Главная > Разное > Стохастические модели социальных процессов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

7.4. МОДЕЛИ РАЗМЕРОВ СИСТЕМ

Обычно приписывают Парето открытие того факта, что логарифм доли людей с доходами, большими, чем часто примерно пропорционален — когда х велико. Распределения, обладающие этим свойством, часто называют распределениями Парето, а константа пропорциональности известна под названием параметра Парето. С практической точки зрения очень легко сравнить распределения доходов графическими методами. Зипф (1949) обнаружил, что той же особенностью обладают другие распределения, описывающие размеры систем, включая, например, размеры городов в США и в других западных странах. В этом смысле широко известна закономерность Зипфа. Зипф сам пытался доказать, что эта закономерность — следствие того,

что он назвал принципом наименьших усилий, который, по его мнению, лежит в основе поведения людей. Другие исследователи, начиная с Симона (1955), пытались построить стохастическую модель роста, которая привела бы к распределениям устойчивых состояний, обладающих свойством Парето. Получается, что большой класс процессов сводится к распределениям, имеющим форму Парето, и в этом разделе мы опишем некоторые из самых простых случаев. Эти модели в вероятностных терминах описывают, как размеры систем меняются во времени. Время и размеры могут быть непрерывными или дискретными. В этом разделе мы будем полагать, что размер системы — дискретная переменная, принимающая значения 1, 2, 3..... Время будет считаться непрерывным в первых двух моделях и дискретным в третьей. Симон (1955) вывел закон в несколько более общем виде, чем он описан выше, и показал, что для многих распределений размеров систем поведение функции вероятности при больших i имеет вид

где так близок к единице, что существенно влияет на только тогда, когда i очень велико и

Модель Шоррокса

Эта модель основана на марковском процессе с непрерывным временем, она эквивалентна процессу размножения и гибели с иммиграцией, рассматриваемому в большинстве учебников по теории случайных процессов. Поскольку нет ограничений сверху на размеры системы (по крайней мере, теоретически), процесс имеет бесчисленное множество состояний, в то время как до сих пор мы рассматривали процессы с конечным числом состояний. Ключевым моментом задачи является вопрос, существует ли устойчивое состояние, так как область распределения может быть бесконечной. Мы будем рассматривать эти случаи последовательно, но для полного обоснования этапов необходимо сослаться на основные учебники, перечисленные в разделе «Дополнения» в гл. 5. Когда для описания модели роста используется марковский процесс, представляет собой вероятность того, что индивидуум передвигается из категории размера i в категорию размера за период времени Тогда вероятности состояний — распределение численности системы в момент времени Т. Нас будут интересовать лишь некоторые виды этого распределения.

Шоррокс (1975) предложил следующую модель распределения уровней благосостояния:

По определению эта модель относится к описанию замкнутой популяции, но ее можно приспособить и для описания открытых популяций, если положить, что тот, кто покидает систему, заменяется новым,

получающим уровень благосостояния выбывшего. Вероятности распределения уровней для таких процессов удовлетворяют уравнениям (см. (4.4)):

Если существует устойчивое распределение, оно может быть найдено из (7.22) после замены производной нулем и при исключении 7. При последовательно решая уравнения и используя тот факт, что находим

где Устойчивое состояние существует, если Это означает, что интенсивность «размножения» к должна быть меньше, чем интенсивность «гибели». Уравнения (7.23) определяют отрицательное биномиальное распределение, которое можно получить, когда t велико, на основании того факта, что

Таким образом, находим

что соответствует (7.20) при Для того чтобы получить распределение, согласующееся с (7.20), интенсивности размножения и гибели должны быть примерно равными (полагаем )

Сейчас необходимо установить основание выбора интенсивностей в (7.21). Ограничения продвижения в смежные группы заключаются в том, что рост осуществляется непрерывно, это для многих приложений вполне обоснованное предположение. Если взять то интенсивности переходов согласуются с законом «эффекта пропорциональности», так как, скажем, чем выше уровень благосостояния в настоящий момент, тем больше увеличение. Из этого, в свою очередь, следует, что в среднем изменения для тех, кто находится в группе за время пропорциональны i. Видимо, такая версия модели больше всего подходит для описания размеров городов, так как при отсутствии миграции можно ожидать изменения (положительные или отрицательные), пропорциональные размерам.

Если интенсивности размножения и гибели примерно равны, то проявляется закономерность Зипфа, Если разрешается миграция из внешней среды, то тогда параметр Парето меньше единицы. Применительно к описанию уровней благосостояния положительное значение v соответствует тому, что уровень благосостояния повышается при поступлениях из некоторых источников, независимых от имеющегося уровня. В модели может быть Это означает, что

рост не определяется настоящим размером. В этом случае решение (7.22) сводится к распределению Пуассона:

Дальнейший анализ проводится при предположении об однородности, которое заключается в том, что для всех членов популяции справедлив один и тот же закон роста. Ранее предполагалось, что должны разрешаться индивидуальные различия. Чтобы реализовать это, нужно считать один или несколько параметров случайными величинами. Однако построенная модель уже и так достаточно многозначна, и сейчас мы это покажем. Предположим, что изменения, сформулированные в (7.21), применимы к любому данному индивидууму с а индивидуальные различия непрерывны и их плотность выражается гамма-распределением

Тогда

что соответствует (7.23). Следовательно, распространенность отрицательного биномиального распределения может быть результатом или того, что система однородна с или того, что имеется смесь систем с

Хотя отрицательное биномиальное распределение принадлежит к семейству распределений, удовлетворяющих (7.20), значение параметра Парето для него не может быть больше единицы. На практике в распределениях они имеют большие значения, обычно от 1 до 2. Следовательно, нам необходимо рассмотреть вторую модель, для которой не нужно вводить такое ограничение.

Модель Юла—Симона

Это также марковская модель, но с интенсивностями переходов, равными

В смысле учета роста эта модель идентична (7.21). Однако она позволяет описывать открытые системы заданного размера, в которых при уходах индивидуумы замещаются новыми, поступающими на нижний уровень. Выбор постоянных интенсивностей уходов означает, что вероятности уходов одинаковы для любого уровня. Очевидно, что к должно быть неотрицательно, поэтому численность системы пропорциональна

ее размерам и вероятности их переходов — постоянные величины. Симон (1955) предложил вариант модели с дискретным временем и обратил внимание на то, что также сделал такое предположение, чтобы описать распределение числа типов заводов, имеющих i видов.

Из этой модели неясно, как определять размеры городов, поскольку, хотя скорость возрастания и можно аппроксимировать с помощью линейного роста интенсивности, города полностью не исчезают. Симон (1955) дал другую, более предпочтительную интерпретацию модели. Он показал, что то же самое распределение получается как квазиустойчивое состояние увеличивающейся численности населения городов, которое обеспечивается за счет новых городов минимального размера.

Легко показать, что уравнения устойчивого состояния для модели (7.26) будут такими:

Таким образом,

где Симон (1955) рассмотрел только особый случай, когда для которого

Для больших значений можно выразить (7.27) в виде гамма-распределения и использовать такую же аппроксимацию, которая была рассмотрена ранее. Таким образом, находим

    (7.29)

так что — параметр Парето, в качестве которого можно взять любое число больше единицы.

Кроме описанного выше приложения, Симон (1955) рассмотрел распределение частоты употребления слов и числа статей различных авторов, опубликованных в научных журналах за несколько лет. Результаты относительно статей и заметок в журнале «Эконометрия» за 20-летний период приведены в табл. 7.4. Естественно, модель слишком проста, чтобы полно отразить ситуацию, но стоит отметить, как много можно сделать с ее помощью. Оценка для значения означает, что автор, вероятно, в 69% случаев прекращает писать новые статьи.

Так же, как в модели Шоррокса, распределение (7.27) может быть получено с помощью смеси нескольких распределений. Как и ранее, положим чтобы рост больше не зависел от численности. В этом

случае распределение (7.27) сводится к геометрическому распределению:

Пусть теперь имеет бета-распределение с функцией плотности

Тогда

что представляет собой несколько иную форму записи (7.27). Это приводит к той же дилемме, что и ранее. Хорошее согласие модели с данными из табл. 7.4 может означать, что чем больше статей написано автором, тем, вероятно, он напишет их еще больше. Это может означать также, что авторы имеют различные склонности к сотрудничеству в журналах, а написанное ранее не влияет на то, что они пишут в настоящее время.

Таблица 7.4. Число авторов, написавших i статей в журнал «Эконометрика» в течение 20-летнего периода

Очевидно, что, используя описание непрерывного марковского процесса, можно получить множество других моделей этого типа. Предоставив это читателю, мы перейдем к моделям с дискретным временем.

Модели размеров с дискретным временем

В принципе, чтобы перейти к моделям с дискретным временем, нужно произвести только одно изменение: заменить интенсивности переходов вероятностями переходов. Однако в этом имеются некоторые сложности, и их необходимо рассмотреть. Если мы хотим, чтобы выполнялся закон пропорциональности (размерам численностей), мы не можем больше ограничиться переходами в смежные группы. В этом случае возможны изменения только за счет введения различных пропорций текущих значений численностей, поэтому одни и те же пропорции изменений не могут определяться одними и теми же вероятностями. В любом случае может появиться необходимость допустить переходы

в несколько групп, если дискретный интервал времени не выбран подходящим образом. Даже если разрешить переходы между несмежными градациями, построение матрицы переходных вероятностей, которая позволяет получить те же пропорции изменений численности при тех же значениях вероятностей, невозможно при небольшом числе параметров. Однако эти трудности можно обойти, полагая, что относительные размеры — непрерывная переменная, а состояния цепи образованы группировкой. Если мы сформируем группы таким образом, что границы (а следовательно, и средние точки) образуют геометрическую прогрессию, то переход из группу влечет за собой одинаковые относительные изменения численностей для всех i (в среднем). Таким образом, вся матрица переходных вероятностей может быть определена через элементы одной строки. Некоторые переделки должны иметь место для нижнего ряда, так как, например, невозможно перейти ниже из самой нижней группы. На практике число групп будет конечным: в наивысшей группе будут все члены системы, находящиеся выше определенного уровня. Однако из теоретических соображений положим, что имеется неограниченное число групп. Несмотря на «концевые эффекты», можно увидеть, наблюдая эмпирическую матрицу переходных вероятностей, правдоподобна ли она при выполнении закона пропорциональности. Ниже дается матрица оценок, приводящая к распределению доходов, которая получена Шорроксом (1976); она хорошо согласуется с моделью;

Чампернаун (1953, 1973) с помощью марковских цепей с дискретным временем получил ряд моделей для доходов, в которых учитывается влияние закона пропорциональности. В простейшей из них индивидуумы могут двигаться вверх на одну группу, оставаться в своей или двигаться вниз на групп. Если в результате такого движения получается, что они должны опуститься ниже самой низшей группы, то по предположению они переходят в самую низшую группу. Так как матрица переходных вероятностей не зависит от текущего состояния, ее можно записать в следующем виде:

Если устойчивая структура q существует, то она удовлетворяет уравнению в котором элементы Р определяются (7.32). Если выписать их полностью, то получим

Первым уравнением при можно пока пренебречь. Рассмотрим возможное решение в виде Если такое решение существует, то подстановка его в (7.33) показывает, что х должно удовлетворять уравнению

Обозначим правую часть (7.34) через . Для того чтобы была распределением вероятностей, необходимо, чтобы выполнялось неравенство с 1. Имеются ли подходящие корни — можно исследовать графически, получая пересечения . Многочлен монотонно возрастает (так как все его коэффициенты неотрицательны), начиная с при х = 0. Есть точка пересечения с х при так как Для того чтобы существовали корни на отрезке (0, 1), тангенс угла наклона при должен быть строго больше единицы. Тогда

где определяется как среднее значение числа шагов, сделанных вниз. Таким образом, условие, что процесс приближается к устойчивому состоянию, заключается в том, что Если то распределение в устойчивом состоянии представляет собой геометрическую прогрессию, так как на отрезке (0, 1) существует по крайней мере один корень, такой, что

где х — корень функции на отрезке (0,1). Вспомним, что i измеряется по логарифмической шкале. Нижняя граница для группы будет иметь вид по арифметической шкале, поэтому если обозначить через S размеры, превышающие некоторую величину, то вероятность записывается как

Таким образом, распределение имеет форму Парето для всех S, а не только для больших S. Как отметил Чампернаун (1973), предположения, принятые при построении модели применительно к доходам, сильно ее огрубляют, но он мог бы показать, что вид распределения высших членов ряда —это распределение Парето при различных обобщениях, когда выполняется закон пропорциональности.

Тот же вид распределения по закону геометрической прогрессии получается и при дискретном варианте модели Юла—Симона. В этом случае мы имеем

Для данной ситуации устойчивое распределение всегда существует и

Можно получить общий вариант для обеих рассмотренных выше моделей, если ввести нижние ограничения размера — минимум дохода или пороговый размер, который должен быть превышен, чтобы индивидуум мог попасть в популяцию. Это не влияет на вид распределений в области больших размеров.

Труднее ответить на вопрос, почему действие закона пропорциональности не приводит к логнормальному закону распределения численностей в этих моделях, что можно было бы предположить, если следовать логике развития модели из раздела 7.3. В модели Юла—Симона изменение добавки дохода пропорционально ему, поэтому он зависит от , отсюда условия применимости центральной предельной теоремы не выполняются. То же самое можно сказать и о модели Чампернауна.

Хотя область применения моделей размеров, которые были здесь рассмотрены, весьма ограничена, мы должны были достаточно подробно их обсудить, так как часто встречаются положительно скошенные распределения типа логнормального или распределения Парето. Здесь нет ничего удивительного, поскольку это явление тесно связано с законом пропорциональности.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление