Главная > Разное > Стохастические модели социальных процессов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6.4. ПОДДЕРЖАНИЕ СОСТОЯНИЙ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВНЕШНИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

Когда мы исследуем поведение системы при случайных внешних воздействиях, возникают новые весьма тонкие особенности. В детерминистском случае структура может быть или сохранена, или нет. При случайных воздействиях возможно поддержание любой структуры, если достаточно много людей покинуло систему. Тем не менее некоторые структуры поддерживать легче других. Далее мы введем понятие вероятности того, что структура может быть сохранена. Величина этой вероятности зависит от момента времени, когда принято решение о принятии в систему новых людей. Если бы контролируемые потоки существовали уже на этом этапе, то мы были бы более информированы и поэтому лучше бы поддерживали структуру. Другое различие между детерминистским и вероятностным исследованием вытекает из первого. В детерминистском случае структура, которая может быть сохранена, сохраняется неограниченно долго. При случайном внешнем воздействии лишь некоторые структуры могут сохраняться бесконечно долго, и, следовательно, мы должны изучить, как обеспечить в течение определенного периода времени структуру, наиболее близкую к целевой. Отсюда задачи поддержания и достижимости тесно связаны, и мы не можем рассматривать одну из них без связи с другой.

Вероятность поддержания структуры посредством найма

Структура может быть поддержана с помощью найма тогда и только тогда, когда для каждой градации сумма потоков в нее (до найма) не превышает размера, соответствующего целевой структуре. Таким образом, чтобы была структурой, которая может быть сохранена, требуется

где аргумент для простоты опущен. Ранее, когда могли иметь место любые потоки, считались случайными величинами, и мы могли вычислить вероятность того, что можно сохранить определенную структуру, по формуле

В марковских моделях потоки уходов из градаций имеют полиномиальное распределение с параметрами , поэтому в принципе может быть определена.

Перед тем, как перейти к обсуждению, как это сделать практически, кратко рассмотрим, что произошло бы, если бы число вновь нанятых задавалось до того, как стали известны значения Тогда можно было бы действовать в предположении, что размер найма равен своему математическому ожиданию, и выбрать . Такая политика приведет к сохранению структуры только в том случае, если сделанное предположение точно выполняется, а это маловероятно. Поэтому в данной ситуации рассматривать не имеет никакого практического смысла. Таким образом, далее рассмотрим предположение, что известны к моменту выбора

В некоторых специальных случаях получить оценку для легко. Например, пусть представляет собой распределение по возрастам (или стажу работы) с интервалом в один год, — численность людей в возрасте (стаж) i. Тогда через год все индивидуумы или покинут систему, или будут в возрасте и переходные вероятности равны:

в противном случае.

После всех уходов вектор заменяется вектором

где — численность людей, покинувших систему в возрасте i. Его значение может быть восстановлено до , если выбрать следующее значение вектора нанятых:

Определим вероятность того, что все элементы этого вектора неотрицательны. Поскольку — независимые биномиально распределенные величины, то

где . Если то Это означает, что, по крайней мере, некоторые структуры точно могут быть сохранены даже при случайных переменных.

В матрицах Р общего вида вероятность представляется не так просто, как в (6.45), но она может быть найдена, если N не слишком велико; некоторые ее значения приведены в табл. 6.2. С другой стороны, может быть найдена хорошая аппроксимация в соответствии с центральной предельной теоремой. Таким образом, пусть

тогда

имеет полиномиальное распределение со средними и дисперсиями, приведенными выше. С учетом поправки на непрерывность получим

где и имеет стандартное нормальное распределение с такой же корреляционной матрицей, что и Х Эта аппроксимация особенно полезна, когда N велико, a k мало. Некоторое представление о ее точности можно получить из табл. 6.2.

Таблица 6.2. Точное и аппроксимированное значение для системы при

Для практических целей точность аппроксимации достаточна, даже когда размеры градаций весьма малы. Структура в левой части таблицы представляет последнюю сохраняемую структуру вида пирамиды вершиной вниз, а в правой части — середину области . Более полную картину зависимости от структуры при том же значении Р и

N = 90 дает рис. 6.3. Детерминистская область поддержания обозначена на рисунке, и мы видим, что мало вне области и велико внутри нее. Однако часто весьма велика вероятность того, что структуры внутри не могут быть сохранены при случайных воздействиях внешней среды.

Рис. 6.3. Вероятность поддержания различных структур посредством управления наймом при

Как это и следовало ожидать, можно показать, что внутри области вне ее. На границе предельное значение лежит между 0 и 1.

Вероятность поддержания структуры посредством продвижений

Здесь мы ограничимся обсуждением ситуации, когда градации образуют иерархию и продвижение осуществляется только в ближайшую верхнюю градацию. В этом случае соответствующие разностные уравнения запишутся так:

где . Условие, что структура сохраняема, заключается в том, что потоки людей должны удовлетворять неравенствам

Правая часть неравенства получается вследствие предположения, что потоки продвижения происходят после потоков увольнений; она отражает лишь тот факт, что численность людей, получивших повышение, не может быть больше, чем число мест в градации. Полагая в (6.47), находим

Из этого следует, что

Снова можно точно вычислить так как распределения используемых случайных величин полностью описываются марковской моделью. На практике эти вычисления громоздки, но можно воспользоваться аппроксимацией нормальным распределением, как было описано выше. Сосредоточим наше внимание на ситуации, когда все поступления осуществляются только на нижнюю градацию. В этом случае

и, значит,

Последний шаг непосредственно следует из тривиальности левой части неравенства. Так как W, независимы и распределены по биномиальному закону, их суммы приблизительно нормальны с

где При нормальной аппроксимации в непрерывном случае получаем

где — переменные, распределенные по стандартному нормальному закону, имеющие те же коэффициенты корреляции, что и

Если то можно применить аналогичный подход, но область, в которой следует искать вид многомерного нормального распределения, более сложная. Важно различать, как нанятые распределяются по градациям — в заданных пропорциях или с заданными вероятностями. Пока нет теории, соответствующей последнему случаю, но предыдущий рассмотрен в работе Бартоломью (1979), где приведен пример, показывающий зависимость от п. Как и при управлении наймом, граница области М делит все структуры на те, для которых и на те, для которых

Стратегии поддержания структур посредством найма

Дальнейший анализ дает только частное решение проблемы поддержания. Считая, что неравенства (6.43) выполняются, выбираем

но на вопрос, что делать, если некоторые из отрицательны, еще нужно ответить. Мы опишем два подхода к решению этой задачи.

При первом подходе мы откажемся от попытки сохранить структуру точно. Вместо этого только потребуем, чтобы ожидаемый вектор уходов был равен в любой момент времени. Для этого нужно взять

равенство можно проверить подстановкой в (3.2). (При данном подходе игнорируют тот факт, что f должно состоять из целых величин. Это можно исправить, так случайно округляя компоненты, чтобы (6.53) было математическим ожиданием f.) Поскольку структура более не является постоянной, полезно найти способ для оценивания, насколько возможны отклонения структур от п. Это определяется с помощью дисперсий и ковариаций, которые следуют непосредственно из результатов, приведенных в гл. 3. Сейчас слагаемое в (3.38) постоянно, и поэтому все другие слагаемые, возникающие вследствие отклонений от него, исключаются. Поэтому из результата (3.40) исключается . В рассматриваемом случае полезно выделить дисперсии и ковариации и сформировать из них квадратичную матрицу. Разностное уравнение для ковариационной матрицы V (Т) имеет вид

где

Преимущество рассматриваемой стратегии в том, что она может быть применена раньше, чем получены значения величин увольнения, но это такжеозначает, что общий размер системы будет меняться. Если число уволившихся известно до того, как принято решение о новом найме, то одна из стратегий, обеспечивающих постоянные размеры

системы, заключается в том, чтобы сохранить общий размер и распределять принятых пропорционально уволившимся. В этом случае

где . Можно показать, что такая стратегия является несмещенной в том смысле, что для всех Т, и, кроме того,

(см. работу Бартоломью, 1975). Можно ожидать, что такая стратегия отражает более жесткое управление с целью сохранения структуры.

Очевидная ограниченность «постоянной» стратегии состоит в том, что она не учитывает текущее состояние системы. В некоторых случаях можно было бы весьма точно поддерживать целевую структуру, но при постоянной стратегии это не получается. В такой ситуации естественно проанализировать адаптивные стратегии вдоль траекторий, которые приводили к достижению структур в детерминистской внешней среде. Наш второй подход заключается в движении вдоль этих траекторий. На каждом шаге мы стремимся находиться как можно ближе к целевой структуре. Пусть — общая численность градации после того, как осуществлены увольнения и продвижения. Очевидно, что структура может быть сохранена точно, если для всех Когда не выполняется, по крайней мере, одно из неравенств, требуется некоторая модификация. Если мы принимаем людей в градацию, то ее общая численность будет . Тогда разумно выбирать такие значения чтобы минимизировать

при условии . Решение этой задачи очевидно, если взять

Такое решение означает, что каждая градация, численность которой ниже целевой, должна быть увеличена до необходимого уровня, численности градаций, большие, чем целевые, остаются без изменений. Рассматриваемая стратегия имеет один очевидный и серьезный недостаток. Она приводит к тому, что общие размеры системы обычно больше, чем требуется, и никогда не бывают меньше. Таким образом, она смещена в сторону роста. Можно гарантировать, что общие размеры системы останутся без изменения, если дополнить (6.56) ограничением

Задача минимизации, по существу, та же, что возникала для функции расстояния в разделе в ней все абсолютные величины заменены пропорциями.

Теперь остается сравнить постоянную и адаптивную стратегии. Процесс, определяемый двумя адаптивными стратегиями, описывается как марковская цепь, в которой множество состояний — все возможные структуры. Следовательно, в принципе могут быть получены такие величины, как средние и дисперсии. На практике число состояний системы реальных размеров так велико, что данный подход не применим. Сравнение основано на имитации. В табл. содержатся средние значения векторов состояний, полученные при проведении 10 000 испытаний при использовании тех же матриц переходных вероятностей, что и в табл. 6.2. Когда структуры находятся в середине области и сохраняются при одинаковых наймах на все уровни, смещения в обоих случаях незначительны. Они существенно больше для структур, которые поддерживаются наймом только на нижний уровень. Однако ущерб становится больше выгоды, если сравнивать близость с целевой структурой, как сравнивалась ранее близость с постоянными стратегиями. Результаты этого сравнения представлены в табл. 6.4, где приводятся также средние квадраты ошибок для каждого i). Хотя нет ни одной равномерно лучшей стратегии среди всех рассматриваемых, ясно, что адаптивные стратегии предпочтительнее, особенно если целевая структура находится недалеко от центра области . Даже в крайних точках они достаточно хороши, в частности когда числа скрывают незначительность дисперсий, означающую, что вариация структур мала; большие средние квадраты ошибки почти везде возникают из-за смещений.

Стратегии поддержания структур при управлении продвижением

Исследования, аналогичные только что приведенным, можно продолжить для управления продвижением. Снова возникает неопределенность при переходе от детерминистской постояннойстратегии к стохастической. Мы показали в (6.20), что вероятности поддержания, сохраняющие , должны удовлетворять уравнению

Правая часть показывает численность людей, продвинутых из градации. Первый вариант постоянной стратегии заключается в том, что это число работников продвигается в каждый момент времени. Тогда получаем

Уравнение (6.57) может также рассматриваться, как будто оно дает долю людей из градации, которые должны быть продвинуты. Поскольку должна быть сохранена точная структура, не имеет значения, рассматриваем мы относительные численности градации или абсолютные.

Таблица 6.3. Средние структуры, поддерживаемые при реализации адаптивных стратегий в серии из 10 000 испытаний. Матрица переходных вероятностей

(см. скан)

Таблица 6.4. Средние квадраты ошибок численностей градаций при постоянных и адаптивных стратегиях в серии из 10 000 испытаний. Матрица переходных вероятностей та же, что и в табл. 6.3

(см. скан)

Однако как только действительная структура отдаляется от , появляется отличие. В соответствии со второй интерпретацией численность людей, продвинутых из градации, равна:

где — текущая структура. Назовем эту стратегию (Так как должно быть целым, требуется применить процедуру округления.) На этом этапе возникает другая сложность. Если контролируемые потоки осуществляются прежде, чем сделаны все продвижения, то, возможно, не окажется достаточного числа тех, кого нужно продвигать. Это происходит всякий раз, когда определяемое (6.58) и (6.59), превышает Естественно изменить алгоритм так, чтобы продвигать всех, кто есть. Это, конечно, вносит смещение в стратегию, и по этой причине должны быть для последующих вычислений заданы средние значения численностей состояний. Можно было бы считать, с другой стороны, что вначале делаются все продвижения, в этом случае такой проблемы не возникает, хотя затем мы должны решить, может ли индивидуум, выбранный для продвижения, покинуть систему.

Адаптивная стратегия при управлении продвижением может быть сформулирована так, чтобы выбирать число продвигаемых при минимизации расстояния между имеющейся и желаемой структурами. Если, например, текущая структура — , а целевая структура — , то численность градации после того, как все потоки осуществились, равна:

где заданы, — неотрицательные переменные, значения которых должны быть определены. Мы предлагаем сделать это, минимизируя

при условии

Перед нами, таким образом, записанная в явном виде задача квадратичного программирования, которая может быть решена численным методом.

Для того чтобы продемонстрировать характеристики этих стратегий, рассмотрим результаты моделирования системы, представленные в табл. 6.5. Приведены три случая, относящиеся к системе численностью в 90 человек, в которой . Первые две структуры настолько близки к вершинам области поддержания, насколько позволяют ограничения целочисленности; третья структура близка к середине области. Как видим, адаптивная стратегия заметно лучше всех, лучше, чем Эти выводы подтверждаются другими вычислениями при различных значениях .

Таблица 6.5. Характеристики стратегий по результатам 20 000 испытаний при и

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление