Главная > Разное > Стохастические модели социальных процессов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5.4. СИСТЕМЫ С УСТАНОВЛЕННЫМИ ПОСТУПЛЕНИЯМИ И УХОДАМИ, ЗАВИСЯЩИМИ ОТ ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТИ ПРЕБЫВАНИЯ

Теория

До сих пор предполагалось, что интенсивности переходов — постоянные величины, но обоснования, приводящие к (4.4), справедливы даже тогда, когда R — функция времени. Предположения, что интенсивности переходов — постоянные величины, справедливы для описания процесса выживания при заболевании раком, но почти наверняка это не так при описании потоков в кадровых системах. Потоки продвижения обычно зависят от времени пребывания в состоянии и, как мы увидим в гл. 7, склонность к уходу сильно зависит от Г и стажа. В этом разделе мы обсудим последствия ослабления требования о постоянстве интенсивностей уходов. В разделе 5.5 будет введена зависимость других интенсивностей от времени пребывания в состояниях.

Существуют общие методы решения основных уравнений для марковских процессов, когда они зависят от времени. Но в частном случае, который нас будет интересовать, можно получить точное решение еще проще. Сосредоточим внимание на иерархических системах, в которых невозможен переход с верхнего на нижний уровень. Рассмотрим матрицу интенсивностей переходов, в которой категория соответствует уходам. Таким образом,

Дифференциальное уравнение для Р (Т) может быть разделено на две части:

Систему уравнений (5.72) можно решить при использовании начальных условий

Эта вероятность представляет собой, естественно, функцию распределения времени пребывания в системе до выбытия, и она может быть вычислена непосредственно. В действительности следовало бы выбрать подходящие значения для каждой задачи на основе наблюдаемых распределений .

Система уравнений (5.71) не может быть решена тем же способом, который описан в гл. 4, так как не все коэффициенты постоянны. Однако она может быть преобразована в другую систему с постоянными коэффициентами. Пусть

Заметим, что гц постоянны для всех при определенных значениях гц (Г). Введем новое множество вероятностей обозначив их следующим образом:

Вероятность , определенная уравнением (5.75), — условная вероятность перехода со ступени i на ступень j на интервале (0, Т) при условии, что за этот интервал не было уходов из системы. Подставляя (5.75) в (5.71), получаем

Система уравнений (5.76) может быть решена методами, описанными в разделе 4.1. Найдя из (5.76), можно определить из (5.75).

Хотя вероятности были вычислены для данной системы в предположении, что интенсивности уходов постоянны, очень просто получить вероятности для интенсивностей, зависимых от времени. Чтобы показать это, положим Тогда можно записать:

Сравнивая с (5.41), видим, что коэффициенты те же, что и для системы с постоянными интенсивностями уходов, поскольку и Теперь, используя (5.75), получаем

где коэффициенты — те же, что были вычислены ранее при постоянных интенсивностях уходов. Единственное, что меняется при подобном обобщении, это вид экспоненты, так как заменяется на

Иллюстрация теоретических результатов

Сейчас мы вполне подготовлены к оценке погрешности от предположения, что интенсивности уходов постоянны. Вернемся ко второму примеру из раздела 5.2. Положим . Ограничимся лишь постоянной скоростью поступления и рассмотрим только предельную структуру Отметим с самого начала, что ожидаемые размеры системы зависят только от среднего значения распределения полного времени пребывания в системе. Поэтому выберем такое значение , чтобы среднее время пребывания в системе было равно половине принятого ранее. При постоянной интенсивности уходов продолжительность пребывания в системе имеет экспоненциальное распределение. В нашем примере мы рассмотрим два крайних случая отклонений от экспоненциал ьности.

Для начала выберем смесь экспоненциальных распределений с плотностью

Чтобы среднее значение времени пребывания в системе было то же, что и в ранее рассмотренном примере, мы должны выбрать и входящие в (5.79), такими:

Для совпадения переходных вероятностей с уже найденными при постоянных интенсивностях требуется найти такую смесь экспоненциальных распределений, чтобы выполнялось

В случае, когда получаем формулы для экспоненциального распределения времени пребывания в состоянии. Сделав все необходимые преобразования (5.78), находим

где исключено благодаря (5.80), a 1. Поскольку меняется от единицы до бесконечности, все возможные значения для получают из (5.81). Можно показать, что ожидаемые размеры ступеней, определяемые по (5.81), принимают крайние значения для экспоненциального распределения при а также при Последние два случая эквивалентны, так как f (Т) симметрична относительно и Достижимые крайние структуры приведены в первых двух столбцах табл. 5.2. Обсудим эти результаты далее.

Предположим, что в противоположном рассмотренному в последнем разделе крайнем случае время пребывания в системе постоянно. Тогда имеем

Когда предельные размеры ступеней определяются по формуле

    (5.83)

в которой получено из (5.44) при Область интегрирования ограничена, так как

Подставляя численные значения , находим

Полученные далее результаты сведены в табл. 5.2.

Таблица 5.2. Предельные структуры при различных предположениях об интенсивностях уходов

Данные табл. 5.2 в определенном смысле отражают более широкие изменения структуры, чем это может быть в действительности. Они иллюстрируют только один частный пример, однако вычисления, проведенные для других ситуаций, показывают общность характеристик. Из таблицы видно, что чем больше коэффициент вариации распределения времени пребывания в системе, тем больше численность на высших ступенях. В абсолютных значениях изменения на верхней ступени почти уравновешиваются изменениями на нижней, но в относительных единицах размеры высшей ступени наиболее чувствительны к допущению о постоянстве интенсивностей уходов. В действительности распределения времени пребывания в системе сильно кососимметричны, и они с успехом заменяются смешанными экспоненциальными распределениями. Поэтому можно ожидать, что при постоянных интенсивностях продвижений предельная структура должна иметь вид, более похожий на первый столбец таблицы с относительно большим числом людей на высших ступенях. Таким образом, весьма вероятно, что любой фактор, способствующий росту коэффициента вариации времени пребывания в системе при постоянном среднем, влияет на увеличение численности на высших ступенях за счет нижних.

В предыдущих рассуждениях мы полагали, что интенсивности поступлений постоянны. Мы получили бы сходные результаты, если бы рассматривали расширяющиеся организации, которые растут со скоростью , так как предельная структура в обоих случаях одинакова. Большой интерес представляет более общий случай, когда интенсивность продвижения зависит от времени пребывания в системе.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление