Главная > Разное > Стохастические модели социальных процессов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5.6. ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛ. 4 И 5

Теория

Теория марковских процессов с непрерывным временем часто излагается весьма кратко в элементарных учебниках и изложение нередко ограничивается специальными случаями, такими, как процессы размножения и гибели. Работа Кокса и Миллера (1965) полезна для начального более углубленного изучения, а книга Исааксона и Мадсена (1976) содержит полезную вводную главу. В книге Бартлетта (1955) кратко изложены наиболее важные положения теории, а тот, кто считает, что ему необходимо полное изложение, должен воспользоваться работой Чжуна (1967). Более глубокие исследования содержат много тонких особенностей, которые появляются при использовании непрерывного времени, например исследование вероятности бесконечно многих состояний за конечный интервал времени. Такая тщательность вряд ли уместна здесь, в прикладной работе, где в лучшем случае модель представляет собой более или менее грубое описание действительности. По этой причине важно, чтобы наши исследования были теснее связаны с исследованиями при дискретном времени, где для поведения, выходящего из обычных рамок, остается меньше возможностей.

При изложении теории полумарковских моделей снова была использована литература по теории случайных процессов, в особенности книга Кокса и Миллера (1965).

Часто упоминаются статьи Пика (1961а, b), но обзорная статья Синлара (1975) может дать наиболее полезный источник информации, она содержит ссылки на серьезную литературу, посвященную данному предмету. Для читателя, интересующегося социальными приложениями, очень полезна работа Гинзберга (1971).

По названиям работы Пика и Синлара больше относятся к марковской теории восстановлений, чем к теории полумарковских процессов. Марковские процессы восстановления и полумарковские процессы эквивалентны, и некоторые читатели воспринимают эти два термина

как синонимы. Их различие связано с тем, что они образуются по разному, что важно для некоторых процессов. При основанном на полумарковских процессах подходе главное внимание уделяется последовательности состояний и моментов времени, в которые происходят изменения. Марковские процессы восстановления связаны с общими процессами восстановлений, с ними мы встретимся в гл. 8.

Приложения

По различным причинам модели с непрерывным временем стали применяться значительно позже, чем модели с дискретным временем. Работа Фикс и Неймана (1951) по описанию выживания после лечения заболевания раком — наиболее ранний пример марковской модели, так же как и работа Хербста (1963), которая обсуждается в гл. 7. Сравнительно недавно стало ясно, что гибкость марковских моделей предоставляет широкие возможности для исследователя. Кроме работы Криди (1979), можно назвать неопубликованную работу Плевиса (1980), посвященную построению модели для оценивания учителями успехов учащихся. Успехи представляют собой динамический процесс. Система будет замкнутой с k = 3. Плевис сумел показать, что, хотя марковская модель не очень точна при описании успехов всех 300 учащихся, она гораздо лучше подходит, когда учащихся разбивают на две группы — «основную» и «контрольную». Замкнутые модели на базе марковских процессов применялись Соренсоном и Халлинаном (1977), а также Холландом и Лейнхардтом (1977) для описания динамики групп и социальных взаимоотношений. В последнем случае определено такое понятие, как «схожесть», для каждой пары индивидуумов. Состояние системы в любой момеит времени описывается в виде матрицы сфер влияния, показывающей пары, между которыми существуют отношения. Затем предполагается, что переходы из состояния в состояние описываются как марковский процесс с определенными интенсивностями переходов. Практическая ценность такого рода моделей ограничена из-за большой размерности пространства состояний, которая для них обычно требуется. В модели другого вида, предложенной Ямагучи (1980), описывается выбор дружеских отношений, математически представляющий собой процесс размножения и гибели. Эта модель обобщает более ранние результаты Коулмэна (1964b), у которого переходы в модели размножения и гибели разрешаются или нет в зависимости от того, дружеские отношения являются прямыми или непрямыми. Модель открытой системы Сливки и Каннавале (1973) описывает процесс прохождения дел преступников в судебной системе. Использованные данные — случайная выборка о судьбах 1067 заключенных, арестованных полицией Филадельфии. Вводятся несколько состояний, которые образуют иерархическую систему: арест, предварительное обвинение (1), предварительный разбор дела (2), обвинительный акт (3), суд (4), тюремное заключение (5). Арест здесь — поступление в систему, поэтому он не нумеруется, состояние внешняя среда, куда могут быть уходы из состояний 2, 3 и 5. Матрица оценок интенсивностей переходов имеет вид

Относительные численности в устойчивых состояниях системы при постоянных поступлениях, выражения для которых читатель может получить в качестве упражнения, имеют вид

Полумарковские модели выходят за рамки традиционного применения вероятностного подхода при анализе полной неопределенности и смертности по разным причинам, но они получают все большее распространение. Мы уже упоминали о работе Янга и Хурша (1973). Эти авторы использовали дискретный вариант модели, но из их теории следует, что непрерывный аналог связан с ним очень тесно.

В работе Као (1974) описано движение пациентов с сердечно-сосудистыми заболеваниями, особое внимание в ней уделено времени пребывания в различных состояниях, которое имеет распределения Вейбулла. Као рассматривает также получение оценок переходных матриц для вложенных марковских процессов. Наиболее глубокие теоретические исследования применения моделей для описания клинических экспериментов содержатся в работе Вейсса и Зелена (1965). Мак-Клин (1980) предложил полумарковскую модель для многоуровневой популяции с поступлениями по закону Пуассона. Валлиант и Милкович (1977) попытались сравнить полумарковские и марковские Модели при прогнозировании численности персонала. Поскольку марковские модели — это частный случай полумарковских, можно сказать, что последние должны давать результаты, по крайней мере, не хуже, чем первые. Мнения авторов расходятся довольно сильно из-за различных методов оценивания. Во многих приложениях система наблюдалась весьма ограниченный период времени, поэтому данные о времени пребывания (стаж работы) не были достаточно полными. Такого рода проблемы были выявлены, но не решены. Томпсон (1980) предложил способ преодолеть эту проблему при изучении территориальной мобильности в Онтарио. Соответствующие материалы есть в работах Чжуна (1968), Сингера и Шпилермана (1976а), Бартоломью (1977а), а также Тумы и др. (1979).

Основное приложение полумарковских моделей для описания мобильности трудовых ресурсов в Скандинавских странах рассмотрено

в серии публикаций Гинзберга (1978а, 1978b, 1978с, 1979а, 1979b, 1979с). Серия широко связывает статистический анализ динамики систем с оценкой соответствующих параметров.

Разновидности и обобщения

Существует много способов развития представленных теоретических результатов. Например, можно было бы использовать преобразования Лапласа на более ранней стадии. Поскольку отображение для — это матрица Р (Т) и вектор n (Т) могут быть найдены через соответствующие отображения. Следует отдать должное усилиям Сингера и Шпилермана, предпринятым для решения уравнения

С практической точки зрения ситуация сильно упрощается вследствие того, что большинство наблюдаемых матриц имеет вещественные положительные собственные значения, поэтому серьезных препятствий для решения не возникает.

В предыдущих изданиях этой книги приводилась другая процедура решения модели системы с фиксированными размерами (см. раздел 5.3). Там было показано, что в преобразованиях Лапласа ожидаемый вектор состояний имеет вид

Для иллюстрации приложения использован пример из раздела 5.3, поэтому приведенный результат эквивалентен полученному нами в настоящем издании работы. Здесь мы следовали результатам Мелмана (1977b), чтобы подчеркнуть параллельность соответствующих теоретических результатов для непрерывного и дискретного времени.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление