Главная > Разное > Стохастические модели социальных процессов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6.2. ПОДДЕРЖАНИЕ СОСТОЯНИЙ В ДЕТЕРМИНИСТСКОЙ ВНЕШНЕЙ СРЕДЕ

Если — вектор численностей групп, который необходимо поддерживать, то должны существовать значения , такие, что

Заметим, что в этом случае так как если численности групп сохраняются, то необходимо, чтобы общие размеры системы оставались постоянными. Если управление осуществляется только поступлением, то Р и w — фиксированные величины и надо определять. Это соответствует управлению поступлениями. Управление продвижением возникает тогда, когда w и даны, а значения матриц Р выбираются.

Управление наймом

Существует много причин, обусловливающих необходимость сохранить данную структуру и общую численность в течение определенного периода времени. Например, такая задача может возникнуть как часть кадрового планирования, когда выбраны определенные структура и численность, и требуется определить, какую политику продвижения и приема новых работников в систему необходимо проводить, чтобы обеспечить ее поддержание. И наоборот, например, существующая кадровая система может превращаться в систему, имеющую вид пирамиды вершиной вниз, и ставится вопрос, как исправить ухудшающуюся с каждым днем ситуацию. Не каждая структура может быть сохранена, и важное направление в исследованиях — отличить те структуры, которые могут быть сохранены, от тех, которые сохранить Нелья.

Так как в первую очередь нас интересует относительная структура системы, в этом разделе удобно использовать следующие переменные:

где N — общая численность людей в системе. Тогда основное разностное уравнение для марковской модели имеет вид

Структура q (Т) может быть сохранена, если можно Найти такйе значения управляющих параметров, что Другими словами, нас интересуют значения параметров, которые удовлетворяют уравнению

Поскольку в рассматриваемом случае вектор — единственный из параметров, поддающихся управлению, необходимо найти , удовлетворяющее уравнению (6.3). Это легко сделать, разрешая относительно :

Нетрудно проверить, что вычисленные таким образом элементы вектора в сумме дают единицу, но не все они обязательно положительные. Если компоненты положительные, то (6.4) определяет единственную политику управления посредством поступлений, если же есть отрицательные, то структура не может быть сохранена.

Иногда полезно иметь возможность выделить множество структур, которые можно поддерживать при данных Р и w. Простой способ выделения области значений, которые могут быть сохранены, следует непосредственно из (6.4). Это множество q, такое, что

В целях наглядного представления множества дадим геометрическую интерпретацию задаче. Любая структура может быть представлена в виде точки в -мерном евклидовом пространстве, где координатные оси — значения элементов q. Так как все q должны быть неотрицательны и в сумме равны единице, то все возможные структуры лежат на гиперплоскости в положительном ортанте. Когда они представляют собой гипотенузу прямоугольника с вершинами (0, 0), (0, 1), (1, 0). Когда множество сохраняемых структур образует равносторонний треугольник, показанный на рис. 6.1. При большей размерности трудно изобразить ситуацию на рисунке, но геометрическая терминология все же остается полезной. Множество возможных структур обозначим через SC. Поддерживаемая область будет подмножеством и ее границы мы хотели бы определить.

Граница области М находится следующим образом. Из (6.3)

Следовательно,

Обращение матрицы всегда существует, как было отмечено ранее в (3.4). Вектор может быть записан в виде где — вектор с единицей на месте и нулями на остальных. Подставляя его в (6.5), находим

После умножения обеих частей (6.6) на единичный вектор-столбец получаем

где — сумма элементов строки Подставляя отсюда значение в (6.6), имеем

Таким образом, q может быть представлена как выпуклая комбинация (т. е. средневзвешенное с неотрицательными значениями весов) точек с координатами

Рис. 6.1. Область поддержания при управлении наймом,

Для каждого существует только одна комбинация значений весов и, следовательно, единственное q, и если существует область изменений значений , то существует множество точек q, являющихся выпуклой оболочкой, образованной точками

Таким образом, область поддержания — выпуклое множество, у которого эти точки — вершины. Координаты вершин легко вычислить, если по очереди взять строки и пронормировать их так, чтобы сумма каждой строки была равна единице. Если w одинаковы для всех уровней, то постоянно, и результат следует немедленно из (6.6).

Итак, у нас есть метод определения вершин множества М путем нормирования элементов строк Когда область может быть представлена в двумерном пространстве; для системы с матрицей

искомая область приведена на рис. 6.1. Она представляет собой выпуклое множество с вершинами (0; 0; 1), (0; 0,4; 0,6), (0,286; 0,286; 0,428). Заметим, что все системы, которые можно поддерживать путем поступлений, имеют структуру групп вида пирамиды вершиной вниз. В приведенном примере последней точкой В диаграммы представлена структура групп, имеющая вид пирамиды вершиной вииз, в которой относительная численность верхней ступени наибольшая. В случае большей размерности не так легко на диаграмме изобразить область, но изучение координат вершин дает хорошее представление о структурах, которые можно поддерживать.

В приведенном численном примере представлен важный класс матриц переходных вероятностей, которые мы назовем супердиагональными. Они имеют вид

Если матрица имеет такой вид, то переходы возможны только на ближайшую ступень более высокого уровня; точно такие матрицы появляются также тогда, когда ступени определяются возрастными группами. Для матрицы можно легко получить обратную; ее строка равна:

и

Выражение для расчета суммы элементов строк матрицы непростое, но координаты вершин множества М легко вычисляются численным методом. Далее мы увидим, что структуры, соответствующие вершинам, поддерживаются в результате поступлений только на одну ступень системы. Первая строка матрицы представляет особый интерес, так как она отражает структуру, которая поддерживается путем найма на нижнюю ступень иерархии. При таких поступлениях ступень имеет численность, пропорциональную

где произведение принимается равным единице при Выражение (6.9) нужно сравнить с (3.23), которое будет таким же, если имеются постоянные поступления на низшую ступень. Обе ситуации существенно схожи, но мы снова подчеркнем особую важность величины в том, какая численность людей на ступени будет поддерживаться. Другие поддерживаемые структуры — средневзвешенные от строк соответствующим образом нормированной матрицы Так как первая строка единственная, для которой поступления на низшую ступень не равны нулю, очевидно, что не может быть сохранена структура системы, численность на нижней ступени которой больше, чем .

Приведенные выражения упрощаются еще больше, если равны нулю также диагональные элементы матрицы Р. Это получается, когда k ступеней представляют собой возрастные группы (группы с одним и тем же стажем работы), а время дискретно. В (6.8) остаются только числители, а ненулевые элементы каждой строки образуют убывающую последовательность, что чувствуется и интуитивно. Отсюда не следует, что любая поддерживаемая возрастная структура будет убывающей функцией возраста, так как нормирование и взвешивание рядов может привести к появлению «горбов». Например, очевидно, что трудности с поступлением в среднюю возрастную группу приведут к уменьшению ее численности, а это повлечет в дальнейшем уменьшение следующих возрастных групп. Если «возраст» — это время пребывания или стаж работы в системе, то поступления должны по определению осуществляться на нижнюю ступень. Таким образом, используется только первая строка, и любая сохраняющаяся в системе структура по стажу работы должна быть монотонно невозрастающей. Такой способ определения уровней выявляет важную связь между моделями, основанными на марковских цепях, и моделями теории восстановления, которые будут обсуждаться в последующих главах.

Управление наймом при развитии и сокращении системы

Множество сохраняемых структур удивительно мало для близких к действительности матриц Р. В частности, если Р — верхняя треугольная матрица, то в М обычно не допускаются типичные структуры вида пирамиды вершиной вверх для кадровой системы традиционного

типа. В этом разделе мы изучим влияние развития или сокращения системы. Исследование может проводиться с двух точек зрения. Развитие или сокращение системы может рассматриваться как еще один управляющий параметр, посредством которого может изменяться множество сохраняемых структур, или как что-то вносимое извне, что нам неподвластно. В некотором смысле мы не можем сохранить структуру системы, если она изменяется, так как численности некоторых групп неизбежно меняются. Мы можем, однако, рассмотреть, как определил Форбес (1970), квазистационарные системы, при которых сохраняются относительные размеры групп. Вероятно, наиболее правдоподобным является случай, когда относительные численности людей на ступенях определяются тем, какую работу выполняет организация, а общая численность зависит от того, каков ее объем.

Пусть N (Т) — общий размер системы в момент времени Т и пусть . Тогда основное уравнение для организации установленного размера (3.54а) примет вид

Вводя , получаем

Таким образом, условие, что квазистационарная структура q, сохраняется, запишется как

для , для которых Если такие существуют, то они определяются из уравнения

Сравним это выражение с (6.4). Как и ранее, сумма элементов всегда равна единице, но нас интересуют те из q, для которых они неотрицательны. Очевидно, что любое q, для которого из соотношения (6.4) неотрицательны, определяет неотрицательные в соответствии с (6.13), если Следовательно, если система расширяющаяся, то для нее область сохранения больше, чем для системы постоянного размера. Противоположным является случай, когда Таким образом, увеличение системы приводит к росту области сохраняемых структур, а сокращение — к ее уменьшению.

Вывод выражений для определения координат вершин области для данного случая совершенно аналогичен, а соотношения для них получаются путем очевидной модификации соотношений для координат вершин в соответствии с

Единственное изменение заключается в том, что в выражении (6.8) заменяется в знаменателе на для всех i. Если а положительно, то очевидно, что система увеличивается. Это ведет к тому, что координаты вершин такие, что структуры сужаются к вершине. Если а отрицательно, то возникает более сложная ситуация, так как видно, что будет отрицательно, если Допустим, что в настоящее время численность на ступени тогда в момент она будет равна если сохраняется имеющаяся структура. Однако если ожидаемое количество уходов таково, что то структура, конечно, не может быть сохранена. Область только тогда не является пустой, когда для всех i и когда максимальная интенсивность сокращения системы если, по крайней мере, одна структура для нее может поддерживаться.

Чтобы проиллюстрировать эти результаты, обратимся к численному примеру при (см. рис. 6.1). Координаты новых вершин, соответствующих -ному увеличению и -ному сокращению системы равны:

Эти области также изображены на рисунке, из которого ясно, что изменение общих размеров системы оказывает сильное влияние на размеры области, особенно это видно при сравнении с координатами вершин, определенными ранее.

Дальнейшие вычисления могут интерпретироваться по-разному. Допустим, что нам надо исследовать влияние изменений интенсивностей увольнений на размеры области сохранения. Если прибавить а к каждой интенсивности увольнений и вычесть его из каждого то вектор поступлений, обеспечивающий сохранение q, будет равен:

Уравнение (6.15) идентично (6.13), поэтому влияние фиксированных изменений интенсивностей увольнений и влияние изменений в размерах системы эквивалентны. Но такая интерпретация может быть сделана для когда

Управление посредством продвижений

Вектор найма в определенных обстоятельствах не поддается управлению, например, когда он ограничен рамками предложения или подчинен кадровой политике руководства. В этом случае необходимо узнать, в какой степени может быть осуществлено управление с помощью интенсивностей продвижений (понижений). Для системы постоянного размера эта задача состоит в нахождении матрицы Р, удовлетворяющей уравнению

Чтобы очертить область поддержания, мы должны получить множество q, для которых существуют приемлемые значения Р. Такие Р должны состоять из неотрицательных элементов, сумма строки которых равна Так как в общем случае решение (6.16) относительно Р не единственно, мы не можем получить его аналогично тому, как это было сделано для , а затем смотреть, обладает ли оно необходимыми свойствами. Однако легко получить область поддержания, если нет никаких ограничений на Р. Записывая (6.16) в виде

мы видим, что выполнение неравенства

необходимо для того, чтобы q было поддерживаемым, поскольку тогда компоненты вектора будут неотрицательными. Но выполнение (6.18) и достаточно по той причине, что можно выбрать такие чтобы как-нибудь распределить тех, кто не покинул систему.

Общее решение для Р имеет довольно небольшое практическое значение, так как очень редко бывает, что разрешены все виды переходов. В иерархической организации Р обычно — верхняя треугольная или супердиагональная матрица (т. е. матрица, у которой ненулевые элементы находятся только на главной диагонали и на следующей диагонали, которая выше). В последнем случае анализ очень упрощается, поэтому в оставшейся части данного раздела сосредоточимся на нем.

Когда Р — супердиагональная матрица, уравнение (6.17) дает единственное решение, для которого потом нужно лишь проверить, являются ли все элементы решения неотрицательными. Удобнее отказаться от записи в матричном виде и записать (6.17) так:

Поскольку исключаем и, разрешая систему относительно получаем

где полагаем, что последнее слагаемое равно нулю при Таким образом, структура q сохраняема, если

и область поддержания — это множество таких q, что

Уравнение (6.20) имеет простое начальное решение, особенно когда . В этом случае

Словами это можно пояснить так: доля тех, кого надо продвигать с ступени, должна быть равна числу людей, покинувших систему с до ступени, деленному на численность на ступени.

Рис. 6.2. Области поддержания при управлении продвижением, векторе уходов (0,1; 0,1; 0,2) и векторах поступлений а) (1; 0; 0) и б) (0,5; 0,5; 0). Пунктирные границы определяет область задаваемая а), а сплошные — задаваемая б)

Последнее на самом деле, — вариант результата с дискретным временем, аналогичный тому, который мы получим при исследовании моделей восстановления позднее, в гл. 8.

Границы области поддержания, определяемые (6.21), очень интересны, особенно когда их сравнивают с соответствующими областями управления посредством найма. На рис. 6.2 показаны области для трехуровневой системы, в которой интенсивности уходов те же, что в

системе, изображенной на рис. 6.1, т. е. равны (0,1; 0,1; 0,2), два вектора поступлений соответственно равны (1; 0; 0) и . В противоположность ситуации, указанной на рис. 6.1, исключены из очень ярко выраженные структуры вида пирамиды вершиной вниз, а структуры вида пирамиды вершиной вверх включены. Точное решение зависит, конечно, от значений ; значение вектора для сохранения пирамидальных структур подходит больше, чем другие значения . Если задача состоит в том, чтобы остановить тенденцию к росту численности на верхней ступени, то вероятнее всего для этого управление продвижением более эффективно, чем управление поступлением.

Если в качестве управляющего параметра используются как Р, так и , то очевидно, что может быть сохранена любая структура. Один из методов поддержания данной структуры состоит в том, чтобы принять все продвижения равными нулю и набирать на каждую ступень такое же число людей, какое покинуло систему. Существуют, конечно, и другие более разумные способы.

Нетрудно обобщить полученные результаты на случай развивающихся или сокращающихся систем. Приведем некоторые из основных результатов, а читатель без особого труда их проверит.

Область поддержания определяется неравенством

для любых Р. Для супердиагональных Р элементы Р должны удовлетворять уравнениям

и

Разрешая их относительно и используя неравенства получаем следующее определение области поддержания:

Поддержание при непрерывном времени

Многие из результатов относительно поддержания структур распространяются на модели с непрерывным временем путем небольших изменений. Это происходит потому, что области поддержания не затрагиваются, например, предельными переходами, описанными в гл, 4, которые мы применяли при переходе к моделям с непрерывным

временем на базе марковских цепей. Таким образом, условие когда структура q поддерживается путем найма, запишется как

или

где R — матрица интенсивностей переходов. Координаты вершины области поддержания получаются путем нормализации строк которые пропорциональны Легко показать, что вектор поступлений, обеспечивающий сохраняемость q, равен:

и он легко нормируется по Если система развивается со скоростью а так, что то условие поддержания записывается следующим образом:

Аналогично можно проанализировать и управление продвижением.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление