Главная > Разное > Стохастические модели социальных процессов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

7.5. ДОПОЛНЕНИЯ

При построении моделей, обсуждавшихся в этой главе, использовалась теория случайных процессов, изложенная в работах, на которые даются ссылки в «Дополнениях» гл. 3 и 5. Кроме уже знакомого материала, здесь рассматривались счетные бесконечные пространства состояний, а в случае винеровских процессов — непрерывные множества состояний. Оба эти вопроса в достаточной степени разработаны. Вывод, что линейные функции распределенных по различным законам случайных величин являются асимптотически нормально распределенными, был получен в соответствии с теорией вероятностей, например, в работе Феллера (1966, теорема 3, ст. 256). Исследование логарифмически-нормального распределения провели Айтчисон и Браун (1957). Логнормальное распределение иногда называют распределением (или законом) Гибрата по предложению экономистов, которые изучали распределения доходов или уровней благосостояния.

Мы обсудили большой класс моделей процессов уходов, не рассматривая все возможности даже тех из них, которые были нами сформулированы. Несмотря на это, некоторые из распределений, широко применяемых в теории испытаний и теории надежности, не обсуждались. Среди них гамма-распределение, различные распределения экстремальных значений, распределение Вейбулла. Эти распределения дают возможность точнее находить вероятности больших уклонений, которые получаются только для очень малых значений параметров их формы. Мы уже отмечали, что -образное гамма-распределение может

быть получено как смесь экспойенциальйых распределений, а у унимодального гамма-распределения монотонно. возрастающая интенсивность отказов.

Распределение Вейбулла, примененное Хорватом (1968) для описания распределения длительностей войн и забастогок, хорошо согласуется с данными. Хорват предложил модель, основанную на экстремальных значениях, аналогичную оригинальной модели Вейбулла для" сопротивления материалов. При развитии конфликта, будь то война или забастовка, существует множество препятствий на пути к достижению соглашения. Время до достижения соглашения по каждому из пунктов может рассматриваться как случайная величина, и конфликт по данному вопросу считается исчерпанным, как только разрешен первый пункт разногласий. Таким образом, согласно теории «слабых точек» выделяются все возможные потенциальные точки прорыва и «успех» достигается в одной из них. Если существует много таких точек и время до достижения соглашения по каждому из пунктов — случайные величины с одинаковым распределением, то согласно теории экстремальных значений соответствующее предельное распределение представляет собой распределение Вейбулла. Привлекательность этой модели заключается в ее общности, так как она не зависит от вида составляющих распределений. Однако это спорное достоинство для других приложений. Во многих процедурах выработки соглашения нет оснований предполагать, что конфликт будет прекращен, когда одно из препятствий будет преодолено. Может быть, необходимо достичь соглашения по нескольким или, возможно, по всем пунктам. Даже если допустить, что модель реалистична с этой точки зрения, весьма сомнительно, чтобы время достижения соглашения по любому пункту имело одинаковые распределения или даже в качестве хорошей аппроксимации было бы равно их предельным значениям. Тем не менее модель согласуется с данными и может быть принята.

Другая форма модели длительности войн была предложена Вейссом (1963). Его первая модель связывает возможность окончания конфликта в данный момент времени с числом погибших к этому моменту времени. Во второй модели возможность окончания войны является функцией как времени, так и числа погибших. Эти модели более общего характера, чем те, что обсуждались в настоящей главе, так как в них интенсивности переходов представляют собой функции не только времени, но и других параметров (хотя в этом случае число смертей — монотонная функция времени). Такое обобщение — шаг к большему учету реальности, но это и дополнительные сложности, оказывающиеся серьезным препятствием на пути к решению. Трудно отдать преимущество рассмотренным простейшим моделям или более сложным. Видимо, усложнение полезно тогда, когда появляется возможность дополнительно получить более детальные исходные данные.

Двучленная смесь экспоненциальных распределений была связана с распределением длительности пребывания без работы, при этом экспериментальным путем были выделены две популяции, одна из которых определялась как «постоянное ядро» безработных, а другая — как «временные» безработные (см. IMS Monitor, т. 2, 1973, с. 29—32).

Непрерывные смеси распределений аналогичного вида описаны в работе Ланкастера и Никелла (1980). Уже отмечалось использование смесей экспоненциальных распределений Ван Корффом (1979) для описания длительности пребывания в больнице. В следующей главе будут рассмотрены многошаговые процессы восстановления. Мы определим распределение состояния системы и покажем, что оно также имеет вид смеси экспоненциальных распределений.

Сопряженное распределение Гаусса обладает рядом достоинств, и Уайтмор (1979) отметил, что оно сходно по форме с логнормальным, если равно 10 или больше, а . Свойства этого распределения и полная библиография приведены в работе Чхикора и Фолькса (1978). Уайтмор (1976) пересмотрел перечень приложений этих моделей и, кроме названных здесь, включил в него распределение времени реализации ценных бумаг заданной стоимости. Оно основано на том, что изменение стоимости ценных бумаг на бирже представляет собой случайный процесс (см. работу Кутнера, 1964). Краткий обзор моделей, описывающих дискретный случайный процесс с произвольными распределениями, приведен во втором издании настоящей книги (см. гл. 6, с. 201).

Применение смесей экспоненциальных и логарифмических распределений, которые сводятся к распределениям ПСС, обсуждается в книге Бартоломью и Форбеса (1979). В ней даются ссылки (см. с. 75) на неопубликованную работу Д. Кронина, посвященную логарифмически-логистическому распределению. Логистическое распределение по форме аналогично нормальному распределению, поэтому те же выводы можно сделать относительно логарифмически-логистического и логарифмически-нормального распределений. Логарифмически-логистическое распределение может быть получено как смесь распределений Вейбулла, которые, в свою очередь, получаются из теории экстремальных значений. Интересная особенность логарифмически-логистического распределения становится очевидной, если рассмотреть функцию дожития следующего вида:

если х велико, то большие уклонения распределены по закону Парето. Таким образом, различные смеси экспоненциальных распределений, логарифмически-нормальные, сопряженные гауссовские и логарифмически-логистические распределения приводят к распределениям продолжительности пребывания в состоянии, близким по форме. Преимущества этого заключаются в том, что мы рассматриваем соответствующий вид распределения для решения статистических задач и выбираем то, которое наиболее подходит для исследуемого объекта. Если, с другой стороны, нам недостаточно понятна суть социального процесса, то с позиции практики невозможно различить модели. Все, что мы можем исследовать, это то, что можно получить, изучая продолжительность пребывания в состоянии. Для дальнейших шагов необходимо изучать другие аспекты процесса.

Основные исследования распределений размеров проведены Чампернауном (1979), Стейндлом (1965), Ирием и Симоном (1977), а также Зипфом (1949), хотя Зипф не рассматривал стохастические модели. Клифф и соавторы (1975, гл. 2) рассмотрели несколько моделей, включая модель Зипфа, для исследования распределений размеров в приложении к географии. Кендалл (1961) привел несколько дополнительных примеров распределения Юла-Симона. Последние работы по распределению доходов и уровней благосостояния — это работы Лилларда и Уиллиса (1978), а также Пестьо и Поссена (1979).

Другой подход к выводу закономерности Зипфа был применен в работах Хилла (1970, 1974), Хилла и Вудруфа (1975), Чена (1980). Здесь в начале рассматривалась классическая задача размещения, сводящаяся к задаче заполнения ящиков шарами. Уолд и Уйтл (1957) предложили развитие этой модели, основанное на процессах размножения и гибели, в применении к описанию распределения уровней благосостояний. Наряду с другими предложениями они считали, что наследники делят имущество на равные части. Обзор применения теории вероятностей для описания распределений размеров предприятий с множеством численных примеров и ссылок на литературу приведен в работе Коллинза (1973). Шоррокс (1975) показал ограниченность рассмотрения только устойчивых состояний и в своей статье рассмотрел также переходный режим.

Одна из возникающих проблем стохастического моделирования заключается в том, что две или более моделей практически неразличимы. Это явление встречалось несколько раз в предыдущих главах и особенно сильно оно проявляется для моделей длительности пребывания и размеров. Ланкастер и Никелл (1980) перечислили эти трудности в связи с рассмотрением длительности пребывания. Но эта проблема не новая. Она была поставлена в связи с изучением причин несчастных случаев, где, если рассматривать только частоту распределения числа несчастных случаев, невозможно определить, действительно ли относительное увеличение вероятности связано с уже происшедшими несчастными случаями или оно определяется индивидуальными изменениями. С формальной точки зрения эта дилемма аналогична той, на которую мы обратили внимание при рассмотрении модели Шоррокса и Симона для распределения численностей. Для исключения двусмысленности нам необходимы различные модели, показывающие, какого рода данные требуются для исследования.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление