Главная > Разное > Стохастические модели социальных процессов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

8.2. СИСТЕМЫ, СОСТОЯЩИЕ ИЗ ОДНОЙ ГРУППЫ

Мы начнем с простейшего вида систем восстановлений, в которых нет внутреннего деления на группы. Наша цель — рассмотреть, как поступления, уходы и возрастное распределение зависят от распределения времени жизни элементов. Это распределение считается заданным. Для того чтобы выразить основные идеи, обратимся к наиболее простой и довольно нереалистичной ситуации. Пусть новый дом занят жильцом в течение периода времени Вместо него сразу же поселяется другой, который живет там период времени и т. д. Таким образом, моменты времени, когда происходят изменения, будут Если предполагается, что величины t независимы и одинаково распределены, то мы имеем процесс восстановления. Теория таких процессов позволяет нам определить, например, число восстановлений в течение какого-либо интервала времени. На практике мы часто наблюдаем такие системы в единственной точке, и тогда нас может интересовать, как долго элемент занимает данное положение и какой промежуток времени пройдет до момента, когда он передвинется. Назовем время пребывания «возрастом» элемента, и покажем, как найти его распределение. Очень редко нас интересует единственный дом или место работы, а чаще

всего — население региона или численность служащих фирмы. Обобщенное поведение таких систем можно найти, «складывая» эти процессы.

Основная функция, от которой все зависит, называется функцией восстановления. Ее обозначают , и она представляет ожидаемое число восстановлений на интервале . Известно, что ее производная h (Т) — плотность восстановлений; — ожидаемое число восстановлений за период времени , когда — малая величина. При этих условиях вероятность двух или более восстановлений за этот интервал времени пренебрежимо мала, поэтому можно считать вероятностью восстановления на интервале . Мы будем рассматривать непрерывные распределения времени жизни, для которых существует, и нам удобнее иметь дело с h (Т), а не с .

Уравнение восстановления

Рассмотрим событие, заключающееся в том, что осуществляется перемещение за интервал времени . Вероятность этого события . Оно может рассматриваться как результат осуществления следующих взаимно исключающих и исчерпывающих событий; тогда сумма их вероятностей должна быть равна .

Через обозначена функция плотности времени жизни индивидуума. При записи второй вероятности мы использовали факт, что фиксируется момент времени, когда начинается процесс восстановления для нового индивидуума. Таким образом, вероятность того, что восстановление произойдет после момента времени , равна . В случае б) мы представляем интервал разбитым на участки точками, поэтому для каждого участка вероятности подсчитываются. Общая вероятность может быть получена, если проинтегрировать по тогда

Приравнивая это выражение к и сокращая на , получаем уравнение восстановления

При очевидной замене переменных находим эквивалентное уравнение

Это уравнение иногда можно решить с помощью преобразования Лапласа для обеих частей, поскольку интеграл в правой части будет в преобразованном виде представлен как произведение изображений. Таким образом,

следовательно,

Для того чтобы применять этот метод, нужно найти и сделать обратные преобразования правой части уравнения (8.2).

Если время жизни распределено по экспоненциальному закону с параметром X, решение находится довольно просто. В этом случае откуда получаем где — среднее время жизни. Интуитивно понятно, что если люди в среднем остаются в каком-либо состоянии 4 года, то можно ожидать, что в течение года 25% их общего числа покинет это состояние. Однако этот результат справедлив, вообще говоря, только для экспоненциального распределения, а мы уже видели, что многие распределения длительности пребывания имеют далеко не такой вид. В этом случае интуиция — плохой помощник, и необходим более глубокий анализ. Замечание «вообще говоря» весьма важно, так как и при более общих условиях справедливо, что

Таким образом, интенсивность перемещений стремится к определенному значению при достаточно больших Т. Остается исследовать, насколько велико должно быть значение Т, чтобы (8.3) было хорошей аппроксимацией, и как ведет себя система на более коротком интервале времени. Ниже мы проведем это исследование применительно к задаче планирования кадров, когда время жизни — полный срок службы (ПСС).

Решение уравнения восстановления, когда распределение полного срока службы — смесь экспоненциальных распределений

Когда распределение полного срока службы имеет вид

изображение Лапласа выглядит так:

Если подставить это выражение в (8.2) и применить обратные преобразования Лапласа к , то, как показано в работе Бартоломью (1959),

где — среднее функции . Из этой формулы следует, что h (Т) в пределе приближается к экспоненциальной кривой. Далее, так как число вновь принимаемых в систему всегда будет больше, чем ожидалось бы по предсказаниям теории устойчивого состояния. Ожидаемую численность для необходимого поступления за интервал времени можно найти, интегрируя h (Т). Это положение иллюстрируют численные значения, приведенные в табл. 8.1, в ней используются смесь экспоненциальных распределений из табл. 7.1.

Таблица 8.1. Значения относительного числа поступлений и увольнений по кварталам для новых фирм, где распределение полного срока службы — смесь экспоненциальных распределений,

Мы не приводим результаты вычислений в моменты времени, большие, чем двухлетний интервал, так как, без сомнения, смесь экспоненциальных распределений хорошо согласуется в области больших уклонений.

Данные табл. 8.1 показывают достаточно быстрое уменьшение числа вновь поступающих. Это характерно для новых организаций. В приведенных примерах значения приблизительно в два раза меньше во втором году, чем в первом. Эти результаты, очевидно, определяются как планируемым наймом, так и увольнениями. Предполагается, что первоначальное большое число увольнений можно уменьшить, тщательно отбирая работников, т. е. бракуя тех, у кого ожидается короткий период службы, и что распределение полного срока службы не меняется во времени. Это предположение спорно, что особенно вероятно тогда, когда речь идет о новой организации.

Табл. 8.1 имеет большое значение для выяснения текучести кадров (текучесть кадров определяется как общее число покинувших систему за рассматриваемый период, деленное на среднюю численность

работающих за тот же период). Изменение интенсивностей увольнений необязательно показывает изменение условий, определяющих увольнения. Оно может просто отражать изменения в структуре, определяющие сроки службы. Отсюда следует, что бесполезно, например, сравнивать текучесть кадров на новых и старых предприятиях.

Приближенное решение уравнения восстановления

Мы видели, что некоторые эмпирические распределения ПСС могут вполне удовлетворительно заменяться смесями экспоненциальных распределений, по крайней мере, на интервале от 0 до 21 месяца. Однако, как было указано, чем длиннее период, тем менее подходит логнормальное распределение, потому что оно дает большую вероятность больших уклонений. То же самое справедливо для распределения типа XI из модели Силкока. К сожалению, невозможно получить простое точное выражение h (Т) ни для одного из этих распределений. Следовательно, для изучения вида h (Т) на длительном интервале времени нам необходимо получить приближенное решение уравнения восстановления.

Аппроксимация, которую мы будем использовать, получена Бартоломью (1963b). Она предполагается в том случае, когда распределение полного срока службы очень сильно асимметрично и имеет вид

где . Эта аппроксимация, когда существует точное решение уравнения восстановления, обладает следующими свойствами:

Из этих свойств следует, что аппроксимация вполне удовлетворительна, когда близко к экспоненциальному, и всегда удовлетворительна при и больших значениях Т. При применении метода производных из работы Бартоломью (1963b) также предполагается, что аппроксимация будет удовлетворительна, если функция имеет сравнительно большую вероятность больших уклонений. Вычисления, произведенные Бутлером (1970), подтверждают это для логнормального распределения. Еще одно полезное свойство аппроксимации заключается в том, что — верхнее ограничение для h (Т), если интенсивность увольнения, связанная с , не возрастает.

Такие распределения хорошо изучены в теории надежности, где они известны как распределения с уменьшающейся вероятностью выхода из строя (см., например, книгу Барлоу и соавторов (1972, гл. 5).

Наиболее простую форму имеет аппроксимация, когда мы используем модель Силкока. В этом случае

и

Следовательно, из (8.5)

Когда v значительно меньше единицы, приближение к устойчивому состоянию очень медленное. Если то среднее равно бесконечности и стремится к нулю как . В случае когда она стремится к нулю как Согласно вычислениям, выполненным Силкоком (1954), для восьми распределений в шести случаях из восьми значения v находятся между 0,5 и 1. Следовательно, можно ожидать, что интенсивности увольнений уменьшаются, вероятно, медленнее для всех периодов времени, интересных с практической точки зрения.

Аппроксимация логнормальным распределением полного срока службы также имеет простой вид. Таким образом, получаем

где — стандартная функция нормального распределения. Следовательно, аппроксимация может быть рассчитана с помощью стандартных таблиц интеграла вероятностей. Из (8.8) вытекает, что устойчивости аппроксимации не будет до тех пор, пока

величина не станет настолько большой, что Ф (X) будет близко к единице. Чтобы исследовать это утверждение более детально, рассмотрим вид для больших Т. Если X велико, то мы можем записать:

тогда обычные преобразования дают

Если, например, то .

Если то Это означает, что должно пройти время, равное 400 средним значениям полного срока службы, чтобы устойчивая величина была приближена с 2%-ной точностью. Понимая, что логнормальное распределение не будет отражать реальной ситуации через 40 или 45 лет, можно считать, что предельное поведение не представляет практического интереса.

Переходный режим модели восстановления иллюстрируется данными из табл. 8.2, при этом предполагается, что распределение ПСС логнормально. Вычисления производились для типичного случая, когда Если единица времени — один год, то соответствует медиане (половине жизни) в один год. Для этого распределения потому что

Таблица 8.2. Аппроксимация плотности восстановления для логнормального распределения полного срока службы с параметрами

Данные таблицы свидетельствуют, что стремится к предельно значению крайне медленно. Даже через 20 лет значение плотности восстановления почти в два раза больше значения в установившемся режиме. Тот факт, что h (Т) для соответствующей смеси экспоненциальных распределений достигает устойчивого состояния за несколько лет, показывает, что при долгосрочном прогнозировании необходима аккуратность в аппроксимации распределения для больших уклонений.

Распределение численностей нанятых

В теории восстановления существуют стандартные методы нахождения распределения численности нанятых в систему, так же как и распределения соответствующих значений их средних. Начнем с рассмотрения организационной системы численностью Тогда ожидаемое число вновь поступающих в систему за период времени (0, 1) равно:

Известно (см. работу Кокса, 1962, с. 40), что при больших Т величина распределена асимптотически-нормально со средним и дисперсией где — квадрат коэффициента вариации распределения полного срока службы. Для логнормального распределения которое при равно 53,6. Таким образом, долговременный прогноз числа вновь поступающих в высшей степени неточен. Однако, как мы видели в случае оценки средних значений, приближение к предельному значению осуществляется так медленно, что асимптотические результаты практически бесполезны. То же относится к дисперсии, поэтому нам необходимы точные результаты, когда мы имеем дело с такого рода распределениями полного срока службы.

Точное значение дисперсии может быть найдено из следующего уравнения:

(см. работу Парзена, 1962, с. 179). Так как у нас есть методы определения точно или приближенно и h (Т) для любого распределения полного времени пребывания, мы можем вычислить и, следовательно, дисперсию . Проиллюстрируем эти вычисления на примере смеси экспоненциальных распределений, найти для которых легче. Если положить

то

Осуществляя необходимые подстановки в (8.10) и вычитая находим следующее выражение для дисперсии:

Соответствующие результаты для организационных систем численностью N легко получить, умножая средние значения и дисперсии, полученные выше, на N. Так как для больших организационных систем может рассматриваться как сумма систем, состоящих из одного индивидуума, в соответствии с центральной предельной теоремой она асимптотически-нормальна. Некоторые численные значения для средних и среднеквадратичных отклонений приведены в табл. 8.3. Чтобы произвести вычисления, рассматривались две гипотетические фирмы, в которых работает по 1000 сотрудников. Мы предполагаем, что в обоих случаях полный срок службы распределен как смесь экспоненциальных распределений. В первом случае мы использовали значения параметров кривой, согласующиеся с данными фирмы Гла-сиерской металлургической компании; во втором случае были взяты более скошенные распределения из семейства смесей экспоненциальных распределений, согласующиеся с данными Силкока (1954) по объединенной сталелитейной компании.

Таблица 8.3. Средние и среднеквадратичные отклонения числа нанятых в систему в различные интервалы времени для двух смесей экспоненциальных распределений полного срока службы, когда

Строки «аппроксимация среднеквадратичного отклонения» были получены, когда использовались только первые два слагаемых для вычисления дисперсии в выражении (8.12). Если аппроксимированные значения превышают истинные, то разница становится пренебрежимо малой спустя короткий период времени. Из таблицы ясно также, что

предсказание даже на короткие периоды времени может быть иногда вполне удовлетворительным.

Далее рассмотрим способы определения общего числа замещений за период времени . Чаще нам бывает необходимо знать количество замещений за некоторый относительно короткий период времени находящийся на некотором расстоянии от начальной точки. Если это расстояние по оси времени таково, что система достигла устойчивого состояния, то, как известно, численности сменивших место работы на непересекающихся интервалах — независимые переменные, распределенные по закону Пуассона. Этот результат приведен в книге Хинчина (1963, гл. 5). Когда система, в которой осуществляются замещения, медленно приближается к устойчивому состоянию, весьма желательно иметь результаты по характеру распределений числа замещений в переходный период. Предельный результат, относящийся к этому случаю, был получен Григелионисом (1964). Он был повторен Бутлером (1970), а адекватность аппроксимации была исследована Бартоломью и Бутлером (1971).

Рассматриваем число замещений в системе численностью N индивидуумов за интервал времени при при постоянном среднем числе увольнений. Пусть интервал так мал, что вероятность двух или более замещений пренебрежимо мала. Тогда

Таким образом, ожидаемое число замещений за интервал времени для всей системы равно ЬТ. Для того чтобы эта величина оставалась постоянной при необходимо, чтобы для некоторого постоянного значения К. Таким образом, общее число замещений — сумма переменных Бернулли, вероятности которых не равны нулю и стремятся к нулю, когда значения переменных стремятся к бесконечности. При этих предположениях предельное распределение — это распределение Пуассона со средним h (Т) К (см. работу Феллера, 1968, с. 282). Попутно заметим, что этот результат справедлив, когда вероятность замещения, соответствующая должности, зависит от i. (Результат Феллера получен для более общего случая.) Это означает, что для различных должностей могут быть различные полные сроки службы или что начальное время для потоков работы может быть различным.

Практическое значение предельных теорем определяется тем, насколько точно осуществляется аппроксимация до достижения предельных значений. Бартоломью и Бутлер (1971) исследовали адекватность пуассоновской аппроксимации как теоретически, так и с помощью имитационного моделирования, используя смеси экспоненциальных распределений полного срока службы. Они произвели точные расчеты вероятностей (8.13) и смоделировали небольшую систему, Их заключение коротко сводится к тому, что аппроксимация достаточно

точна только том случае, когда интервал меньше ной десятой средней величины полного срока службы. Практически средний ПСС обычно составляет несколько лет, поэтому аппроксимация обоснованна, если интервал прогнозирования не больше нескольких месяцев.

Бутлер (1971) проверил также адекватность теории на основе данных по служащим сталелитейной промышленности. Он обнаружил, что потоки переходов для малых однородных групп за относительно короткие периоды времени приблизительно распределены по закону Пуассона. Однако существовало несколько больших потоков, которые не соответствовали гипотезе распределения по закону Пуассона. Видимо, они возникали из-за переходов групп индивидуумов из одних отраслей в другие. В среднем согласование с теорией было обнадеживающим. Полученные ранее распределения Пуассона не означают, что численности уволенных за непересекающиеся интервалы времени независимы. В общем случае они могут быть зависимыми. Бартоломью и Бутлер (1971) исследовали также и этот вопрос. Из их расчетов следует, что коэффициент корреляции между количествами замещений за смежные интервалы времени пренебрежимо мал, если эти интервалы достаточно коротки, что требуется и для адекватности аппроксимации по закону Пуассона.

Несмотря на множество оговорок, при которых получена пуассоновская аппроксимация, она весьма полезна для практических целей и свидетельствует о том, что среднеквадратическая ошибка аппроксимации может быть вычислена достаточно просто, если извлечь квадратный корень из средних значений. Последнее необходимо сделать в любом случае, поэтому трудоемкость определения ошибки измерения минимальна.

Распределение по стажу

Полезный способ изучения прошлого организационной системы и определения возможных проблем в будущем заключается в рассмотрении распределения по стажу. Как уже отмечалось, стаж в принятом здесь смысле представляет собой время пребывания в системе одного человека, и мы будем оперировать этим понятием вместо ранее используемого определения продолжительности работы, чтобы избежать путаницы с полным сроком службы в одной системе. Определение ненормальности характеристик распределения по стажу предполагает, что мы знаем, что считать нормальным. Теория восстановления позволяет определить вид распределений по стажу при различных предположениях о прошлом. Чтобы продемонстрировать метод, обратимся к организационной системе постоянного размера, в которой все места в начальный момент времени заняты, и будем действовать при допущениях для модели восстановления.

Некоторые из членов организационной системы заняли свой пост при ее основании, и в момент времени Т, очевидно, имели «стаж» Т. Таким образом, вероятность того, что некоторый случайным образом

выбранный индивидуум имеет стаж — это доля тех, кто прослужит до момента времени Т. Она равна:

где х означает стаж. Для значений имеем:

поскольку время службы считается независимым от времени поступления. Таким образом,

или

Распределение по стажу зависит от распределения полного срока службы непосредственно через функцию и опосредованно через плотность восстановления. Мы видели, что для обычных распределений полного срока службы h (Т) — убывающая функция почти по всей области определения. Следовательно, — возрастающая функция х при фиксированном Т. Функция дожития всегда невозрастающая по Отсюда произведение двух функций может возрастать или убывать, но если Т велико, а х мало, то изменяется очень медленно, так что функция а будет подобна функции в начальный период. В пределе при такое соответствие выполняется для всех При выполнении этих условий с тем, чтобы разница в вероятностях при стала пренебрежима малой. Кроме того, для заданного Следовательно,

Таким образом, распределение по стажу в установившемся режиме пропорционально функции дожития, поэтому оно является неубывающей функцией стажа.

Полученный результат наводит на мысль об оценке функции дожития, когда отсутствует информация о покинувших систему. Это требует, конечно, выполнения допущения об установившемся режиме, которое маловероятно, чтобы выполнялось достаточно точно. Тем не менее в том случае, когда нет данных о потоках, можно оценить функцию дожития. А это лучше, чем ничего. Если, с другой стороны, можно оценить по данным о потоках, то полученную оценку можно сравнить с распределением по стажу и посмотреть, насколько система далека от установившегося режима.

Распределение по стажу может быть вычислено при более сложных допущениях о прошлом системы, и, таким образом, по форме распределения по стажу можно судить об истории системы. Например, видно,

как в системе поддерживаемого размера со временем получается распределение по стажу, у которого с увеличением стажа уменьшается функция плотности. Наличие «горба» в наблюдениях какой-либо возрастной группы объясняет, что произошло в прошлом и стало причиной увеличения численности группы.

Развивающиеся системы

Полученные результаты можно легко обобщить, чтобы рассмотреть развивающуюся систему. Для этого необходимо только объединить отдельные процессы, используя в качестве слагаемых их значения в тех точках, где происходит восстановление. Итак, предположим, что начальное состояние системы и она увеличивается на величину к моменту времени Тогда ожидаемое число замещений в интервале времени определяется выражением

причем суммирование осуществляется по всем i, для которых . Если нам необходимо представить увеличение системы как непрерывный процесс, то величина будет означать ее рост в интервале времени , и соответствующее выражение для интенсивностей замещений будет таким:

где означает ожидаемое число замещений в интервале Это естественное развитие результатов, полученных в предыдущих главах. Мы видим, что результат также зависит от плотности восстановления.

Проиллюстрируем применение (8.18), показав, как оценки для текучести кадров зависят от возраста системы. Из-за этого они не могут служить характеристиками интенсивности увольнений, что мы обсудим в разделе 8.3. Оценки текучести кадров на определенном интервале вычисляются как отношение числа увольнений к средним размерам системы, т. е.

где — общая численность системы к моменту времени Т.

Для того чтобы проиллюстрировать влияние развития системы на оценку текучести кадров, рассмотрим два примера. Допустим, что распределение полного срока службы — смесь экспоненциальных распределений, тогда мы уже знаем, что

где

и

В нашем первом примере предположим, что численность системы линейно возрастает по закону

где М — скорость роста. Тогда функция R (Т) может быть получена интегрированием непосредственно из (8.18). Подставляя результат в (8.19), находим

В табл. 8.4 приведены некоторые результаты вычислений по формуле (8.20) для трех видов распределений полного срока службы из семейства смесей экспоненциальных распределений. Значения параметров выбраны таким образом, чтобы распределения согласовывались с распределением данных по Гласиерской металлургической компании, фирме «Бибби и сыновья» и объединенной сталелитейной компании.

Таблица 8.4. Увольнения по кварталам для групп, которые увеличиваются с постоянной скоростью,

Если сравнить эти значения с данными табл. 8.1, то мы увидим, что текучесть кадров еще уменьшается, но не так быстро, как раньше. Из (8.20) видно, что не зависит от М, следовательно, число увольнений приближается к некоторому устойчивому значению независимо от скорости развития системы.

В предыдущем примере применялась непрерывная функция роста. Во втором примере примем, что N (Т) изменяется скачком от первоначального значения к новому значению в момент

времени Очевидно, что в этом случае среднее число увольнений равно:

Некоторые значения текучести кадров для такого вида развития приведены в табл. 8.5.

Таблица 8.5. Увольнения по кварталам для фирмы, увеличивающейся от до в момент времени когда предполагается, что применяется распределение полного срока службы объединенной сталелитейной компании,

Вычисления произведены для двух значений как так и N при предположении, что распределение полного срока службы аналогично распределению в объединенной сталелитейной компании.

Влияние резкого увеличения размеров системы заключается в задержке уменьшения текучести кадров. При значительном увеличении размеров временно увеличивается число увольнений, но этот эффект непродолжителен и через год он почти перестанет сказываться.

Сокращающиеся системы

Мы рассмотрели развивающиеся системы, которые получены суммированием отдельных процессов, но нельзя произвести расчеты в обратном направлении, так как будущее поведение зависит от процессов, которые не восстанавливаются. Мы не будем разрабатывать теорию сокращающихся систем, а вместо этого рассмотрим основополагающий случай, когда нужно определить максимальную скорость сокращения системы. Очевидно, что она достигается при полном прекращении найма. Задача заключается в том, чтобы определить ожидаемый размер системы как функцию времени, когда

найм полностью прекращен. Примем такой момент за начало отсчета времени. Пусть в этот момент численность системы равна . Через интервал времени Т ожидаемый размер системы будет равен:

где D (Т) — функция распределения времени, по истечении которого выбранный в момент времени случайным образом индивидуум уволится из системы. Это так называемое распределение остаточного времени обслуживания. Для индивидуума, имеющего в момент времени Т = 0 стаж х, функция распределения имеет вид

где — функция распределения полного стажа работы. Если первоначальная плотность функции распределения стажа а то

Функция распределения стажа может быть получена, как было описано ранее, или оценена эмпирически. Пока будем считать, что это какая-то произвольная функция. Обычно принято выражать желательную скорость сокращения системы через относительную. В случае непрерывного времени обозначим численность системы через

Возникает важный практический вопрос, насколько велико должно быть значение а, чтобы не было необходимости сокращения штатов. Другими словами, нужно найти наибольшее значение а для

при всех Т.

Когда распределение полного срока службы экспоненциальное, неравенство выполняется, если а . Таким образом, в сокращении штатов нет необходимости, если скорость убывания системы меньше, чем текучесть кадров. С первого взгляда этот результат очевиден, и можно предположить, что его можно распространить на распределение полного срока службы любого вида. Чтобы показать, что это заблуждение, рассмотрим в качестве распределения полного срока службы смесь экспоненциальных распределений. Подставляя функцию плотности в (8.21), а затем в (8.22), находим

В этом случае неравенство (8.24) выполняется для любого Т, если Мы уже получали текучесть кадров в установившемся режиме. Она равна что всегда меньше Следовательно, невозможно уменьшить систему со скоростью больше той, которая определяется текучестью кадров. Для некоторых распределений полного срока службы таких, как тип XI, функция уменьшается медленнее, чем любая экспонента, поэтому при заданной скорости убывания системы рано или поздно непременно потребуется сокращение штатов.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление