Главная > Разное > Стохастические модели социальных процессов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3.2. МОДЕЛЬ СИСТЕМЫ С ЗАДАННЫМ ВХОДОМ

Базовая модель

В качестве примера возьмем генеральную совокупность, члены которой подразделены на слоев. Во многих приложениях слои ранжируются по старшинству, но эта особенность пока не будет рассматриваться в явной форме. Обозначения гл. 2 по возможности будут сохраняться. Так что обозначает число людей в группе-слое в момент . Начальные размеры групп предполагаются заданными и по определению

При размеры групп представляют собой случайные переменные, и нас будут интересовать главным образом их математические ожидания. Они будут обозначаться, как и ранее, чертой над символом, представляющим данную случайную переменную; таким образом, есть математическое ожидание численности группы в момент Т. Число элементов, поступающих в систему в момент Т, будем обозначать Как отмечалось, оно может быть или постоянной величиной, или случайной переменной. В последнем случае R (Т) надо понимать как математическое ожидание числа элементов, поступающих в систему. Предположения относительно переходов между группами и обозначения этих переходов в данной модели социальной мобильности сохраняются. Элемент группы i переходит в группу с вероятностью но соотношение

может больше не выполняться. В общем случае

поскольку в открытой системе возможны переходы, выводящие элементы за ее пределы. Вероятность потери из группы в момент Т обозначается Отметим, что

Завершая описание модели, опишем распределение вновь поступивших по различным группам. Во многих приложениях все вновь прибывающие размещаются в самой низкой группе, но мы сделаем более общее предположение, что в группу поступает доля Очевидно, что

и распределение будет называться «распределением принятых. Альтернативное предположение относительно входа в систему состоит в том, что каждый вновь поступающий распределяется в группу j с вероятностью Тогда реальные числа поступающих в различные группы будут полиномиально распределенными, а не фиксированными. Наша теория охватывает оба случая, поскольку относится только к математическим ожиданиям, поэтому для нас не имеет значения, - рассматривается как действительная доля или как ее математическое ожидание. Разница становится важной при рассмотрении дисперсий и ковариаций.

Может оказаться удобным расположить вероятности, характеризующие процесс, по стандартной форме следующим образом:

Как и ранее, P есть матрица с элементами обозначает распределение принятых, а — вектор ожидаемого размера группы в момент Т.

Теперь, когда определилось развитие системы, легко выписать уравнения, связывающие размеры групп в последовательные моменты времени. Непосредственно из определения условных математических ожиданий следует, что

или

Заметим, что вновь поступающие оказывают воздействие на систему так, как если бы они все поступали в нее в момент + 1. Так как R(Т) известно для всех Т, это уравнение можно применять для рекуррентного вычисления ожидаемых размеров групп. Повторное применение (3.16) дает

где снова определяется как единичная матрица I. Вероятности не входят явным образом в эту формулу, но так как они являются дополнениями сумм элементов строк матриц Р и то зависит от их значения. Когда R (Т) имеет удачное математическое выражение, то оказывается возможным просуммировать матричные ряды,

появляющиеся в (3.2), и таким образом получить решение в виде простой формулы. Это возможно, когда R (Т) постоянно для всех Т или, в более общем случае, если

Тогда имеем

при условии, что для матрицы существует обратная. Это имеет место, если х не равен какому-либо из собственных значений матрицы Р. Для матрицы с неотрицательными элементами и суммами элементов строк, строго меньшими единицы, собственные значения лежат между 0 и 1. В частности, не является собственным значением и, следовательно, (3.4) применяется для случая постоянного входа. Однако, как мы увидим, это последнее выражение играет основную роль при выяснении предельного поведения системы.

Цель следующих разделов — получить общие выводы о формах решений и их применении к исследуемым социальным процессам.

Иногда бывает удобно включить в вектор запасов математическое ожидание численности лиц, покинувших систему. Если обозначить эту величину через , то можно следующим образом определить множество расширенных векторов и матриц:

Матрица является стохастической матрицей, соответствующей марковской цепи с одним поглощающим состоянием.

Повторение приема, ведущего к (3.16), дает

Эта форма уравнения не очень удобна в приложениях, где мы интересуемся главным образом последовательностью запасов, поскольку последний элемент ведет себя иначе, чем все остальные. В частности, он растет без ограничения, даже если остальные элементы стремятся к пределам. Тем не менее эта форма, как мы покажем, полезна при изучении поведения когорт

Спектральное разложение

Другое возможное представление n (Т), имеющее некоторое преимущество, может быть получено при использовании стандартного результата из теории матриц, известного как теорема Сильвестра, согласно

которой степень Т матрицы Р можно представить в виде

где — собственные значения матрицы Р, которые предполагаются различными. Мы уже встречались с этим результатом для стохастической матрицы в разделе 2.3. Если среди собственных значений имеются кратные, матрицу все-таки можно разложить по степеням собственных значений, но выражения будут более сложными. Множество сопутствующих матриц можно найти из выражения

где — левый собственный вектор матрицы Р, соответствующий — правый собственный вектор. (Это означает, что удовлетворяют соответственно уравнениям ; отсюда следует, что и масштаб векторов выбран так, что Подставляя в (3.6), получаем

где — диагональная матрица с элементами Так как

то можно записать:

    (3.7)

где b. Мы используем это представление в гл. 4. Подставляя выражение для данное в (3.6), в (3.2), получим

Это представление особенно полезно, если сумму

можно выразить простой формулой. Когда такое представление возможно, то n (Т) будет суммой из k членов для всех Т, и ее можно найти без необходимости рассчитывать структуру групп для всех промежуточных значений Т. Уравнение (3.8) является также хорошим отправным пунктом для исследования предельного поведения . Вообще говоря, для нахождения собственных значений и множества сопутствующих

матриц для больших k необходимо выполнить большой объем вычислений, но это обычные операции, для которых существуют стандартные программы для ЭВМ. Кроме того, в отдельных случаях, представляющих, однако, практический интерес, анализ значительно упрощается. Одним из таких примеров может служить ситуация, когда организация построена по иерархическому принципу, причем движение вниз не допускается. В следующем разделе мы рассмотрим этот частный случай и проиллюстрируем изложенную теорию.

Иерархическая структура без понижения в должности

Предположим, что k групп упорядочены по старшинству и что переходы внутри организации допускаются только в более высокую группу. Именно такая ситуация наблюдалась при анализе австралийской университетской системы, и она является достаточно общей для того, чтобы обратить на нее особое внимание. Матрица Р в этом случае является верхней треугольной, т. е. с нулевыми элементами ниже главной диагонали:

Собственные значения такой матрицы равны: Следовательно, собственные значения будут различными, если диагональные элементы матрицы Р различны. Здесь также можно дать явные выражения для элементов матриц . Если обозначить элемент матрицы через , то

Подстановка собственных значений и сопутствующих матриц в (3.8) дает выражение, по которому можно вычислить n (Т).

Дальнейшее упрощение можно получить, если наложить дополнительные ограничения на характер продвижений по службе, которые могутбыть практике. Предположим, например, что повышение по службе возможно только в следующую более высокую группу, т. е. . Тогда первую сумму в (3.9) можно заменить на

Если R(Т) растет по закону геометрической прогрессии , то

Таким образом, ясно, что диагональные элементы матрицы Р и величины х играют решающую роль при определении развития процесса во времени.

Чтобы проиллюстрировать необходимые вычисления и получить некоторое представление о поведении иерархических систем, мы разберем численный пример с Таблица переходных вероятностей приведена в стандартной форме:

В этой таблице числа были выбраны так, чтобы отразить тот характер условий, который наблюдается при типичной иерархической системе. В случае системы образования диагональные элементы были гораздо меньше. Три четверти вновь принимаемых на работу приходят на самый низкий уровень иерархии и одна четверть — на второй снизу уровень. Вероятности увеличения, уменьшаются по мере продвижения к более высоким ступеням иерархии, поскольку мобильность между фирмами чаще имеет место на более низких уровнях. Увольнения с уровня 5, кроме переходов, включают уход на пенсию, так что их вероятность вполне может быть и выше 0,05, использованной в этом примере. Среднее время, проведенное на уровне i, равно в данном примере — это три-четыре года на первых трех низших ступенях. Ожидаемое время достижения наивысшего уровня — почти 17 лет.

Матрица Р треугольная, и, следовательно, собственные значения равны диагональным элементам. Остается вычислить сопутствующие матрицы . Для этого надо подставить заданные числовые величины в (3.10). Например,

Окончательно матрицы имеют вид:

Для применения (3.11) остается определить начальную структуру по уровням и входную последовательность Предположим, что , a . Если мы вычислим общий размер системы и размеры на отдельных уровнях в момент как кратные , нам останется только выразить R через N (0). Для иллюстрации этих величин мы выбрали . Причина такого выбора состоит в том, что при этом . Это обеспечивает отсутствие тренда в составляющей развития общего размера системы и позволяет сосредоточить внимание лишь на происходящем изменении структуры. При сделанных предположениях получаем

и в пределе

В данном примере векторы равны:

Подстановка в (3.13) дает следующую предельную структуру:

    (3.14)

Различие между этой и исходной структурами совершенно очевидно. Размер на высшем уровне увеличился более чем в пять раз, а размеры на более низких уровнях почти выравнялись. Эта особенность обусловлена большой средней длительностью пребывания на уровне 5, которая составляет 20 лет. Чтобы противодействовать такому чрезмерному росту на верхних ступенях, мы могли бы увеличить для снизив вероятности продвижения по службе. Приведенный здесь пример иллюстрирует тот факт, что политика повышения в должности, которая кажется целесообразной, может привести к нежелательным для структуры организации последствиям. В частности, это предполагает, что избыточный рост на верхних ступенях, который наблюдается во многих организациях, может быть прямым следствием негибкой политики продвижения по должностям.

Для расчетов промежуточных структур мы должны сначала вычислить векторы Опустим детали и перейдем непосредственно к табл. 3.1, в которой представлены значения n (Т) для выбранных моментов времени.

Таблица 3.1. Значения для примера в тексте

Приближение к положению равновесия дает такую же картину, какую мы уже наблюдали в других примерах. На низких уровнях предельные математические ожидания достигаются сравнительно быстро, но на уровне 5 стремление к пределу очень незначительное. Спустя 10 лет ожидаемый размер на уровне 5 составляет лишь половину равновесного значения, тогда как на уровнях 1 и 2 почти достигнут предел.

Ожидаемый общий размер системы устойчиво уменьшается за период до 10 лет, но в конечном счете он достигает своего первоначального значения. Незначительное стремление к равновесию на более высоких уровнях и общего размера системы объясняется множителем, включающим (0,95) в выражении (3.12). При коэффициенте — 0,6864 его значением нельзя пренебрегать, пока Т не достигнет величины порядка 100. В случаях, подобных этому, предельная структура системы не представляет большого интереса, хотя именно она показывает общее направление изменений. Иногда больший интерес могут представлять ожидаемые относительные величины численности, а не сами ожидаемые численности. Их легко получить из табл. 3.1, но они существенно не меняют общую картину.

Предельное поведение

Мы рассмотрели предельное поведение модели в особом случае с постоянным входом. Теперь исследуем это положение более подробно. В открытой системе вопрос о поведении ее структуры на длительном интервале времени осложняется наличием входного воздействия Интуиция подсказывает, что если эта последовательность устанавливается на постоянной величине, скажем, R, то последовательность ожидаемых векторов запасов будет также стремиться к установившемуся состоянию. С другой стороны, если последовательность неопределенно возрастает, то запасы также будут возрастать и не будет установившегося состояния такого типа, как мы обсуждали в гл. 2. Однако, возможно, что относительные размеры ожидаемых запасов станут устойчивыми. Если мы определим вектор относительного запаса как

где то уместно поставить вопрос, стремится ли последовательность к пределу при . Аналогично, если R (Т) уменьшается со временем до нуля, то вектор запаса в пределе также обращается в нуль, но может случиться, что q (Т) имеет отличное от нуля предельное значение.

Чтобы исследовать эти предельные возможности, рассмотрим уже встречавшийся специальный случай, когда Он включает постоянный вход, а также охватывает возрастающие и убывающие входные последовательности.

Подставляя в (3.2) и деля полученное выражение на находим

Устремим в правой части. Вспоминая спектральное разложение в (3.6), получаем

Если , то это выражение в пределе обращается в нуль. При таком условии ряды во втором слагаемом (3.15) сходятся к и, следовательно,

Другое возможное, но эквивалентное выражение следует из (3.8):

Таким образом, если , то ожидаемые величины запасов будут расти по закону геометрической прогрессии вместе с входом. Предельные относительные величины запасов равны

причем коэффициент пропорциональности определяется требованием Заметим, что предельная структура, определяемая (3.18), не зависит или от R. Если х очень велико, то

Это означает, что вектор приема кадров преобладает над структурой. имеет предел в единственном случае — когда что означает постоянный вход.

Предыдущий довод «не работает», если Для матрицы Р известно (см., например, работу Кокса и Миллера (1965, с. 120)), что

где знак равенства имеет место только тогда, когда все суммы элементов строк равны. Наибольшее собственное значение будет, таким образом, меньше единицы, если все суммы элементов строк матрицы Р не равны единице. Для открытой системы это невозможно, поэтому мы приходим к выводу, что Условие означает, что (3.18) всегда выполняется, если вход и, следовательно, общий размер увеличиваются, а также при сокращающемся входе, если сокращение не слишком быстрое. Для выяснения того, что происходит при вернемся к (3.8) и разделим обе его части на

Рассмотрим сначала случай, когда При каждое слагаемое первой суммы обращается в нуль, за исключением того, для которого так что эта часть даетп если мы обозначим собственные значения так, что наибольшее из них имеет индекс 1. Сумма в фигурных скобках равна

В пределе эта величина равна нулю, за исключением случая, когда тогда она равна

Вторая часть (3.19) дает, таким образом,

окончательно

Следовательно, запасы уменьшаются с несколько меньшей скоростью, чем вход.

Осталось рассмотреть случай, когда Первое слагаемое в правой части (3.19) не меняется, а второе принимает вид

Геометрические ряды сходятся при за исключением ситуации, когда . В этом случае сумма равна . Следовательно,

Предельная форма q (Т) такая же, что и при и при . Мы уже видели, что элементы сопутствующих матриц можно записать в виде , где являются соответственно левым и правым собственными векторами, связанными с 0,. Подставляя в (3.20) и (3.21), получаем для обоих случаев

Таким образом, мы имеем две различные формы установившейся структуры, соответствующие

Для иллюстрации этих результатов возьмем иерархическую систему без понижения в должности и с повышением в должности на один последующий уровень, для чего мы уже нашли сопутствующие матрицы (3.10). Собственные значения равны: , и далее мы предполагаем, что Тогда из (3.17) и (3.10) следует, что для фиксированного входа

где первое произведение по определению равно 1 для Эта формула показывает, как величины запасов зависят от величин вероятностей оставаться на данных уровнях и, в частности, от их близости к единице. Если то (3.17) дает

    (3.24)

при условии, что . В противном случае обращение к (3.20) или к (3.21) и (3.8) приводит к

где в произведении в знаменателе нет множителей с , для которых Сравнение с (3.23) показывает, что в знаменателе 1 заменена на 0 и что один множитель опущен.

Применение к когорте

Если положить для всех Т в модели с заданным входом, то получаются другие соотношения, которые описывают движение первоначальных членов в системе. Величины запасов в момент Т теперь следующие:

и очевидно, что они стремятся к нулю, когда Т стремится к бесконечности. Значение этого частного случая заключается в той информации, которую он дает относительно характера карьеры каждого члена когорты.

Когорта — это группа лиц, пришедших в данную организацию одновременно. Предположим, что размер группы равен N и что все ее члены находятся на уровне i. (Здесь, как и далее в этой главе, употребляется слово «уровень» вместо слова «группа», потому что основное приложение этот пример имеет в планировании кадров, но результаты находят более широкое применение.) В данном случае

где — вектор, у которого компонента равна единице, а остальные компоненты равны нулю. Ожидаемое распределение когорты по уровням на различных этапах ее истории можно получить из (3.26). Одной из переменных, представляющих практический интерес, является математическое ожидание части первоначальной когорты, которая остается в организации в течение различных промежутков времени. Такую переменную легко получить суммированием элементов n (Т) и делением на N. Этот подход был развит Янгом (1971) и будет рассмотрен в гл. 7 наряду с другими вопросами, касающимися продолжительности пребывания в системе. Но теперь мы займемся определением, где это возможно, средних значений и дисперсий различных величин, характеризующих развитие карьеры.

Наш анализ основан на теории поглощающих цепей Маркова, обстоятельное изложение которой можно найти в работе Кемени и Снелла (1976). Пусть уровень состоит из тех, кто ушел из системы, его можно рассматривать как единственное поглощающее состояние,

а остальные состояния — как переходные. Стохастическая переходная матрица для такой цепи имеет расширенную форму:

где Оказывается, что большое количество информации об истории той или иной карьеры можно получить из так называемой фундаментальной матрицы . Эта матрица вновь встретится в гл. 6, где она будет использована для того, чтобы определить, будет ли сохраняться структура данного уровня.

Рассмотрим сначала индивидуума, попавшего в систему на уровень i и зададимся вопросом: какова средняя продолжительность времени, которое он проведет на уровне . Чтобы ответить на этот вопрос, введем случайные переменные определенные следующим образом: если попавший на уровень i спустя единиц времени находится на уровне

в противном случае . Общее время, проведенное этим индивидуумом на уровне равно:

(Заметим, что , если в другом случае.) Сначала найдем математическое ожидание

Из общей теории марковских цепей хорошо известно, что

где элемент матрицы . Следовательно,

и далее

Если мы введем матрицу , то (3.28) дает

Этот результат устанавливает соотношение между фундаментальной матрицей и ожидаемой продолжительностью пребывания или службы

по уровням. Математическое ожидание продолжительности пребывания попавшего на уровень i во всей системе равно:

где — сумма элементов строки матрицы Заметим, что все эти математические ожидания в равной мере относятся как к вновь вошедшему в организацию, так и к лицу, только что повышенному в должности. Этот факт является немедленным следствием марковского свойства, которое относится ко всем попавшим на один и тот же уровень, независимо от их прошлого. Мы можем сомневаться в правильности этого предположения с точки зрения практики, но в организациях, где все или почти все принятые на работу находятся вначале на нижнем уровне иерархии, такой трудности не возникает.

Стоун (1972) рассмотрел приложение этих результатов к одной кадровой системе и выполнил расчеты для пятиуровневой матрицы, приведенной выше. Для этой матрицы находим:

Анализ сумм элементов строк показывает, как ожидаемый срок службы возрастает по мере продвижения вверх по уровням иерархии. Этот результат отражает уменьшение увольнений с возрастанием старшинства: если новичок «выжил» в условиях высоких темпов увольнения на нижних уровнях, то перспективы его длительного пребывания улучшаются.

Отдельные элементы в строках матрицы показывают, как ожидаемая величина общего срока службы разделяется по уровням. Таким образом, ожидается, что индивидуум, поступивший в организацию на уровень 1, проведет на этом уровне 2,86 года, 1,9 года — на уровне 2 и т. д. При перемещении на уровень 2 картина меняется, отражая тот факт, что индивидуум уже прошел через уровень 1. Диагональные элементы являются математическими ожиданиями времени пребывания на каждом уровне с момента попадания на этот уровень.

При интерпретации внедиагональных элементов надо проявлять осторожность. Например, 2,29 года есть ожидаемое время, которое поступивший на уровень 1 проработает на уровне 5. Большинство из всех поступивших на уровень 1 никогда не достигнет уровня 5 и ничего не внесет в среднее время пребывания на этом уровне. К тому времени, когда удачливый новичок достигнет порога уровня 5, ожидаемое время его службы возрастет до 20 лет. Таким образом, множество элементов строки можно рассматривать как типовую ожидаемую карьеру для поступившего на этот уровень, но, как и все средние значения, эти величины претерпевают существенные вариации.

Мы уже отмечали возможность того, что поступивший на нижний уровень достигнет вершины иерархии. Вероятности этого события можно рассчитать по фундаментальной матрице. Пусть обозначает вероятность того, что поступивший на уровень i проведет некоторое время на уровне j прежде, чем покинет организацию. (Вообще говоря, индивидуум может пройти через уровень более одного раза; в простой иерархии с одноступенчатым повышением в должности он может пройти через этот уровень не более одного раза.) Если есть элемент матрицы , то очевидно, что

Таким образом, чтобы получить множество вероятностей мы должны разделить элементы каждого столбца матрицы на диагональный элемент этого столбца. Например,

Диагональные элементы, очевидно, будут единичными. Наддиагональные элементы дают вероятность достижения уровня, соответствующего номеру данного столбца, при условии, что мы попали на уровень, соответствующий номеру строки. Таким образом, например, поступив на уровень 2, индивидуум с вероятностью 0,5 достигнет следующего уровня, с вероятностью 0,3 повысится в должности на два уровня и с вероятностью 0,2 достигнет вершины иерархии.

В случае матрицы, подобной только что рассмотренной, в которой Р имеет ненулевые элементы только на диагонали и выше ее, можно найти алгебраически (см. уравнение (6.8)). Легко находим

Этот результат можно было бы вывести из того, что есть вероятность повышения в должности с уровня , если индивидуум не останется на этом уровне. Эти формулы можно, конечно, использовать и для того, чтобы получить переходную матрицу для планирования необходимых переходов по службе, характеризующихся вероятностями и средним временем переходов

Другой набор показателей, который можно использовать для описания развития карьеры, есть вероятности ухода с конкретных уровней. Пусть вероятность того, что индивидуум, находящийся на уровне уйдет из организации с уровня Метод заключается в том, чтобы ввести одно из поглощающих состояний, соответствующие уходящим

с каждого уровня, так чтобы переходная матрица была следующей:

где Q имеет диагональные элементы, равные элементам вектора , а остальные элементы нулевые. Это упрощает проведение анализа, подобного изложенному выше, применительно к работникам, ограничивающим свою карьеру заданным уровнем.

Рассматриваемый метод обычно применяют для нахождения ожидаемой длительности пребывания в каждой группе его легко распространить на определение их дисперсий. Действительно,

Если , то

В противном случае

Если , то мы просто меняем местами и s. Подставляя в (3.33) имеем

Следовательно,

Особый интерес представляет специальный случай, когда и

Этот результат показывает, в частности, что длительности пребывания на каждом уровне будут иметь большой разброс. Если довольно велико, то стандартное отклонение продолжительности пребывания будет почти таким же большим, как и математическое ожидание.

Дисперсии и ковариации размеров групп

Теорию замкнутых систем, изложенную в гл. 2, можно обобщить на открытые системы. Для открытой системы (2.10) должно быть заменено на

где — число вновь поступивших в организацию на уровень в момент Операция взятия математических ожиданий от обеих частей этого уравнения возвращает нас к (3.1). Если предположить, что входное воздействие стохастически не зависит от движения внутри системы, то

    (3.39)

Первое слагаемое в правой части (3.39), по существу, такое же, как в (2.11). Его оценку можно провести так же, как в гл. 2, без какой-либо модификации. Все, что мы должны сделать, чтобы результат (2.15) был применим к рассматриваемому случаю, это добавить в (3.39) в качестве последнего слагаемого ковариацию вновь пришедших. Таким образом, в матричных обозначениях имеем

где определены в гл. 2. Первые k элементов вектора являются средними чисел поступающих на каждый уровень в момент расположенными в порядке убывания номеров уровней; остальные элементов являются ковариациями этих чисел в алфавитном порядке. В наших примерах вход будет однородным по времени, так что мы не будем записывать аргумент а будем писать вместо . Тогда (3.40) дает

Обратная матрица для существует потому, что наибольшее собственное значение матрицы П меньше единицы. Если сейчас использовать более общий вид ошибки, рассмотренной в гл. 2, то окажется, что при соответствующих изменениях в П справедливо такое же уравнение.

Вид будет зависеть от стохастической природы входа и метода распределения по уровням. Проиллюстрируем это положение с помощью двух примеров, что приведены в начале раздела. Сначала предположим, что — последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин и что в момент Т доля идет на уровень . В этом случае первые элементов есть , где . Остальные элементов ковариации принимают вид

Второе предположение относительно распределения вновь принимаемых на работу заключается в том, что каждый прибывающий должен быть отнесен к уровню с вероятностью . В этом случае, как и ранее, k средних в векторе равны но ковариации теперь будут следующими:

Этот результат получается определением условных математических ожиданий при заданном R (Т) и последующим их усреднением по распределению R (Т). При любом предположении относительно распределения вновь прибывших по уровням величины вектора определяются непосредственно. Рассмотрим сначала предельное поведение системы, а некоторые примеры обсудим позже.

Если вход системы однороден по времени, то не зависит от Т. При таких обстоятельствах можно исследовать предельную форму вектора (Т) при Мы уже знаем, что предел существует для первых k элементов вектора, но можно показать, что этот результат справедлив и для всех остальных. Отсюда из (3.40) следует, что предельный вектор должен удовлетворять соотношению

или

Как только матрица вычислена, сразу можно сравнить воздействие различных типов входов. Если R (Т) — фиксированная величина R, то существенно упрощается.

Чтобы проиллюстрировать изложенное ранее, приведем расчеты для двух различных типов входа. В первом случае будем предполагать, что фиксировано и равно R независимо от Т, а во втором случае — что — последовательность независимых пуассоновских случайных величин с постоянным средним значением, равным R. Эти предположения отражают крайние степени изменчивости входа. Для иллюстративных целей будем предполагать, что каждый вновь принимаемый на работу распределяется на уровень с вероятностью Ковариация элементов получается из (3.42), где равна нулю для постоянного входа и равна R для пуассоновского входа. Расчеты в табл. 3.2 относятся к обсуждавшемуся ранее в этом разделе примеру, для которого ожидаемые размеры системы на различных уровнях приведены в табл. 3.1. Далее мы предполагаем, что первоначальный размер организации равен 590 и R = 60.

Для низших уровней иерархии приближение к равновесным значениям очень быстрое, а для наивысшего уровня — очень медленное. При входах обоих типов наблюдается значительная неопределенность в прогнозе размера на уровне 5 в отдаленном будущем. Различие между двумя типами входов сильнее всего проявляется на самых низких уровнях. До вход не оказывает никакого воздействия на верхний уровень, а далее оно едва заметно. На самом низком уровне пуассоновский

Таблица 3.2. Ковариационные матрицы численностей различных уровней иерархиииз примера, приведенного в разделе 3.2, при (а) постоянном и (б) пуассоновском входах, причем

(см. скан)

вход примерно вдвое увеличивает дисперсию по сравнению с фиксированным входом. Все ковариации либо равны нулю, либо отрицательны, но при пуассоновском входе они обращаются в нуль в пределе. Этот факт в сочетании с равенством предельных средних значений и дисперсий означает, что размеры для уровней распределены асимптотически подобно пуассоновским переменным. Поллард (1967) доказал, что это справедливо и для общего случая, когда вход состоит из последовательности независимых случайных пуассоновских величин.

Иной подход, опирающийся на производящие функции, был предложен Стаффом и Ваголкаром (1971), он приводит к тому же результату. В принципе этот подход можно применять для нахождения совместных распределений размеров на различных уровнях и их моментов, но на практике слишком большая сложность вычислений снижает значение этого метода. Стафф и Ваголкар получили несколько наглядных результатов для очень простых ситуаций, но, как правило, бывает достаточно определить моменты первого и второго порядков, и их более удобно получить методом Полларда. Исключение из этого замечания — случай, когда входы представляют собой последовательность независимых пуассоновских случайных величин. В этом случае, как отмечалось выше, совместное распределение является асимптотически пуассоновским. Мы проиллюстрируем метод производящих функций на примере вывода этого результата.

Пусть есть вероятность того, что лицо, принятое на работу в момент , находится в момент Т на уровне Будем считать, что все покинувшие систему находятся на уровне . Пусть число принятых в момент равно . Тогда при заданном X все принятые в момент будут распределены полиномиально в момент Т по уровням в соответствии с вероятностями Производящая функция совместных вероятностей этих чисел будет иметь вид

Безусловная производящая функция является математическим ожиданием (3.44) по отношению к распределению X. Если X имеет производящую функцию , то искомая производящая функция равна:

Общая численность по уровням складывается из сохранившейся части первоначального состава сотрудников и из когорт, принятых в моменты Так как все R (Т) являются независимыми, общее число уцелевших из этих когорт, не считая уже работавших, получается в виде произведения функций (3.45) по , причем для всех Это дает производящую функцию

для распределения При больших Т величиной можно пренебречь и тогда (3.46) можно рассматривать как производящую функцию для n (Т). Это равносильно тому, что Т должно быть настолько велико, чтобы почти все первоначальные члены системы смогли ее покинуть.

Если вход состоит из последовательности независимых пуассоновских случайных величин со средним значением R, то

Следовательно,

Это показывает, что размеры по уровням, за исключением оставшихся от первоначального штата, распределены независимо друг от друга с математическим ожиданием уровня, равным:

Вероятности получаются из соотношения

которое приводит к распределению достигнутого уровня сотрудника, принятого на работу в момент . В пределе при вектор математических ожиданий стремится к

что совпадает с результатом, полученным ранее для общего случая. Теперь видно, что для пуассоновского входа эти величины полностью определяют распределение.

Метод отклонения показывает, что скорость стремления к асимптотическому распределению определяется тем, как долго первоначальные сотрудники остаются в организации. Легко заметить, что результат обобщается на случай, когда среднее значение входа зависит от времени, и это позволяет нам включать тренды или колебания во входную последовательность. Строго этот вопрос рассмотрен у Мелмана (1977а).

Пример с периодической переходной матрицей

До сих пор мы предполагали, что переходные вероятности и распределение принимаемых на работу не зависят от времени. Но и без этого предположения (3.16) справедливо, хотя дальнейший анализ становится более сложным. В частности, могут существовать несколько предельных структур, или вовсе не существовать ни одной. Интересный

пример неоднородного процесса привел Гани в исследовании приема студентов в университет штата Мичиган. В этом университете академический год состоял из трех семестров, и переходы происходили в конце каждого семестра. Необоснованно предполагать, что вероятности перехода и вероятности распределения одинаковы для всех семестров данного года. Однако можно считать эти вероятности одинаковыми, например, для первого семестра данного и предыдущего годов. Таким образом, потребовалось считать функциями времени, причем удовлетворяющими соотношениям

и

Пусть относится к первому семестру первого академического года и

Тогда относятся к семестру любого года. В этих условиях структуру уровней можно рассчитать по следующим разностным уравнениям:

Эти уравнения связывают структуру данного семестра со структурой предыдущего. Для некоторых целей удобно связать структуры одинаковых семестров последовательных лет. Так, например, для первого семестра (3.50) дает

Аналогичные выражения можно получить для вторых и третьих семестров.

Предельное поведение системы можно исследовать с помощью методов из предыдущих разделов. Наибольший интерес представляет случай, когда R (Т) постоянно или стремится к некоторому пределу, скажем, R. Тогда предельная структура уровней в первом семестре дается соотношением

где R — предельное значение входа. Соответствующие выражения для второго и третьего семестров можно получить перестановкой индексов в (3.50) или повторив описанную выше процедуру.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление