преобразовать в замкнутые с помощью приема такого же рода, но, по-видимому, в этом нет особых преимуществ.

Время можно рассматривать как дискретное или непрерывное. «Реальное» время непрерывно, но для целей моделирования бывает удобно предположить, что изменения состояния могут наблюдаться только в фиксированные моменты времени. Вполне, логично считать, что, например, изменения состояния системы образования происходят в начале семестра или в начале учебного года. Кроме того, дискретная модель может дать более удобные для обработки уравнения и, следовательно, стать приемлемой аппроксимацией реального процесса.

Марковское свойство является основным для наших моделей. Где бы оно ни появлялось, его преимущества настолько велики, что всегда имеют смысл попытки переопределить задачу так, чтобы оно работало. Грубо говоря, марковское свойство предполагает, что знание текущего состояния системы дает нам всю информацию, необходимую для предсказания ее будущего. На первый взгляд это предположение является очень сильным ограничением, но искусство построения модели и состоит в том, чтобы так определить состояния, чтобы вся известная нам предыстория процесса была использована при определении текущего состояния.

Обозначения

Обозначения часто становятся первопричиной трудностей для тех, у кого не хватает математической подготовки. Задача усложняется, когда материал из различных источников должен быть соединен в единое, логически связанное изложение. Поэтому весьма желательно везде иметь единые обозначения, но целесообразно придерживаться и обозначений, принятых в различных областях. Эти два положения часто противоречат друг другу, и мы вынуждены идти на компромисс. Даже если используются строчные и прописные буквы греческого алфавита, часто оказывается, что символов не хватает. Мы предпочли следующий принцип. Основные величины, встречающиеся на протяжении всей книги, обозначаются одними и теми же символами; если это возможно — начальными буквами названия величины. Наиболее распространенные из них следующие:

Т обозначает время, измеряемое от начала процесса, оно может быть дискретным или непрерывным;

или х также обозначает время, но измеряемое от другого начального момента;

обозначает число людей. Единичный индекс, например используется для обозначения этого числа в данном состоянии i; если это число меняется со временем, число в момент Т обозначается двойной индекс, например обозначает поток от состояния i к состоянию на некотором интервале времени или в некоторый момент времени, причем этот интервал или момент указывается в скобках;

обозначает общее число людей в системе;

используются так же, как с той лишь разницей, что они относятся к вероятностям (или частотам); таким образом, есть вероятность отдельного перехода из состояния i в состояние

— общее число состояний в системе;

и s часто употребляются как индексы, обозначающие состояние системы, особенно в сочетании со штрихами; i и служат только для этой цели;

0 с индексами используется для обозначения собственных значений (характеристических чисел) матрицы. Это позволило избежать путаницы с X, к которой прибегали в более ранних изданиях для обозначения как собственных значений, так и опасности ухода. Теперь X употребляется только в последнем смысле.

Некоторые другие символы имеют различный смысл в зависимости от контекста, но они выбраны так, чтобы минимизировать риск неправильного понимания. Несколько букв, такие, как , являются символами общего назначения, имеющими локальный смысл.

обозначает функцию плотности вероятности; — соответствующая функция распределения, в некоторых приложениях называется функцией дожития.

Матрицы и векторы обозначаются одним из двух способов. Чаще всего матрица обозначается жирной прописной, а вектор — жирной

строчной буквой. Другим способом обозначения матрицы является запись элемента в скобках, например вектор можно записать как Второй способ мы применяем только тогда, когда абсолютно ясно, каковы элементы матрицы. Иногда будут встречаться матрицы, у которых отличны от нуля только элементы главной диагонали. Такие матрицы будут записываться либо как либо как Во втором случае диагональные элементы являются элементами вектора . Далее 1 обозначает единичный вектор-строку, а — вектор, у которого 1 является компонентом, а остальные компоненты — нули. Размерность матрицы почти никогда не указывается, если она ясна из контекста. Векторы записываются в строку, а транспонирование векторов и матриц обозначается штрихом.

Логарифмы по основанию записываются обозначает определитель. Записи или являются сокращенными обозначениями того, что X (или любая случайная переменная) имеет биномиальное, пуассоновское или нормальное распределение с параметрами на месте точек в скобках.

Математическое ожидание случайной переменной обозначается с помощью Е перед обозначением переменной или с помощью горизонтальной черты сверху, например обозначает дисперсию X, a — ковариацию X и Y.

Следует осторожно обращаться с символами R и S, каждый из которых употребляется в различных смыслах. Латинское R относится к числу нанятых. Символом обозначается вектор относительных долей принятых на работу.

Прописная жирная R обозначает вектор интенсивностей переходов с элементами Символ без индексов используется чисто локально в гл. 7. Символ S употребляется главным образом в связи с вероятностями перехода для цепей вакансий в гл. 8, но, следуя общепринятой практике, мы применяем его и для обозначения обыкновенной переходной матрицы в гл. 4 и как параметр преобразования Лапласа или производящей функции.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление