Главная > Разное > Стохастические модели социальных процессов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6.3. ДОСТИЖИМОСТЬ В ДЕТЕРМИНИСТСКОЙ ВНЕШНЕЙ СРЕДЕ

Достижимость — более сложное понятие, чем поддержание. Структура, которая может быть достигнута из одной точки, может оказаться недостижимой из другой. Число шагов, необходимых для достижения заданного состояния, и маршрут следования могут меняться, и можно как требовать, так и не требовать, чтобы общий размер системы оставался одним и тем же во всех промежуточных точках. Чтобы провести полный анализ, нужно рассмотреть все эти случаи, но для практических целей достаточно провести относительно ограниченные исследования. Начнем с рассмотрения нескольких точек-структур, которые можно пытаться достичь, но которых нет в области поддержания М. Если бы мы все же попали в такую точку-структуру, мы не могли бы оставаться в ней долго, в лучшем случае мы бы выиграли время, чтобы получить более основательные изменения в системе. Поэтому ограничимся тем, что желаемые структуры находятся в . В этом случае получаются простые результаты, позволяющие решать наиболее важные задачи. Если принять, что «достичь» означает «подойти произвольно близко», то можно доказать, что любая поддерживаемая структура может быть достигнута из любой начальной структуры. Этот вывод легко доказать, если обратиться к результатам относительно установившейся структуры, приведенным к гл. 3. Мы приведем доказательство для случая управления наймом, так как для управления продвижением оно аналогично. Достаточно показать, что вывод справедлив, если общая численность системы остается фиксированной. Пусть мы начали из q (0), и зададимся вопросом, что произойдет, если мы неоднократно используем вектор распределения принятых , который по определению сохраняет структуру q. Известно, что устойчивая структура удовлетворяет в этом случае уравнению

По определению также удовлетворяет уравнению

что означает, что . Но существует только тогда, когда q принадлежит области М. Это показывает не только существование такой стратегии, но и то, что она единственна. Таким образом, достаточно делать найм в таких постоянных пропорциях, как если бы мы уже достигли желаемой структуры и хотели бы ее поддерживать. Сейчас возникает вопрос: можно ли добиться большего? На него можно было бы ответить, располагая некоторым критерием оптимальности. Существует много способов формулирования критерия оптимальности, например, в зависимости от временного интервала или стоимости. Опишем два подхода к этой задаче, применяя в обоих случаях методы математического программирования. При первом подходе, называемом управлением без временных ограничений, ставится цель вначале определить наименьшее число шагов, за которое достигается целевая структура, а затем выбрать среди всех возможных стратегий с таким числом шагов наилучшую по критерию стоимости. При втором методе ставится цель получить структуру, как можно более близкую к целевой, за заданное число шагов. Это приводит к идее применения этих стратегий, повторяя их так, чтобы максимально приблизиться к желаемой структуре.

Управление наймом без временных ограничений

Для формулирования задачи управления в терминах математического программирования удобнее использовать понятия абсолютных численностей, а не относительных величин. Соответственно начнем с уравнения

где — вектор числа принятых в систему за период времени от до . В этой главе не будем обозначать по-разному численности состояний и их математические ожидания. Пусть задана такая последовательность общих численностей людей в системе , которая удовлетворяет ограничениям, вводимым ниже. Задача состоит в том, чтобы найти и последовательность векторов таких, что — наименьшее из всех , для которых — целевая структура. Ограничения на неизвестные, которые получаются из модели, запишем так:

    (6.29 а)

Если то (6.29 а) и (6.29 в) исключаются.

Всё соотношения линейны относительно и, следовательно, мы можем применять стандартные методы математического программирования, чтобы найти какое-либо допустимое решение. Так как Т неизвестно, необходимо последовательно брать до тех пор, пока не получим первые значения допустимого решения. Заметим, что решение при ограничениях (6.29) дает не только значения f (Т), которые нам нужно найти, но и промежуточные численности , лежащие на траектории системы. Когда находят Т, обычно получают много решений и, следовательно, остается возможность выбрать из множества решений одно, минимизирующее какую-то функцию, выражающую экономические или социальные цели. Одна из возможностей при рассмотрении проблем кадровой системы — минимизировать затраты на заработную плату. Если средняя заработная плата на ступени то общий расход на заработную плату, соответствующий некоторой стратегии найма, равен

Теперь мы имеем стандартную постановку задачи математического программирования. (Последующие значения не влияют, так как затраты в будущем не принимаются в расчет.) Оптимизирующий алгоритм используется для минимизации (6.30) после того, как найдено значение Т, для которого существует допустимое решение.

Когда проверка существования допустимого решения тривиальна, но она имеет определенный практический интерес. В этом случае выполняется только (6.296), и мы должны найти, существуют ли такие, что

Если они существуют, то их можно получить по формуле

Условие, чтобы f (1) было неотрицательным, конечно, заключается в достижимости за один шаг. При методах с временными ограничениями, рассмотренных в следующем разделе, берут этот результат в качестве исходного.

Можно провести некоторые интересные исследования возможных стратегий наборов, которые минимизируют функцию стоимости (6.30), комбинируя численные значения неизвестных и уравнения (6.29). Всего в векторах значений переменных. Число уравнений может быть определено так:

В соответствии с хорошо известным результатом теории линейного программирования число ненулевых переменных в допустимом базисном решении не может превышать невырожденном случае оно равно этой величине. Если все элементы положительны, то из (6.29а) очевидно, что вся последовательность векторов n (Т) имеет положительные компоненты и их число равно . Остается ненулевых значений (самое большее), которые, следовательно, распределены по возможным значениям векторов f (Т). Следовательно, оставшиеся, по крайней мере компонентов векторов найма, равны нулю, что означает, что найм осуществляется на несколько уровней.

Дальнейшие исследования помогут получить ответ на вопрос: как распределены нулевые компоненты? Допустим, что мы достигли момента времени Тогда у нас поставлена одношаговая задача, которую мы умеем решать. Следовательно, если применить расчетную процедуру, описанную выше, можно решить задачу при и получить, что все элементы последнего вектора распределения нанятых положительны. Остается распределить ненулевых элементов среди полученных векторов. Допустим, что N (Т) неубывает настолько быстро из-за сокращения штатов, чтобы не было нанятых в каждый момент времени Т. Итак, в каждом векторе должна быть, по крайней мере, одна ненулевая компонента. Следовательно, если остается только ненулевых компонент, то их приходится не более чем по одной на вектор. Таким образом, типичная стратегия найма, минимизирующая (6.30), состоит в том, что поступления осуществляются только на одну ступень в каждый момент времени, кроме последнего шага, когда поступления осуществляются на все уровни.

Рассуждения следует несколько модифицировать, если встретится вырожденный случай и если в начальном векторе содержатся нули (как окажется в численном примере, рассматриваемом ниже). Стратегия, которая определяется решением задачи линейного программирования, могла бы использоваться на практике, если бы найм осуществлялся всегда на один и тот же уровень. Но если стратегия требует, чтобы уровни часто менялись, то ее трудно применять. В связи с этим возникает необходимость введения дополнительных ограничений на область допустимых решений из-за условий практического применения.

Если опустить ограничений (6.29в), что означает, что мы не будем отслеживать промежуточную численность людей В организации, то может быть не более ненулевых элементов в оптимальном решении. Из них только могут быть в векторах нанятых. Следовательно, в общем случае не может быть поступлений до момента времени Нелепость такой стратегии в большинстве практических ситуаций обусловливает необходимость введения ограничений вида (6.29в).

Управление продвижением без временных ограничений

В этом случае задача состоит в том, чтобы найти последовательность матриц Р (Т), которые в совокупности с определенным вектором переводили бы систему из состояния в за наиболее короткий промежуток времени. В этом случае основное уравнение может быть записано в виде

где . Здесь неизвестными являются векторы и матрицы Р (7), но основное уравнение не линейно относительно этих переменных. Следовательно, мы должны сформулировать задачу в новом виде, в которой ограничения линеаризуются благодаря тому, что все неизвестные выражаются через потоки людей, а не через пропорции. Если временно отказаться от матричной записи, то будет легче подсчитывать уравнения и почувствовать линейную зависимость в них. Пусть — поток людей с ступени на за интервал времени Тогда мы должны найти такое Т и такие значения переменных что

    (6.34 а)

Предположим, как и ранее, что заданы и что (6.34 г) опускаются при Случай исключен из (6.34 в), так как он следует из (6.34 а) вместе с (6.34 в). Суммируя обе части (6.34 а) по j и вычитая (6.34 в), просуммированное по i, получаем опущенное уравнение.

Так же как и в случае управления наймом, полезно подсчитать количество уравнений и переменных. Число переменных зависит от того, является ли Р матрицей особой структуры. Подсчеты переменных для трех видов матриц приведены в следующей таблице:

Число уравнений равно:

Поэтому в общем случае в базисном допустимом решении будет ненулевых элементов. Опять-таки это меньше общего числа элементов, поэтому оптимальная стратегия (в смысле минимизации функции стоимости, такой же, как будет состоять из последовательности матриц с большим количеством нулей. Если найм осуществляется на каждую ступень, то вектор должен содержать ненулевые компоненты в каждой позиции. Остается элементов, которые должны быть распределены среди Т матриц Р. На предпоследнем шаге, когда имеется ненулевых элемента для позиций последней матрицы переходов. Остается ненулевых элементов для матриц. Поскольку каждая матрица в каждой строке должна иметь, по крайней мере, один ненулевой элемент, в каждой строке имеется ровно один отличный от 0 элемент. Такое заключение объясняется тем, что на каждом шаге все члены данной градации, которые не покинули систему, должны или остаться там, где они были, или все вместе перейти в другую градацию. Если матрица супердиагональная, то это означает, что либо все продвигаются, либо не продвигается никто. Ясно, что подобная политика не встречается на практике. Однако есть другие допустимые решения (не базисные), при которых достигается цель за то же число шагов. Среди них можно найти хотя бы одно, которое больше подходит, но оно не приведет к минимуму функции стоимости. Если найм разрешается не в каждую градацию, то некоторые могут быть равны иулю, и поэтому больше ненулевых элементов

может быть в матрицах переходных вероятностей. Это не намного улучшает положение, поскольку на практике не бывает так, чтобы целые градации были время от времени пустыми.

Полученные здесь результаты отражают ограниченность использования линейного программирования для управления в том простом виде, который мы рассматривали. Однако они явно показывают, что способы изменения структуры системы путем управления продвижением будут с малой вероятностью или самыми быстрыми, или самыми дешевыми. Возможно, основная польза от применения алгоритма линейного программирования состоит в определении, может ли быть достигнута желаемая структура за относительно небольшое число шагов. Но даже этот результат должен применяться осторожно вследствие стохастической природы потоков. Алгоритм линейного программирования позволяет получить число шагов, если траектория системы развивается в среднем. В действительности число шагов — случайная величина.

Управление наймом и продвижением с временным ограничением

На практике целевая структура может представляться не тем, что можно определить точно, а направлением, в котором необходимо двигаться. Тогда требуется получить значение, близкое к цели, за относительно короткий период времени, т. е. в действительности может быть поставлена задача — за определенный период времени сделать все, что только возможно.

Если обозначить заданный момент времени через Т, то задача будет состоять в том, чтобы получить структуру, как можно более близкую к заданной, за Т шагов. Чтобы сформулировать задачу в математической форме, мы должны определить близость в терминах измерения расстояния между двумя структурами. Предположим, что эта мера обозначена для положения системы в момент времени Т. Задача состоит в том, чтобы получить минимум этой величины, используя соответствующие последовательности управляющих параметров и ограничений. Тогда формально мы можем сформулировать следующие две задачи.

1. Управление наймом

Минимизировать

при условии

    (6.35 а)

2. Управление продвижением Минимизировать

при условии

    (6.36 а)

Насколько легко могут быть решены эти задачи, зависит от вида функции расстояния. Эта функция отражает величины потерь за то, что различные градации переполнены или не заполнены до конца. Она имеет довольно общий вид и будет основной при исследовании в этом разделе:

где — множество неотрицательных весовых коэффициентов, отражающих важность достижения точного значения на каждом уровне. Большие значения а придают большую значимость расхождениям. Если то сформулированная в виде (6.35) и (6.36) задача сводится к задаче линейного программирования, а если то — к задаче квадратичного программирования. В оставшейся части раздела мы рассмотрим частные случаи общей проблемы, в которых практическая значимость сочетается с простотой математических выкладок, позволяющей получать точное решение.

Во-первых, допустим, что организация имеет постоянную численность. Это дает нам возможность поставить задачу в терминах пропорций градаций, что позволяет обойтись без (6.36 б) и (6.36 в). Во-вторых, примем, что . С первого взгляда такое ограничение кажется чрезмерно суровым, но нужно как следует понять, что стохастическая природа потоков требует делать пересчет стратегий на каждом шаге. Принятие ограничения означает, что на каждом шаге мы продвигаемся как можно ближе к цели. С точки зрения неопределенности внешней среды при планировании кадров было бы крайне желательным и очень удобным (вследствие применения математического аппарата; продвигаться на каждом шаге к целевой структуре как можно ближе. Третье ограничение заключается в том, что мы рассматриваем только случай управления наймом. Такое управление больше применяется, чем управление продвижением, так как оно относится еще к управлению возрастным распределением. Стратегии управления наймом,

найденные методами программирования, с практической точки зрения также более подходят, чем стратегии управления продвижением.

Частный случай, который мы попробуем рассмотреть детально, может быть записан следующим образом: минимизировать

при условии

Рассмотрим теперь

где . Заметим, что Таким образом, вместо мы можем минимизировать функцию разностей — Сделав соответствующие подстановки, окончательно запишем нашу задачу:

минимизировать

при условии

где для краткости мы опустили аргумент . Если цель достигнута за один шаг, то минимум равен нулю и решением будет Если же случалось так, что, по крайней мере, один из отрицателен, то решением будет , «ближайшее» к у.

Покажем сначала, что при каждом i, для которого у, 0. (Это справедливо и для более широкого класса функций расстояния.) Обозначим: — суммирование по тем i, для которых — суммирование по оставшимся . Тогда

уменьшается, если каждое в первой сумме увеличивается до тех пор, пока не станет и оно увеличивается, если каждое во второй сумме увеличивается. Следовательно, нам необходимо, чтобы во второй сумме значения были как можно меньше. Ничто не запрещает сделать их равными нулю, потому что отсюда мы можем увеличивать значения в первой сумме без выполнения условия, в соответствии с которым для любого i. Следовательно, можно заменить в (6.39) на и добавить ограничения

Случай, когда

Минимум имеет место, когда максимальна при условий, что Решение заключается в том, чтобы выбрать i, соответствующее максимальному значению коэффициента наибольшее. Если оказалось меньше единицы, то выбираем соответствующее следующему по величине значению и берем соответствующее настолько большим, насколько позволяют ограничения, и т. д. В частном случае, когда для всех не зависит от значений (так как и поэтому любое решение, удовлетворяющее ограничениям если если дает одно и то же минимальное значение целевой функции. Частный случай, когда если из приведенного класса решений исследуется численно. С точки зрения практики это означает, что каждая градация, на которой вообще не осталось людей, получает некоторое число новых работников, пропорциональное ее нуждам. Такая стратегия исходит из принципа «справедливости». Он выбирается по причинам, не относящимся к математике.

Случай, когда

Это выражение минимизируется по при условии, что для всех I. Пусть

где а — неопределенный множитель. Если — точка минимума среди , то

Для определенной выше функции Ф получаем

где значение а должно быть выбрано таким, чтобы Если, например, равны единицам и

то можно показать, что и, следовательно,

Тот же результат может быть получен следующим образом.

Таблица 6.1 а. Численное сравнение стратегий управлений при по структурам градаций

(см. скан)

Таблица 6.1 б. Численное сравнение стратегий управления вектором найма при

(см. скан)

Вычисляем

Если , то в противном случае заменяем первоначальные на полученные и повторяем процесс вычислений до тех пор, пока не найдем неотрицательный вектор. Аналогичные стратегии получают и для других значений а, и можно легко проверить, что при одинаковых они эквивалентны стратегии, описанной для случая, когда Заметим, что решение, приводимое в (6.41), также минимизирует но в нем проявляется тенденция иметь меньшее число ненулевых элементов в управляющих векторах, чем при той стратегии, в которой

Численное сравнение стратегий при управлении наймом

Чтобы проиллюстрировать результаты, возьмем и значения параметров, представленные на рис. 6.1, а именно

В качестве целевой структуры возьмем , которая обозначена вершиной В на рис. 6.1; это наименьшая структура вида пирамиды вершиной вниз в области поддержания. В качестве начальной структуры возьмем q . Все точки вдоль траектории перехода из q (0) в q могут рассматриваться как новые начальные структуры, так что вычисления дают информацию больше, чем это кажется с первого взгляда. Постоянная стратегия, заставляющая структуру приближаться в пределе к q, — это . Анализ задачи при управлении без временных ограничений показывает, что наименьшее число шагов, за которое может быть достигнута целевая структура, равно семи. В табл. 6.1 а и 6.1 б сравниваются характеристики следующих четырех стратегий:

а) постоянная, использующая все время ;

б) — адаптивная стратегия минимизации

— адаптивная стратегия минимизации

г) оптимальная — стратегия управления без ограничений времени, использующая стоимости градаций в отношении

Основное различие, обнаруженное в таблицах, имеется между , с одной стороны, и постоянной и оптимальной стратегией — с другой. Первая пара позволяет реально осуществлять найм на два нижних уровня, в то время как последняя — лишь на самый нижний. Хотя соответствующие траектории движения к цели различны, разницы после семи шагов почти нет. Постоянная и оптимальная стратегии в

этом случае весьма схожи, хотя так бывает не всегда. Например, если бы задача заключалась в достижении целевой структуры из точки , то оптимальная и адаптивные стратегии заключались бы в принятии в систему на высшие уровни. Многочисленные расчеты для различных структур как целевых, так и начальных показывают, что одношаговая адаптивная стратегия обычно очень подходит для достижения окрестности цели. Вычисления, приведенные в книге Бартоломью (1975), свидетельствуют, что она несколько хуже стратегий без временных ограничений и стратегий с временными ограничениями. Последние обсуждаются позднее. Эти выводы будут подкреплены, когда будут рассматриваться стохастические аспекты задачи в разделах 6.4 и 6.5.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление