Главная > Разное > Стохастические модели социальных процессов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

8.4. МОДЕЛИ МНОГОУРОВНЕВЫХ СИСТЕМ

Если в системе имеется несколько градаций, то нет необходимости заполнять вакансии вновь поступающими. Вместо этого может быть перемещен индивидуум, занимающий некоторый другой уровень, и тогда образуется новая вакансия и т. д. В этом разделе мы рассмотрим только системы, в которых имеется простая иерархия ступеней, такая, что вакансии или заполняются нанятыми, или замещаются индивидуумами, находящимися на ближайшей расположенной ниже ступени. Насколько это возможно, мы сохраним обозначения и терминологию из предыдущих глав. Так как численности на ступенях считаются постоянными, обозначим их через и опустим аргумент «время». Постоянство численностей на ступенях определяет некоторые ограничения на потоки, которые имеются во всех моделях. Таким образом, рассмотрим произвольный интервал времени единичной длины и определим случайные величины, представляющие потоки следующим образом:

Так как размеры каждой ступени заданы, общий входной поток должен быть сбалансирован с выходным потоком. Это запишется как

где Отсюда следует, что средние этих случайных величин должны удовлетворять тем же уравнениям. Далее проанализируем изменение процесса, рассматривая достаточно малый интервал времени. Для этих целей определим следующие функции:

— среднее число увольнений с ступени за интервал времени

— ожидаемое число продвижений с ступени за интервал времени ;

— ожидаемое число вновь нанятых на ступень за интервал времени .

При таких обозначениях можно считать, что — интенсивности, которые выражают склонность к уходу из системы или склонность к продвижению в момент времени Т. Непосредственно из (8.29) имеем

Модель с заданными интенсивностями уходов

Любая модель определяется двумя факторами: механизмом уходов и способом заполнения вакансий. В нашей первой модели мы полагали, что каждый индивидуум имел постоянную склонность к уходу из системы, зависящую только от ступени. Положим, таким образом,

и будем считать, что поведение одних индивидуумов не зависит от поведения других. Эти предположения аналогичны тем, которые были сделаны в гл. 5 для марковских моделей с непрерывным временем. Когда есть уходы с ступени то предполагается, что вакансия с вероятностью заполняется тем, кто находится на ступеньку ниже; в другом случае она замещается вновь нанятым. Такое предположение подтверждается практикой. Все вакансии ступени 1 (самой начальной) заполняются вновь поступившими. Предположение о характере увольнений и (8.30) позволяют записать

    (8.32)

В соотвгтствии со вторым допущением

Исключая из (8.32) и (8.33), получаем следующую рекурсивную формулу для интенсивностей продвижений:

откуда

В этой модели ни , ни не зависят от Т. Проиллюстрируем применение этих формул на примере двух частных случаев.

Случай 1.

Этот случай эквивалентен одноуровневой модели с экспоненциальным распределением времени жизни, что относится как ко входному, так и выходному потокам. Тогда для интенсивностей продвижений записываем

Из этого выражения видно влияние численностей на ступенях на каждую интенсивность продвижений. Интенсивности изменяются прямо пропорционально общей численности на более высоких ступенях и обратно пропорционально рассматриваемой ступени. Кроме того, интенсивность пропорциональна каждой вероятности относящейся к более высокой ступени. Если найм возможен лишь на самую низкую ступень, то и

где

Допустим, что возникает вопрос, какой должна быть структура ступеней, чтобы интенсивности переходов были равными. Из уравнения (8.36) следует, что

а из этого вытекает

Начиная с высшей ступени, их численности образуют геометрическую прогрессию. Аналогичный результат был получен в гл. 5 для систем с заданным поступлением и случайными размерами ступеней. Там мы показали, что если интенсивности продвижений равны, то средние численности на ступенях были членами геометрической прогрессии. Этот результат дает основания считать, что марковские модели и модели восстановления эквивалентны, если их интерпретировать детерминистским образом, т. е. когда случайные величины заменяются их математическими ожиданиями.

Случай 2.

В этом случае имеем

    (8.38)

Допустим еще, что тогда

Если бы то интенсивности продвижений увеличивались бы по мере продвижения по иерархии как члены геометрической прогрессии. Это непосредственное следствие того, что на более высоких

ступенях иерархии уходы имеют большую величину. Если, с другой стороны, то

Для таких систем, чтобы обеспечить равные интенсивности продвижений, необходимо выполнение следующих отношений, характеризующих их структуры:

Это снова приводит к геометрической структуре, хотя множитель прогрессии равен , а не . Другими словами, структура таксва, что увеличение численности с повышением ступени иерархии происходит быстрее, чем в случае, когда нет набора на верхние ступени.

Распределение потоков

Теперь мы в состоянии показать, что все потоки имеют пуассоновское распределение, если только все интенсивности увольнений постоянны. Если для каждого из индивидуумов ступени интенсивность ухода равна то число уходов из этой градации распределено по закону Пуассона со средним . Для того чтобы получить распределение оставшихся потоков, необходимо воспользоваться сделанным ранее предположением о способе заполнения вакансий. Согласно ему условное распределение для данных — биномиальное распределение с параметрами Чтобы полностью найти распределение, нам понадобится следующая лемма.

Лемма. Если случайная величина X распределена по закону Пуассона с параметром и условное распределение Y при заданной величине X биномиально с параметрами (X, р), то величина Y распределена по закону Пуассона с параметрами

Начнем с градации, для которой . В соответствии с леммой Мы получаем, что распределено по закону Пуассона с параметром и аналогично с параметром Переходя к следующей градации, имеем Полагая и отмечая, что сумма будет распределена по закону Пуассона как сумма двух независимых переменных, распределенных по закону Пуассона, согласно лемме получим, что распределено по закону Пуассона с параметром

Рассматривая сверху вниз все ступени иерархии аналогичным способом, мы определим, что потоки поступлений и продвижений распределены по закону Пуассона. Ограничения (8.29) показывают, что потоки продвижений и найма являются зависимыми.

Обоснованность наших доводов не зависит от того, на каком временном интервале рассматриваются потоки и каков возраст системы. Это прямое следствие допущения о постоянстве интенсивностей уходов. В общем случае, если интенсивности уходов зависят от стажа индивидуума или уровня иерархии, оба эти фактора должны учитываться, и вывод сделать гораздо труднее.

Длительность пребывания

Другой важный аспект систем восстановления — длительность пребывания индивидуумов как на отдельных ступенях иерархии, так и в системе в целом. Как уже отмечалось, последнюю величину можно сравнить с другими распределениями длительностей пребывания, которые можно получить с помощью моделей из гл. 7.

Индивидуум с ступени уходит по двум причинам. Одна — увольнение с постоянной интенсивностью а другая — продвижение. Вначале мы рассмотрим, как определить функцию дожития индивидуума, попавшего на ступень, если на него действует только одна из причин. Так как причины по сделанному ранее предположению независимы друг от друга, функция дожития индивидуума при действии обеих причин получается как произведение двух функций дожития, найденных для каждой из причин порознь. Если нет продвижения, то, как следует из предположения о постоянстве интенсивностей уходов, функция дожития будет равна где выражает длительность пребывания в градации.

Время ожидания продвижения при отсутствии уходов зависит от того, как выбирают тех, кого необходимо продвигать. Рассмотрим два правила продвижения. Перове заключается в случайном выборе тех, кто может быть повышен; второе предполагает, что продвигается тот, кто дольше пробыл на ступени. Если выбор осуществляется случайным образом, мы определим вначале функцию дожития при условии, что на интервале было продвижений. При продвижении вероятность того, что выбран какой-либо конкретный индивидуум, всегда равна Следовательно, вероятность того, что конкретный индивидуум не продвинут, когда осуществлено продвижений, равна

Безусловную вероятность можно определить на основании того факта, что случайная величина распределена по закону Пуассона со средним . Таким образом, вероятность пробыть на ступени до момента времени при условии, что нет уходов, равна:

Перемножая две функции дожития, получаем, что вероятность пробыть на ступени до момента времени равна:

Это означает, что длительность пребывания на ступени — случайная величина, распределенная по экспоненциальному закону со средним

Допустим теперь, что продвигается индивидуум, который дольше всех пробыл на ступени. Поступая на ступень (неважно, каким образом), индивидуум впереди себя имеет в очереди человек. Чтобы продвинуться, он должен вначале ждать, пока все они уйдут со ступени, а затем ждать, когда появится новая вакансия. Вакансии образуются на ступени как пуассоновский процесс с параметром интенсивности кроме того, каждый индивидуум может уйти с интенсивностью Таким образом, процесс, когда человек покидают ступень, — это простейший процесс гибели с интенсивностью гибели, когда остается индивидуумов, равной:

Используя теорию процессов гибели (см., например, работу Балея (1964) или Феллера (1968)), можно найти вероятность того, что к моменту времени остается человек. Обозначим ее через . Вероятность равна дополнению дожития, так как, если в момент времени никого не остается, период времени для всех, кто покидает систему, меньше . В нашем случае дифференциально-разностные уравнения для вероятности записываются так:

с начальными условиями . Будем решать эти уравнения, используя преобразования Лапласа для этих вероятностей. Чтобы произвести преобразование Лапласа, следует умножить обе части на и проинтегрировать от 0 до бесконечности. Известно также, что изображение производной равно если учесть начальные данные. Отсюда следует, что

Начав с из этих уравнений получаем:

Это изображение функции распределения времени ожидания. Изображение функции плотности — После того как индивидуумов покинуло ступень, нужно ждать следующую вакансию. Это время ожидания распределено по экспоненциальному закону с параметром . Таким образом, сумма двух времен ожидания имеет изображение

Объединяя это выражение с (8.44), получаем, что при отсутствии уходов стаж работы имеет изображение

Последнее представляет собой изображение распределения Эрланга, которое может быть получено путем разложения на простые дроби и применения обратного преобразования Лапласа почленно. Однако, предполагая, что численность градаций достаточно большая, покажем вырождение функции плотности, что означает постоянство в пределе времени ожидания. Для этого возьмем натуральный логарифм (8.45) и допустим, что велико, тогда

Последняя сумма просто выражается функцией

следующим образом:

При больших и, следовательно, (8.46) в пределе равно

Таким образом, в пределе распределение времени ожидания до продвижения имеет изображение Лапласа

Очевидно, что это изображение распределения, в котором вся вероятность сконцентрирована в одной точке

где определяется по (8.34). Следовательно, при соблюдении правила продвижения по стажу работы длительность пребывания для тех, кто не покидает систему, в пределе постоянна. Таким образом, множество значений представляет типовую карьеру тех, кто остается в фирме.

Но каждый индивидуум может убыть со ступени , на которой он находится, по двум причинам, поэтому его функция дожития имеет вид при и 0 при

Предыдущие результаты могут быть использованы для определения распределения длительности службы для индивидуума, поступающего в систему на нижнюю ступень иерархии. (Для тех, кто поступает на более высокие ступени, расчеты аналогичные, но с меньшим числом градаций.) Пусть G (Т) — функция дожития для индивидуума, поступающего на нижнюю ступень иерархии, тогда можно записать:

Для того чтобы находиться в момент времени Т на ступени, необходимо продвинуться раз и не уйти из системы. Допустим, что эти продвижения происходят в моменты времени и вначале найдем условные вероятности того, что индивидуум не уйдет из системы до этих моментов времени. На интервале времени от до интенсивность ухода индивидуума равна Следовательно, вероятность того, что он прослужит до момента времени Г и не уйдет, равна:

где Чтобы найти безусловную вероятность, нам необходимо определить плотность функции распределения и вероятность того, что нет продвижения в интервале времени Таким образом,

где — плотность функции длительности пребывания на ступени (уже найденная) и — ее функция распределения. Требуемая вероятность получается умножением (8.50) и (8.51) и интегрированием по области . Полученный интеграл имеет вид свертки нескольких функций, поэтому все относительно сложные вычисления могут быть легко осуществлены, если

использовать преобразования Лапласа. Действительно, если интеграл имеет вид

то его изображение будет следующим:

В нашем случае

поэтому требуемыми изображениями будут

И наконец, изображение G (Т) имеет вид

При использовании правила продвижения путем случайного отбора получаем из (8.39):

Подставляя это в (8.52) и используя тот факт, что

находим

В правильности соотношения (8.53) можно убедиться, сведя изображение к , если для всех и к 1, если Правую часть (8.53) можно записать в виде суммы простых дробей и, делая обратное преобразование Лапласа почленно, получим плотность функции распределения в следующем виде:

Это знакомая нам смесь экспоненциальных распределений, хотя, как мы увидим ниже, не все р, должны быть положительными.

В простейшем случае, когда

для которого выполняется если . Таким образом, всякий раз, когда на первой ступени интенсивность уходов больше, чем на второй, мы будем иметь смесь экспоненциальных распределений, аналогичную тем, которые встречались ранее. Если описывать этим распределением реальные данные, типичные значения параметров получаются примерно такими: Для нахождения таких значений в данной модели необходимо, чтобы Если бы описанная модель отражала истинное положение дел, то мы не могли бы отделить ее от других по наблюдениям только общей продолжительности службы. Для того чтобы сделать это, необходимо после выделения двух ступеней проверить, являются ли интенсивности уходов в них постоянными величинами, и, если это так, посмотреть, соответствуют ли оцененные значения тем, которые предсказаны распределениями, согласующимися с экспериментальными данными по общим срокам службы.

При распределения полного срока службы можно взять в различных формах. Для того чтобы проиллюстрировать некоторые возможности, рассмотрим четыре примера для случая

Слагаемое, включающее переменную Т в случае появляется вследствие того, что в этом примере поэтому обратное преобразование Лапласа, приводящее к (8.54), сделать нельзя. Чтобы такое затруднение преодолеть, следует перейти к пределу при как и было сделано в соотношении .

В тех случаях, когда интенсивности уходов уменьшаются по мере продвижения вверх по иерархической лестнице, мы имеем смесь экспоненциальных распределений с положительными коэффициентами. Последнее показывает, кроме того, что полученные модели могут объяснить распределения полных сроков службы. Когда интенсивности уходов увеличиваются по мере продвижения вверх, распределение полного срока службы унимодально и менее асимметрично.

Аналогичным образом рассмотренный метод можно применять, когда правило продвижения — продвижение по стажу работы. Для

больших численностей на ступенях аппроксимация, представленная в виде (8.48), дает результат немедленно без преобразований Лапласа. Это следует из того, что время ожидания продвижения в пределе — постоянная величина и что опасность уходов для полного срока службы определяется соотношениями

Тогда функцию плотности находят подстановкой в

Кривая состоит из последовательности экспоненциальных сегментов. Если интенсивности X образуют убывающую последовательность, то по сравнению с экспоненциальной функция плотности будет асимметричнее, т. е. полученная функция будет больше экспоненциальной на концах области определения. В этом отношении она по форме аналогична смеси экспоненциальных распределений, которая получается для правила случайного продвижения. Следовательно, вообще говоря, правило продвижения не играет определяющей роли для формы распределения индивидуумов по ступеням. Но оно, конечно, сильно влияет на ожидаемую карьеру индивидуумов.

Распределение по стажу

Как и при исследовании одноуровневой системы, мы можем найти распределение индивидуумов по стажу в любой момент времени. Это распределение будет зависеть от времени, но в точках, близких к устойчивому состоянию, оно легко может быть выражено через найденные уже распределения полного срока службы. Рассмотрим вычисления для обоих случаев.

Обозначим через равновесную функцию плотности распределения вероятностей стажа работы индивидуумов, поступивших в систему на ступень; a U — соответствующая плотность для всех индивидуумов системы. Ясно, что

Когда действует правило продвижения по стажу, решение задачи получается почти сразу же. В предположении о достаточно больших численностях ступеней продвижения из 1-й в 1-ю градацию происходят в моменты времени

Следовательно, все занятые на ступени i имеют стаж от до и

где

Чтобы решать задачу, когда действует правило продвижения случайным образом, заметим, что

Индивидуум будет на ступени в момент времени t только в том случае, если он продвинулся раз на интервале времени (0, t). Число продвижений на интервале (0, t) — простейший процесс рождения с интенсивностью рождения если уже было продвижений. Вероятность события, состоящего в том, что на интервале (0, t) будет продвижений, может быть выписана (см. работу Бартлетта, 1955, раздел 3.2). В наших обозначениях эта вероятность равна:

Ниже в нашем примере мы рассмотрим ситуацию с равными h. В этом случае число продвижений имеет распределение

Возвращаясь к (8.57), имеем

Для примера положим, что в системе для всех и

при больших . Эта система обладает тем свойством, что все интенсивности увольнений и продвижений равны X. Время до продвижения с ступени из (8.48) равно:

Таким образом, промежутки времени между двумя последовательными продвижениями увеличиваются по закону арифметической прогрессии.

Легко вычислить средний стаж индивидуумов на каждой ступени:

Средняя продолжительность пребывания индивидуума на ступени равна:

Эта система обладает очень интересным свойством: средний стаж деятельности на ступени одинаков для всех ступеней, кроме наивысшей. Когда действует правило продвижения случайным образом, мы подставляем (8.59) в (8.60) с и находим

Следовательно,

Сравнивая результаты, выражаемые данным уравнением, с (8.62) видим, что одно и то же в обоих случаях. Если действует правило продвижения по стажу работы, то для средний стаж больше, кроме случая, когда где он меньше. При правиле продвижения случайным образом средний стаж на каждой ступени равен:

Как и в предыдущем примере, находим, что при правиле продвижения случайным образом средний стаж больше на каждой ступени.

Мы показали, что гибкая политика продвижений, когда она не так жестко определяется очередностью, имеет существенные практические преимущества.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление