Главная > Разное > Стохастические модели социальных процессов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

7.3. ЛОГНОРМАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ РАЗМЕРОВ СИСТЕМЫ И ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТИ ПРЕБЫВАНИЯ В СОСТОЯНИИ

Если логарифм положительной случайной величины X имеет нормальное распределение, то говорят, что величина X распределена по логарифмически-нормальному (логнормальному) закону. Это распределение положительно асимметрично в той же степени, в какой оно зависит от стандартного отклонения логарифма X. С помощью логнормального распределения успешно описываются многие распределения продолжительности пребывания в состоянии и размеров системы. Логарифмирование дает существенные статистические

преимущества, так как, имея дело с логарифмами переменных, мы применяем все методы теории нормальных распределений. С практической точки зрения важно понять, какие процессы приводят к логнормальному распределению. В работе Айтчисона и Брауна (1957) дано полное описание распределения с его свойствами, а также рассмотрены некоторые приложения.

Видимо, Лане и Андрю (1955) были первыми, кто открыл, что распределения ПСС могут быть успешно смоделированы логнормальными распределениями. С тех пор их результат неоднократно был подтвержден во многих странах с разной точностью. Это распределение обладает важной особенностью — ненулевой модой, и во многих приложениях имеет преимущество по сравнению со смесью экспоненциальных распределений. Хотя, когда данные грубо обработаны, наличие моды не очевидно, при лучшей группировке она легко выявляется, и предпочтительнее иметь модель, обладающую этой особенностью. Некоторые распределения размеров системы также лучше описывать в виде логнормальных распределений. Айтчисон и Браун (1957) рассмотрели эти распределения применительно к описанию распределений доходов и привели множество примеров. В работе Стейндла (1965) исследуется пример из экономики с распределением заводов обрабатывающей промышленности по числу работающих и фирм по объему годового оборота. В естественных науках логнормальное распределение используется для описания распределения размеров частей при дроблении. Хотя с точки зрения общественных наук непосредственного интереса эти результаты не представляют, рассмотренный механизм позволяет провести аналогию с некоторыми видами распределений социальных процессов.

Как уже отмечалось, широкое распространение нормального распределения объясняется действием центральной предельной теоремы, когда суммируются случайные величины. Если переменная распределена по логнормальному закону, то следует задать вопрос, действительно ли это следствие того, что она представляет собой произведение случайных величин, а значит, их логарифм равен сумме. Это приводит нас к необходимости исследовать, возможна ли такая интерпретация в различных приложениях. Так как все описанные здесь модели имеют одну и ту же структуру, удобно начать с изложения наиболее существенных результатов в абстрактном виде.

Рассмотрим последовательность случайных величин образованных следующим образом. задано, а другие величины ряда образуются, если взять

где из — случайные величины, распределенные по одному и тому же закону для любых 7. Иными словами, из выражения (7.16) вытекает, что относительное изменение Т при переходе от распределено по закону, не зависящему от значения . В соответствии с (7.16)

или

Предположим, что распределение величин и таково, что для их суммы справедлива центральная предельная теорема, поэтому при увеличении j величина асимптотически стремится к нормальному закону распределения, и, следовательно, величина — к логнормальному. Это полностью справедливо, если и независимы и имеют одинаковые распределения, но во многих случаях такие требования могут быть ослаблены без нарушения асимптотической нормальности.

Сейчас нам нужно рассмотреть, как эту общую модель можно интерпретировать в различных приложениях. Мы не говорим, что модель близка к действительности всегда, но она отражает особенность социальных процессов, для которых характерно, что в предельном случае они описываются с использованием логнормального закона распределения. Первая версия модели связана с многократным дроблением на части. Предположим, что крупный землевладелец делит имущество среди наследников. Далее эти наследники делят то же имущество среди своих наследников, и так из поколения в поколение. Какое распределение будет иметь размер состояния через несколько поколений? В среднем состояние становится, конечно, меньше, но нам интересен характер распределения. Если — случайная величина размера состояния в поколении, то — доля состояния отца, которая достается случайно выбранному наследнику следующего поколения. Если пропорции деления наследства в некоторой мере случайны и существует требуемая независимость между поколениями, то на основании изложенного можно ожидать, что распределение будет асимптотически-логнормальным. Аналогичную аргументацию можно применить при рассмотрении повторяющегося деления любой количественно выраженной величины. Например, общество при изучении делится на все более мелкие группы, численность которых в пределе имеет приближенно логнормальное распределение. Как отмечено Айтчисоном и Брауном (1957), эти идеи приводят к разработке теории группирования, в соответствии с которой группы получают путем последовательного деления. Например, при изучении контингента рабочих они вначале подразделяются по уровню квалификации, затем по полу, затем по уровню физического труда и т. д. Распределение численности рассматриваемых групп может быть асимптотически-логнормальным.

Вторую версию модели иногда используют для описания распределения по уровню благосостояния. Пусть, например, уровень благосостояния некоторого индивидуума в начальный момент времени равен величине он изменяется через интервалы времени, помеченные За любой интервал уровень благосостояния может измениться случайным образом. Очень вероятно, что чем выше начальный уровень, тем больше изменение. Если допустить, что относительное изменение распределено по одному и тому же закону, когда

уровень благосостояния индивидуума и изменения независимы, то в общей модели величины и независимы и одинаково распределены. В этом случае модель обладает нежелательным свойством. Как следует из (7.17), дисперсия пропорциональна величине отсюда распределение по уровню благосостояния обладает увеличивающимся со временем разбросом. Айтчисон и Браун (1957) приводят некоторые примеры, иллюстрирующие такое положение, хотя оно в основном, по-видимому, не имеет места. На практике оказывается, что действуют другие факторы, особенно это не выполняется в предельном случае, когда под их воздействием дисперсия не увеличивается. Это подтверждает замечание Стейндла (1965, с. II) по поводу того, что согласование логнормальной модели с практикой удовлетворительно в средней области, но слабое в предельном случае. Аналогичные рассуждения могут быть и при описании увеличения размеров города, рост которого по схеме размножения и гибели (или аналогичной) определяется изменениями, пропорциональными размерам в данный момент времени.

Третья интерпретация модели может быть дана при предположении, что изменения происходят не последовательно, а более или менее одновременно. В соответствии с этим, например, поступления индивидуумов определяются большим числом независимых факторов, действие которых умножается. Так, рост цен на предметы потребления повышает доходы всех производителей товаров в одинаковой пропорции, а взимание налогов при одинаковом проценте уменьшает их в той же пропорции. Если таким образом действует большое число факторов, то существуют условия для того, чтобы ситуация описывалась по логнормальному закону.

Применение логнормальной модели для описания полного срока службы может быть аналогично, но это сопряжено с некоторым риском. Рассмотрим последовательность мест работы какого-либо индивидуума и обозначим через время работы на месте. Тогда линейное уравнение (7.16) будет просто описанием того, как текущее состояние определяет поведение в будущем. Это подразумевает наличие связи между временами пребывания, так как продолжительное пребывание на одном месте предрасполагает к работе продолжительное время на другом и т. д. Этим можно объяснить логнормальный закон пребывания на многих местах работы, но нельзя дать объяснения логнормальному времени пребывания на первой работе. Чтобы рассмотреть этот случай, необходимо обратиться к третьей интерпретации распределения размеров. Предположим, что время, которое индивидуум, поступая на работу, собирается проработать на данном месте. В первый период времени на данном рабочем месте он подвержен влиянию многих факторов. Некоторые из них благотворные и склоняют его остаться здесь дольше, чем он предполагал. Другие факторы отрицательные, они обусловливают стремление индивидуума уйти. Таким образом, первоначальные намерения работника меняются под действием различных факторов. Если выразить влияние каждого фактора на ожидаемое время службы в виде случайной величины и, то представляет собой действительную продолжительность работы индивидуума

на данном месте под влиянием факторов. Если принять то же предположение о случайности и, то действительное время работы на одном месте будет распределено по логнормальному закону.

Согласно этой версии модели индивидуальные отличия будут отражаться на величине Это влияние можно получить, пытаясь изменить средние значения и так, чтобы увеличить (или уменьшить, если это необходимо) действительное время службы.

В разделе 7.2 мы показали, на каких основаниях в модель вводится учет различия между индивидуумами. Тот же подход может применяться для описания многих распределений размеров систем. Для того чтобы реализовать его здесь, положим, что По крайней мере, в приложениях к описанию увольнений есть эмпирические основания считать, что скорее всего неоднородность приводит к вариации Если мы допустим, что функция распределения равна то плотность функции смеси логнормальных распределений равна:

Заметим, что область значений — вся вещественная ось. Если положить то легко показать, что

Другими словами, распределение имеет тот же вид, но оно более асимметрично, чем первоначальное, так как имеет большую дисперсию . Таким образом, если смесь распределений нормальна (и многие характеристики людей включены здесь же), то логнормальный вид распределения сохраняет неоднородность шкалы параметров.

Подводя итоги, можно сделать вывод, что аргументация и модели, полученные в настоящем разделе, дают основания полагать, что логнормальное распределение будет постоянно появляться. Такому постоянству пока нет полного объяснения. Например, если даже первая версия модели правильна, то мы не можем показать, Почему соотношение между и просто линейно, как зафиксировано в (7.16).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление