Главная > Разное > Стохастические модели социальных процессов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава 5. МОДЕЛИ ОТКРЫТЫХ СОЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ

5.1. МАРКОВСКАЯ МОДЕЛЬ С ЗАДАННЫМ ВХОДОМ

Теория открытых систем — непосредственное развитие теории замкнутых систем, которые обсуждались в гл. 4. Поэтому в настоящей главе мы сосредоточим внимание только на вновь возникающих особенностях и на приложениях. Так же как и в гл. 3, будем считать систему открытой, если имеются уходы из системы, и рассмотрим два основных класса моделей, различающихся допущениями о входных потоках. При исследовании когорт применяются модели с нулевым входом. В терминах теории случайных процессов — это непрерывные марковские процессы с поглощающими состояниями.

Базовые уравнения модели выводятся из аналогичных моделей с дискретным временем при учете ограничений, приведенных в начале гл. 4. Если рассматривать изменение состояния за малый интервал времени , то

Осуществляя подстановку и устремляя в уравнении , получаем

где R (Т) — мгновенная интенсивность поступлений, которую мы ввели вместо того, чтобы анализировать все поступления в систему за интервал времени от Т до . Важно пояснить свойства матрицы R, которые следуют, в нашем случае, из соответствующей матрицы . Диагональные элементы R определяются так:

В последней сумме интенсивность уходов из системы, среди элементов R она отсутствует, оставаясь только составной частью диагонального элемента. Сумма элементов строки R, таким образом, больше не обращается в нуль, а равна

Если проинтегрировать линейные дифференциальные уравнения (5.2), применяя стандартные методы, то получим

Это уравнение — непрерывный аналог (3.2). К тому же результату можно прийти непосредственно при использовании вероятностных терминов. Первый член в правой части (5.3) дает ожидаемое число индивидуумов в каждом состоянии, обусловленное начальным состоянием, так же как в замкнутой модели. Во втором члене — «начальный» вектор, представляющий тех, кто поступает за период ). По прошествии времени распределение индивидуумов по состояниям определяется выражением Интегрируя по х от 0 до Т, находим суммарное распределение индивидуумов по состояниям. Аналогичное выражение получается для ожидаемого числа покинувших систему. Используя индекс для обозначения числа покинувших систему, запишем:

Входной поток не обязательно должен быть непрерывным. Достаточно легко рассмотреть потоки в дискретные моменты времени, в этом случае интегралы в (5.3) и (5.4) заменяются суммами.

При дискретном времени мы можем объединить (5.3) и (5.4) в одно уравнение, используя расширенные векторы и более сложные матрицы. Если обозначить через состояние, в которое включены те, кто покинул систему, то это уравнение будет иметь вид:

В расширенном варианте (5.2) матрица R заменяется матрицей

В этой матрице суммы элементов строк равны нулю. Нетрудно построить модель так, как будет рассмотрено в первом примере, чтобы поглощающим было не только одно состояние. Матрица сформирована с добавлением нулевой строки для каждого поглощающего состояния. Для того чтобы определить вектор ожидаемых численностей, необходимо использовать (5.5). Первый шаг состоит в нахождении

методом из гл. 4. Рассуждения, приводящие к (4.8), правомерны для открытой системы, если применяются расширенные матрицы Р (Т) и R. Вектор уходов получается сразу при подстановке в (5.5).

Предельный режим

Нас интересует предельный режим вектора n (Т), а он зависит, как и при дискретном времени, от вида функций интенсивностей поступления R (Т). Требуемый результат может быть получен непосредственно из решения дифференциальных уравнений, но общий результат Мелмана (1977b) больше говорит о поведении системы. Этот результат получен для функций поступлений R (Т) вида При он включает постоянные поступления, которые нас интересуют в первую очередь. Из (5.2) следует, что выполняется уравнение

и, следовательно,

Далее введем вектор для которого имеем

Подставляя этот вектор в (5.2), получаем

Это то же самое, что (5.2), только R заменяется на и R (Т) — на Следовательно, по предположению

и предельный вектор может быть получен по аналогии с (5.7):

отсюда

Приведенный результат имеет место, если существует обратная матрица, что бывает не всегда. Можно показать, что условие выполнения (5.10) заключается в том, что а должно быть больше, чем наибольшая из действительных частей собственных чисел R. Поскольку эти действительные части равны нулю или отрицательны, то (5.10) выполняется, когда асимптотическая скорость увеличения потока положительная. Если темпы сокращения системы велики, то (5.10) не выполняется.

Уравнение (5.10) позволяет высказать некоторые полезные суждения об относительных размерах ожидаемых численностей, даже если размеры системы неограниченно увеличиваются или уменьшаются.

Обозначив через вектор относительного ожидаемого числа индивидуумов, мы получаем

Проведенный выше анализ является непрерывным аналогом дискретной модели Файхтингера (1976), описанной в гл. 3.

Распределение численностей

До сих пор мы интересовались только математическими ожиданиями численностей градаций (квалификационных групп). Желательно также иметь некоторую информацию о распределениях численностей, их дисперсии и ковариации. Пока не существует непрерывного варианта метода Полларда, который мы применяли для дискретного времени, но легко обобщить метод Стаффа и Ваголкара. Этот метод позволяет получить наглядный результат, если входной поток пуассоновский, кроме того, с его помощью можно найти непрерывный аналог ранее установленного результата об условиях, при которых размеры численностей состояний распределены по закону Пуассона.

Итак, требуется получить совместное распределение численностей групп в момент времени Т, если дано, что поток поступлений в систему пуассоновский с интенсивностью R. Как и прежде, определим совместное распределение численностей за исключением тех, кто находится в системе с начального момента времени. Это позволит нам получить асимптотическое распределение, считая, что в определенный момент времени все те, кто был вначале в системе, покинут ее.

Предположим, что к моменту времени Т m индивидуумов поступят в систему в моменты времени Найдем производящую функцию распределения числа индивидуумов по градациям в зависимости от . Безусловную производящую функцию определим усреднением условных производящих функций относительно общих распределений Мы произведем эту операцию в два этапа, опираясь на тот факт, что при заданных могут рассматриваться как случайная выборка из равномерного распределения с плотностью

а число имеет распределение Пуассона со средним

Пусть если индивидуум, поступивший в момент времени в момент времени Т находится в состоянии, и нулю в противном случае. Тогда используя переходные вероятности, можно записать:

Следовательно, производящая функция распределения вероятностей при заданных и m имеет вид

а производящая функция совместного распределения вероятностей имеет вид

Когда требуется условное распределение сумм их производящие функции получают подстановкой скажем, для

Усредняя по T, находим

и, наконец,

Это производящая функция распределения вероятностей независимых случайных величин, имеющих распределение Пуассона. Следовательно, если не учитывать тех индивидуумов, которые находились в системе в начальный момент времени, численности градаций в момент времени Т будут иметь распределения Пуассона со средними

что соответствует (5.3).

Этот результат может быть обобщен, когда поступления представляют собой зависимый от времени пуассоновский процесс. В этом

случае моменты поступлений будут рассчитываться как случайные величины, распределение которых определяется плотностью

распределена по закону Пуассона со средним

Мы показали, что после достаточно большого отрезка времени численности градаций имеют распределения Пуассона. Аппроксимация распределением Пуассона будет тем точнее, чем меньше первоначальная численность градаций. В иерархической системе это происходит быстрее на нижних градациях. Если поступление не представляет собой пуассоновский процесс, то каждый приход происходит в момент Т и все сводится к изучению независимых величин с известным распределением, а в производящей функции степени заменяются произведениями П. Исследование Поллардом дискретного случая показывает, что последняя замена не меняет дела и что распределение Пуассона может оставаться хорошей аппроксимацией, однако в дальнейшем это положение требует уточнения.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление