Главная > Разное > Стохастические модели социальных процессов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава 4. МОДЕЛИ С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ ДЛЯ ЗАМКНУТЫХ СОЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ

4.1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ

Перейдем к рассмотрению непрерывных по времени версий моделей, аналогичных марковским цепям, введенным в гл. 2. На практике выбор между дискретной и непрерывной версиями модели — это вопрос, частично связанный с отношением к действительности, а частично — с практическим удобством. Основываясь обычно на отношении к действительности, мы хотим, например, моделировать перемещение людей между профессиональными группами или регионами в непрерывном времени, но на практике вычислительные преимущества часто приводят к выбору модели с дискретным временем. Модели с непрерывным временем легче поддаются математическому анализу, и это можно считать одним из их преимуществ, даже когда в действительности процессы протекают с дискретным временем. Чтобы выявить близкие параллели между этими двумя ситуациями, мы будем придерживаться такого же характера изложения, что в гл. 2. В частности, мы получим основные теоретические результаты, ограничившись лишь операциями над уже известными нам формулами. Тем самым мы подчеркиваем единство рассматриваемых моделей, хотя это и не всегда тот путь, которому следовал бы математик.

В марковских цепях с дискретным временем изменения состояния происходят на единичных интервалах времени. Существуют два способа перехода к непрерывному времени, мы рассмотрим их по очереди. Один способ заключается в предположении, что временной интервал между переходами становится все меньше и меньше. Однако только такого предположения недостаточно, так как оно лишь ускоряет процесс из-за изменения маштаба времени. Следовательно, надо допустить еще, что вероятности переходов должны меняться таким образом, чтобы ожидаемое число изменений состояния в единицу времени осталось тем же самым. В частности, вероятности переходов из каждого состояния должны уменьшаться по мере уменьшения временного интервала между изменениями состояния. Этого можно достигнуть следующим образом. Пусть величина интервалов между переходами будет тогда

При вероятность перехода любого состояния стремится К нулю, но средняя величина интервала времени между изменениями состояния остается постоянной. Чтобы это показать, заметим, что среднее число шагов пребывания в состоянии i равно (см. с. 46), каждый шаг имеет длительность так что средняя длительность пребывания (время пребывания) равна:

Стохастический процесс, к которому мы приходим в пределе при есть непрерывная марковская цепь. Величины заданные соотношением (4.1), часто называются инфинитезимальными вероятностями переходов. Величины называются скоростями или интенсивностями переходов, они характеризуют склонность к перемещению между парами состояний. Цепь, зависящую от времени, можно определить как цепь, в которой скорости переходов являются функциями времени. Скорости переходов часто имеют различные названия в страховой работе и в исследованиях надежности; не исключено, что наиболее известным и выразительным является термин «сила смертности». В нашей терминологии — это скорость перехода от состояния «жизнь» в состояние «смерть». Надо следить за тем, чтобы не путать скорости с вероятностями. Соотношение между ними дается (4.1).

Если обозначить через матрицу вероятностей переходов в (4.1), то получим

— матрица с элементами гц вне диагонали и с элементами на диагонали. Такое определение и удобно для того, чтобы иметь простое матричное представление (4.2). Основные теоретические соотношения, необходимые нам для приложений, можно теперь получить, делая предельный переход в соответствующих формулах из гл. 2.

Прежде чем перейти к пределам, рассмотрим другой способ перехода от дискретного времени к непрерывному. В модели с дискретным временем изменения состояния происходят на фиксированных интервалах времени. Эту ситуацию можно было бы обобщить, допустив, что изменения происходят на случайных интервалах времени. Тогда наш процесс определялся бы двумя стохастическими процессами. Один из них был бы марковской цепью, определяющей, какое изменение состояния происходит, когда наступает момент изменения; второй был бы точечным процессом, и его реализация давала бы моменты времени, в которые происходят изменения состояния. Тогда обыкновенная марковская цепь проявляется как частный случай, при котором точечный процесс вырождается в совокупность точек на фиксированных интервалах. Этот способ обобщения марковской модели с дискретным временем, конечно, гораздо более общий, чем первый, поскольку он позволяет получить столько моделей, сколько существует точечных процессов. В этой и следующей главах будут рассмотрены несколько процессов

этого семейства, а сейчас мы отметим только один, совпадающий с определенной выше марковской цепью с непрерывным временем.

Предположим, что изменения состояния происходят в соответствии с пуассоновским процессом с интенсивностью k, т.е. {изменение происходит на откуда следует, что вероятность того, что изменений произойдет на интервале имеет пуассоновское распределение

Далее, пусть Р есть матрица вероятностей перехода, определяющая изменения состояний. Далее мы покажем, что такой процесс представляет собой марковскую цепь с непрерывным временем, причем

Основные уравнения

Обычно мы хотим знать два множества значений вероятностей, которые в гл. 2 были обозначены (см. с. 30). Вектор вероятностей находится в различных состояниях в момент времени Т и легко получается из (2.2) следующим образом:

причем

что в пределе при дает

Здесь и далее оператор дифференцирования применяется к каждому элементу стоящих за ним вектора или матрицы. Форма решения (4.4) подсказывается специальным случаем, когда — скаляры. В этом случае известно, что решением будет

В матричном случае легко проверить, что ряд в правой части (4.5) удовлетворяет (4.4), если мы полагаем Можно показать, что это и есть требуемое решение, если ряды сходятся, а это так, если k конечно. Следовательно, решение можно записать в виде

Матрица Р (Т), элемент (i, j) которой есть вероятность перехода из i в за период между , очевидно, удовлетворяет уравнению

и мы получаем

Для подготовки читателя к материалу, изложенному в гл. 5, мы далее будем работать не с , а с вектором ожидаемых чисел

Теперь можно проверить (4.3). Для определенного ранее процесса

поскольку дает вероятности переходов при условии, что переходов уже произошли.

Заменяя их значениями и замечая, что находим

Сравнивая с (4.8), получаем (4.3).

Хотя оба способа перехода к марковской модели с непрерывным временем эквивалентны, существуют практические соображения, по которым в каждом конкретном случае тому или другому способу может быть отдано предпочтение. Эти соображения приобретут еще большее значение, когда мы далее в этой главе будем обобщать модель. Весьма важно знать, имеет ли смысл говорить об изменениях категории внутри одного состояния. Например, при рассмотрении профессиональной мобильности состояния системы могут задаваться отраслями промышленности. Индивидуум, который меняет работу внутри одной и той же отрасли, не реализует изменения состояния, однако поведение таких индивидуумов может отличаться от поведения тех, кто остался на прежней работе. При моделировании подобного процесса марковской цепью будет интенсивность изменения места работы, матрицей вероятностей перехода между отраслями промышленности. Тогда ненулевые диагональные элементы будут представлять собой вероятности перемещения внутри одной и той же отрасли промышленности. Заметим, что до сих пор было одним и тем же для всех состояний. При подгонке моделью такого процесса может понадобиться выразить результаты через оценки .

С другой стороны, в большинстве случаев не имеет смысла говорить о перемещениях внутри одного и того же состояния. Именно такая ситуация во втором из примеров, приведенных в разделе 4.2, а также в гл. 5. В этих примерах более естественным представляется определение процесса через интенсивности переходов. Однако даже в этом случае может оказаться полезным так перестроить систему параметров модели, чтобы сосредоточить внимание на двух аспектах: продолжительности пребывания в каждом состоянии и изменениях состояния. Это можно сделать следующим образом. Продолжительность пребывания дискретной марковской цепи в состоянии i распределена по геометрическому закону с

Предельный переход, выполненный в начале данного раздела, дает экспоненциальную плотность времени пребывания с параметром

Вероятность того, что система переходит из i в при условии, что выход из i имеет место, равна:

что при подстановке (4.1) дает

при Таким образом, процесс можно определить через интенсивности и матрицу переходов М, которая содержит нули на главной диагонали и элементы при . Итак, (4.3) можно обобщить и предложить три эквивалентные параметризации

где — диагональная матрица с элементами на диагонали. Это показывает, что если время пребывания в состоянии i зависит от i, то переходная матрица должна иметь нули на диагонали. И обратно, если переходная матрица не имеет нулей на диагонали и время пребывания для всех состояний распределено неодинаково, то процесс не может быть марковским.

Решение основных уравнений

Прямое определение матрицы Р (Т) из (4.8) включало бы суммирование бесконечных рядов, члены которых были бы получены из степеней матрицы R. Лучший метод состоит в применении теоремы Сильвестра (см. раздел 3.2), которая позволяет представить решение в форме конечной суммы из k, слагаемых. Вообще говоря, матрица R допускает спектральное представление

где — собственные значения матрицы — связанные с ними сопутствующие матрицы. Это представление справедливо только тогда, когда все различны. Тогда из теоремы Сильвестра следует, что

где использована матричная форма (4.5). Аналогично имеем

Поведение решения, особенно для больших значений Т, будет сильно зависеть от собственных значений. Прежде чем перейти к обсуждению практических шагов на пути к полному решению, получим некоторые общие результаты, касающиеся величин собственных значений.

Собственные значения получаются решением уравнения

Величина определителя не изменится, если мы заменим элементы первой строки на сумму элементов столбцов. Теперь все элементы в первой строке нового определителя будут . Следовательно, уравнение (4.15) всегда выполнено, когда Из (4.13) ясно, что все корни должны быть равными нулю или быть отрицательными; в противном случае нашлось бы такое Т, для которого переходные вероятности не лежали бы между 0 и 1.

Поскольку нас интересует главным образом вектор n (Т), мы будем рассматривать решение в форме (4.14). Из предыдущих замечаний следует, что величины (Т) можно записать в виде

где . Соотношение имеет место, если все 0 различны. Если — кратный корень, оно также сохраняется, но при небольшой модификации, представленной ниже. Коэффициенты в (4.16) можно найти сразу при определении сопутствующих матриц Эквивалентный, но более краткий способ состоит в следующем. Подставляя n (Т) из (4.16) в (4.4), получаем

где Сравнивая коэффициенты при находим, что си должны удовлетворять уравнениям

здесь представлены уравнений для того же числа неизвестных, уравнения не являются независимыми. Действительно, если мы просуммируем каждую часть (4.18) по то получим нуль в каждой сумме. Следовательно, чтобы определить коэффициенты с, нам нужно еще k уравнений. Их можно найти, так как необходимо выполнение начальных условий. Полагая в имеем

Позже мы будем решать эти уравнения для каждого частного случая.

Изложенная выше теория относится к случаю, когда все 0 различны. Если среди корней встречаются кратные, то найдем форму решения с помощью соответствующего предельного перехода в (4.16). Например, предположим, что . Коэффициенты являются функциями от 0, и нам надо определить их пределы при . Члены, содержащие в экспоненте, требуют особого внимания. В типовом случае имеем

Поскольку для любой содержательной задачи предел в фигурных скобках конечен, то пара слагаемых, соответствующая должна быть заменена одним слагаемым вида

В общем случае, если имеется корень 0 кратности , то слагаемое, соответствующее этому корню в (4.16), должно быть заменено выражением

Особенно простым, но важным является случай, когда кратный корень равен нулю. Тогда общее решение имеет вид

Можно показать, что для и всех i. Необходимость таких соотношений следует из анализа предела (Т) при Вторая сумма в (4.23) всегда обращается в нуль, а первая сумма при нарушении равенства при будет стремиться к в зависимости от знака . Так как имеет конечный предел, мы приходим к выводу, что должно иметь вид

Подставив выражение (4.24) в (4.4), получим для уравнения, такие же, как (4.18), если в последних отбросить уравнения с и заменить на

Предельное поведение

Предельную структуру марковского процесса с непрерывным временем можно получить различными способами. Если уже найдено как описано выше, полное решение уравнений, то надо устремить

. Учитывая, что действительные части собственных значений для строго отрицательны, получаем из (4.16)

В том случае, когда — кратный корень, надо заменить на Если нас интересуют только предельные величины (или нет необходимости в полной информации о процессе), то можно обойтись без вычисления всех Из существования предельных состояний и из (4.4) ясно, что предельный вектор (или ) должен удовлетворять уравнению

Эти уравнения вместе с уравнением можно решить обычным способом, но решения, если воспользоваться (4.12), могут быть представлены в двух различных формах. Таким образом, (4.26) также эквивалентно соотношению

которое показывает, что предельные структуры такие же, как для модели с дискретным временем с переходной матрицей Р. Одно полезное следствие состоит в том, что установившуюся структуру можно получить, не зная интенсивности или скорости изменения состояния 1. Из (4.12) следует также, что удовлетворяет соотношению

Таким образом,

где m — предельный вектор состояния, определяемый матрицей М. Позже мы увидим, что этот результат почти немедленно обобщается на полумарковские процессы.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление