Главная > Разное > Стохастические модели социальных процессов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5.5. ПОЛУМАРКОВСКИЕ МОДЕЛИ ОТКРЫТЫХ СИСТЕМ

Как показал Гилберт (1973), обобщение теории полумарковских моделей, описанных в гл. 4, для открытых систем осуществляется очень просто. Основное соотношение (5.3) остается справедливым. Для того чтобы воспользоваться им для полумарковских моделей, требуется вычислить Р (Т) так, как описано в разделе 4.4. Так же как и при описании замкнутых систем, подобные вычисления могут быть довольно сложными. Далее мы продемонстрируем два подхода применительно к частному случают простой иерархической системы, которые позволяют

получить вполне стоящие результаты. Первый подход заключается в непосредственном решении основной системы интегральных уравнений, а второй сводится к введению гипотетических состояний.

Прямой подход

Хотя зависимость интенсивности продвижения от времени пребывания в системе не видна явным образом, для фирм (организаций) характерен при проведении кадровой политики учет этого времени при продвижениях. Далее в настоящем разделе попытаемся осветить влияние зависимости интенсивности продвижения от времени пребывания на полученные ранее результаты.

В гл. 2 при обсуждении модели с дискретным временем мы сталкивались с подобной проблемой, пытаясь применить принцип накопленной инерции. В данном случае мы увеличим число состояний, поэтому стаж пребывания внутри измельченной градации превратится в часть характеристики градации до ее измельчения. Это возможно, так как стаж измеряется в тех же единицах шкалы времени. Гинзберг (1971) развил эту идею, применив теорию полумарковских процессов для построения моделей с непрерывным временем. При таком подходе процесс переходов определяется с помощью матрицы вероятностей переходов, а моменты времени самих переходов — с помощью распределения вероятностей — свое для каждого из возможных переходов. Такой процесс определяется так, что интенсивности переходов являются функциями времени пребывания в данном состоянии. В нашем случае мы видоизменим подход, чтобы отразить то увеличение системы, о котором говорилось выше.

Вначале рассмотрим замкнутую систему иерархического вида, в которой продвижение осуществляется только на ближайшую находящуюся выше ступень и поступление происходит только на самый нижний уровень. Тогда нам потребуются только переходные вероятности где k — число ступеней. Когда они будут найдены, мы можем обратиться к (5.3), чтобы получить средние численности (размеры) ступеней, которые нас интересуют. Пусть величина означает интенсивность перехода со ступени на ступень для человека, который поступил на ступень за период времени до настоящего момента. Как и ранее, — интенсивность уходов индивидуумов, которые находились в системе период времени Т. Уравнения для вероятностей представляют собой частный случай тех, что приводят к (4.58), но они имеют существенно более простой вид. Это объясняется иерархической структурой системы, которую мы изучаем. Таким образом, если мы рассматриваем переход из состояния 1 в состояние то имеется единственно возможная последовательность переходов, а именно Таким образом,

Вероятности могут быть получены рекурсивно, так как то же самое, что и для (к — -уровневой системы, когда первая ступень исключается. На практике очень нелегко получить точное решение, особенно для больших Так как мы будем рассматривать другой, более общий метод, детально обсуждать решения интегральных уравнений нет необходимости. Главное значение прямого подхода состоит в том, что он позволяет легко получить общее решение для которое в свою очередь ведет к определению Сейчас мы будем применять прямой подход для такой дели.

Пусть имеется максимальное значение времени, которое может провести индивидуум на низшей ступени. Если за это время не было ни продвижения, ни ухода, то автоматически осуществляется продвижение. Такое допущение необходимо, чтобы интенсивность продвижения была бесконечной при , где b — максимальное время пребывания на ступени. Простейшая возрастающая функция времени пребывания, обладающая таким свойством, была предложена Вайдой (1947):

Допустим, что функция интенсивности уходов имеет аналогичный вид

где v — максимальное время, которое можно пробыть в организации. (Для первой ступени общий стаж работы в системе и время пребывания на первой ступени одинаковы. Следовательно, мы можем использовать для обозначения этих совпадающих понятий либо Т, либо т.) Если принять, что справедливо (5.86), то распределение полного времени пребывания, соответствующее интенсивностям уходов (5.86), имеет плотность

и, таким образом, среднее время пребывания равно:

При выполнении всех предположений мы легко находим, что

Среднюю численность людей на первой ступени можно определить, подставив последнее равенство в (5.3). Положив интенсивность поступлений для иерархической системы, рассматриваемой в этом разделе, постоянной, имеем

Из последнего соотношения ясно, что предельное значение получается при и выражается вторым из интегралов.

Теперь можно сравнить полученные результаты с теми, которые были приведены в предположении о постоянстве интенсивностей продвижений и уходов. Чтобы сделать это корректно, необходимо условиться, что в марковской системе то же среднее время пребывания, что и в полумарковской. Равенства выполняются при

Если мы ограничимся сравнением предельных значений, то для марковской системы Это выражение следует сравнить со второй формулой из (5.90), которую можно записать так:

Если как v, так и b стремятся к бесконечности, то

что совпадает с известным результатом для постоянных интенсивностей. Наибольшее расхождение между двумя случаями, когда и малы. В крайних случаях возможны равенства

(при меньших значениях b и у и и с становятся отрицательными). Теперь

Таким образом, можно сделать вывод, что для любой системы с интенсивностями переходов, определяемыми (5.85) и (5.86), справедливо

Следовательно, изменение интенсивностей продвижений в сторону увеличения из-за учета времени пребывания на ступени ведет к увеличению численности первой ступени. Поскольку общие ожидаемые размеры системы не зависят от вида зависимости интенсивностей продвижений от времени пребывания, мы в конце концов можем сделать

вывод, что относительная ожидаемая численность на первой ступени будет увеличиваться.

Приближение к нижнему пределу неравенства (5.94), когда b и v растут, происходит довольно быстро, что видно из следующего соотношения, полученного при :

Следовательно, можно сделать вывод, что предположение о постоянстве интенсивности продвижений может быть и не столь определяющим, особенно для первой ступени. Этот же подход можно было бы применить теперь для определения численности на следующей, второй, ступени, но мы обратимся к другому методу.

Метод введения гипотетических состояний

Метод широко используется в теории очередей, которая применяется для рассмотрения немарковских систем. Его суть в том, что рассматриваемая система заменяется более сложной марковской. Это делается следующим образом. Предположим, что уходов нет и из ряда ступеней выбраны две с постоянными интенсивностями переходов, как показано на рис. 5.3. Времена пребывания на ступенях I и II — случайные величины, распределенные по экспоненциальному закону с средними значениями, соответственно равными . Допустим теперь, что переходы между ступенями I и II мы не можем наблюдать и что членов этих двух ступеней нельзя различить.

Рис. 5.3

Таким образом, время пребывания на такой объединенной ступени — сумма независимых случайных величин, распределенных по экспоненциальному закону. Рассмотрим с небольшой потерей общности частный случай, приняв, что Тогда время пребывания на объединенной ступени имеет плотность распределения

Продвижение из объединенной ступени происходит при (5.96) с интенсивностями переходов

где — постоянная интенсивность переходов, которая была бы при том же среднем времени пребывания в системе. Таким образом, мы получили марковскую систему, которая ведет себя в этом случае как немарковская с интенсивностью определяемой уравнением (5.97).

Приведенный пример может быть обобщен. Вместо двух гипотетических ступеней можно рассмотреть g, для них:

При таких условиях — всегда возрастающая функция 7, скорость роста которой зависит от g, и она всегда имеет предел при

Применяемый метод заключается в том, что каждая ступень действительной системы заменяется подходящим числом g гипотетических ступеней — «подступеней». Интенсивности потерь для всех подступеней должны совпадать с интенсивностью потерь из ступени, их содержащей. Средние численности подступеней определяются с помощью стандартных методов теории марковских процессов. Численности на действительных ступенях получают простым суммированием по соответствующим подступеням. Продемонстрируем этот метод на примере простой иерархической системы, которая рассматривалась в разделе 5.2, при постоянных интенсивностях продвижения. Снова ограничимся рассмотрением предельного режима. Допустим, что интенсивности уходов одинаковы со всех ступеней и обозначим их через кроме того, допустим, что поступления R постоянны. Хотя в общем случае это и не обязательно, предположим, что число g одинаково для каждой ступени. Тогда система будет заменена другой с ступенями с постоянными или равными интенсивностями продвижений. Чтобы облегчить сравнения с результатами, приведенными в (5.52), обозначим эти интенсивности через Пусть обозначает предельную среднюю численность ступени; она может быть получена из (5.52) заменой на и k на Таким образом,

Тогда ожидаемая численность на ступени первоначальной системы равна:

Если оно превращается в (5.52). Увеличивая g, мы усиливаем зависимость продвижений от времени пребывания на ступени. В пределе все продвижения осуществляются после того, как

человек прослужил некоторое фиксированное время в этом случае

Интересная особенность полученных результатов состоит в том, что относительные средние численности ступеней, кроме последней, образуют геометрическую прогрессию для любого g. Постоянный множитель прогрессии изменяется от значения , которое соответствует постоянной интенсивности продвижения, до значения которое соответствует продвижениям через постоянное время пребывания. Некоторые численные значения приведены в табл. 5.3.

Таблица 5.3. Сравнение первых членов прогрессий, соответстующих двум противоположным правилам продвижения

Таким образом, насколько важна гипотеза о постоянстве интенсивностей продвижения, зависит от отношения Если это отношение мало (продвижений гораздо больше, чем уходов), то гипотеза не влияет на результат. С другой стороны, если величина велика, то характер гипотезы становится весьма важным. Это положение иллюстрирует табл. 5.4, в которой сравниваются структура для больших и малых значений отношения.

Таблица 5 4. Относительная структура системы когда продвижение осуществляется через постоянные или случайные промежутки времени

Интенсивности продвижений являются возрастающими функциями от времени пребывания на ступенях, поэтому относительно возрастают численности на начальных ступенях по сравнению с последующими. Был получен аналогичный результат, когда допускалась зависимость интенсивностей уходов от общего стажа. Другое сходство между этими двумя случаями заключается в том, что численность на более высоких ступенях существеннее зависит от выполнения допущений. Тем не менее можно ожидать, что в марковских моделях получаются завышенные численности на более высоких ступенях и заниженные на начальных. Хотя с практической точки зрения более реалистично предполагать, что интенсивности продвижений — возрастающие функции времени пребывания (стажа), нельзя не отметить, что метод разбиения на гипотетические группы может быть применен и тогда, когда, интенсивности — убывающие функции.

Рис. 5.4

Рис. 5.5

Один из методов, реализующий такое разбиение, заключается в том, что марковские системы разбивают на параллельные состояния — подгруппы. Эту идею можно продемонстрировать на примере системы, показанной на рис. 5.4, с двумя параллельными гипотетическими подгруппами и постоянными интенсивностями переходов. Время пребывания в группе тех людей, которые прошли через блок I — случайная величина, распределенная по экспоненциальному закону с параметром . Для тех, кто прошел через блок II, параметр равен . Если нельзя различать эти две подгруппы, то очевидно, что плотность распределения времени пребывания будет смесью двух экспоненциальных распределений. Более точно, функция распределения будет иметь вид

    (5.102)

Легко показать, что интенсивности уходов для такой комбинации подгрупп

— это убывающая функция Т.

Покажем сразу же, как этот результат может быть использован при изучении трехуровневой иерархической системы, интенсивности продвижений которой имеют вид, определяемый плотностью распределения (5.102). Рассмотрим марковскую систему, показанную на рис. 5.5, в которой возможные переходы показаны стрелками. Допустим, что

каждая пара подгрупп внутри пунктирного прямоугольника имеет одинаковые интенсивности уходов. Если прямоугольники представляют собой ступени действительной системы, эта будет марковская система с убывающими интенсивностями продвижений, в которой подгруппы объединены. Интенсивности переходов между подгруппами могут быть выбраны так, чтобы получились требуемые значения средних величин как для отдельных ступеней, так и по системе в целом. Следует заметить, что матрица интенсивностей переходов, соответствующая описанной выше системе, является треугольной, поэтому для нее при вычислениях остаются те же упрощения, которые справедливы для простой иерархической системы. Общая цель введения такого рода зависимостей заключается в том, чтобы увеличить относительную численность на последних ступенях при постоянных интенсивностях продвижений.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление