Главная > Разное > Стохастические модели социальных процессов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.5. МАРКОВСКИЕ МОДЕЛИ ВЗАИМОСВЯЗЕЙ

Базовая марковская модель, по существу, рассматривает поведение отдельной личности. Поведение всей генеральной совокупности затем выводится в предположении, что индивидуумы действуют независимо друг от друга. Именно это предположение позволило нам интерпретировать вероятности как ожидаемые доли. На практике индивидуумы взаимодействуют, наблюдая поведение друг друга и подвергаясь влиянию того, что они видят. Подозреваемое влияние групповых мнений на поведение голосующих при выборах является примером ситуации, в которой ощущаемое состояние всех может влиять на поведение каждого. Поведение при покупках, формирование моды и общепринятых точек зрения являются другими примерами аналогичного воздействия. Цель настоящего раздела — дать некоторое понимание широкого качественного влияние взаимодействия между индивидуумами.

Класс моделей, который мы собираемся описать, впервые был предложен, по-видимому, Матрасом (1967). Он предложил вероятности переходов между делать зависимыми от численности в группах в момент Т. Возможно, это не вполне логично с точки зрения социальной мобильности, но при изучении миграции легко себе представить, что популярность некоторого региона может зависеть от величины его населения. Термин «модель взаимодействия» был предложен Конлиском (1976 и 1978), который и разработал в основном существующую теорию. В нашем изложении мы будем следовать главным образом этому автору.

Чтобы выделить класс интересующих нас моделей, надо начать с -вектора, определяющего численность данной группы в момент Т. Затем мы предположим, что элементы переходной матрицы для интервала зависят от наблюдаемой величины Тогда математическое ожидание при данном можно записать в виде

Следовательно, безусловное математическое ожидание равно:

Математическое ожидание правой части (2.57) включает нелинейную функцию от и поэтому его определение — непростое дело. Некоторого успеха можно было бы достичь, решая задачу и «в лоб», но мы воспользуемся детерминированной аппроксимацией модели Конлиска (1976). Она сводится к замене на Следовательно, в качестве аппроксимации (2.57) имеем

Другое возможное оправдание этого шага состоит в предположении, что индивидуумы подвержены влиянию не действительной численности, а ее математического ожидания. Это не реалистично, но при больших генеральных совокупностях можно ожидать, что погрешность аппроксимации не велика.

Вернемся теперь к математическим ожиданиям отношений, полагая и выполним анализ уравнения (2.58) в форме

Первым обстоятельством, которое необходимо отметить для этого процесса, является то, что он представляет собой марковскую цепь, зависящую от времени. Это позволяет сделать вывод о том, например, что по истечении достаточно большого промежутка времени структура не будет зависеть от если только все матрицы удовлетворяют соответствующим условиям. Кроме того, учитывая первое обстоятельство, мало что можно получить, если рассматривать соотношение (2.59).

Ясно, что функции должны удовлетворять некоторым условиям, которые обеспечивают стохастичность матрицы Р. Если условия удовлетворяются, то рекуррентные вычисления ожидаемой структуры не представляют никаких трудностей. Мы хотели бы пойти дальше и определить, какого рода поведение возможно в рамках (2.59). В частности, полезно было бы знать, чем отличается модель взаимодействия от простой марковской цепи, особенно при

Один простой результат, вытекающий из (2.59), состоит в том, что если непрерывная однозначная функция, то существует по крайней мере одна стационарная структура, удовлетворяющая уравнению

Это следует из теоремы Брауера о «неподвижной точке»: при отображении пространства в себя существует, по крайней мере, одна точка, остающаяся неизменной. Конечно, таких точек может быть и много, и теорема ничего не говорит об их устойчивости. Устойчивое равновесие такое, что если структура, соответствующая ему, подвергается небольшому возмущению, то система в конце концов возвращается к ней же. В противном случае структура неустойчивая. Для регулярной марковской цепи существует одно устойчивое равновесие, но в моделях взаимодействия

при изменяющихся численностях могут существовать оба типа равновесия — устойчивое и неустойчивое.

Полный анализ систем, описываемых уравнением (2.59), весьма сложен, и здесь еще многое предстоит сделать. Однако имеются некоторые представляющие интерес специальные случаи, для которых возможен полный анализ. Мы приведем три примера, основывающихся на работе Конлиска, с целью изучения основных качественных характеристик систем взаимодействия.

Модели притяжения и отталкивания

Рассмотрим простейший случай. Он предполагает, что привлекательность состояния линейно зависит от его текущего размера, т.е. чем больше численность в данном состоянии, тем больше вероятность перехода к этому состоянию от какого-либо другого состояния. Модель имеет вид

Параметры должны быть ограничены так, чтобы вероятности были не отрицательными, и суммы элементов по строкам должны быть равны единицам при любом векторе Из условия положительности следует, что

Сумма элементов строки равна:

С помощью этого уравнения можно исключить из модели и представить условие положительности в виде

Если (т.е. , то мы имеем модель, в которой притяжение группы возрастает с ростом ее размера. Если , то без нарушения (2.63) размер оказывает отпугивающее действие.

В специальном случае, когда модель сводится к марковской цепи и, следовательно, с ней можно работать, пользуясь методами, изложенными в предыдущих разделах. Чтобы рассмотреть эту ситуацию, вернемся к (2.59), которое принимает вид

где . Система ведет себя так, как если бы она имела постоянную переходную матрицу

В общем случае имеем

где . Для того чтобы без учета математических сложностей изучить характеристики такой системы, обсудим сначала случай Здесь достаточно рассмотреть только так как Из (2.65) имеем

О поведении системы можно судить по графику зависимости от представленному на рис. 2.1. Очевидно, что когда то а когда то Благодаря ограничению на А всякая кривая лежит в единичном квадрате. Любые стационарные значения должны встречаться в точках, где кривая, заданная уравнением (2.66), пересекает диагональ На рисунке представлен случай для матрицы А вида

Переходное поведение системы можно вывести из графика следующим образом. Имея мы можем по графику найти (1). Затем, полагая и пользуясь графиком, находим и т.д. Эту последовательность можно продолжить как ряд шагов, проиллюстрированных на данном рисунке; стрелки указывают направление движения.

Ясно, что эта последовательность всегда будет сходиться к точке для любой исходной структуры. Если или то стационарной точкой будет соответственно (0, 0) или (1, 1). Если при, например, то , и система выходит на предельный цикл при осциллирующем между

В случае марковской цепи аналогичный анализ сделал бы кривую на рис. 2.1 прямой линией. Кроме того, никакой другой существенной разницы между моделями нет. Вообще, обе модели стремятся к единственному положению равновесия, не зависящему от начальной структуры.

Те же выводы справедливы и для больших значений k. Конлиск (1976) доказал, что существует единственный стационарный вектор , и позже он показал (Конлиск, 1978), что система сходится к при любой начальной точке при условии, что (для всех i) и что матрица А является примитивной для некоторого Т). Мы знаем, что сходимость также имеет место при отрицательных b, если но общего доказательства для общего случая пока не существует. Положительные b возникают в версии «притяжение» данной модели. Стационарную структуру можно получить следующим образом. Полагая в , получаем

что удовлетворяется, если

Любой вектор , удовлетворяющий уравнению для некоторых 0, будет удовлетворять также и (2.67). Такой вектор существует, поскольку 0 является собственным значением матрицы А. Единственный вектор, имеющий все положительные компоненты и есть тот вектор, который связан с максимальным собственным значением матрицы А.

Рис. 2.1. График иллюстрирующий приближение устойчивого состояния при

Следовательно, единственным решением (2.67) является левый собственный вектор матрицы А, соответствующий максимальному значению, взятому в таком масштабе, чтобы сумма его компонентов была равна единице.

Модель неудовлетворенности

Предыдущая модель предполагает, что индивидуумы знают (или могут оценить) численности групп, включая их собственную. Легко представить себе обстоятельства, при которых каждый индивидуум реагирует только на размер своей собственной группы. Предположим,

например, что мы рассматриваем распределение заказчиков, обращающихся к поставщикам некоторого товара или услуг (гаражи, зубные врачи, розничные магазины и т.п.). Если число заказчиков, пользующихся услугами данного поставщика, возрастает, то за некоторый короткий промежуток времени качество обслуживания, вероятно, будет падать, поскольку фиксированные средства обслуживания должны обеспечивать большее число заказчиков. Более плохое обслуживание, по-видимому, должно увеличить вероятность того, что заказчик будет искать другого поставщика. В других приложениях увеличение размеров системы может иметь обратный эффект. Более крупный клуб предложит более широкий диапазон возможностей своим членам и тем самым заставит их меньше обращаться куда-нибудь еще. Оба случая охватываются модификацией линейной модели (2.61), в которой только размер собственной группы индивидуума влияет на вероятность перемещения. Мы сделаем это, выбирая

Условие положительности есть , а требование равенства суммы элементов строк единице дает

где — символ Кронекера. Отрицательные означают, что чем больше группа, тем более вероятно, что индивидуум ее покинет; значения таким образом, являются индикатором непривлекательности размера.

и любое стационарное значение будет удовлетворять соотношению

Легко показать, что это уравнение имеет только один корень на интервале (0,1), а график, подобный рис. 2.1, покажет, что последовательность сходится к предельному значению из любой начальной точки. Чтобы проиллюстрировать эту модель, положим

тогда

где . Равновесное значение . Анализ графика зависимости от показывает, что если то что и следовало ожидать на основании отпугивающего действия отрицательного После первого шага всегда будет лежать внутри интервала (0,40, 0,83).

Для произвольного k Конлиску (1976) удалось показать, что существует единственное положение равновесия, хотя доказательство того, что оно достигается из любой начальной точки, у него отсутствует. Он также дает метод отыскания этого положения равновесия. Чтобы найти его, мы сначала образуем матрицу которая получается делением элементов матрицы А на сумму элементов соответствующих строк; будет стохастической матрицей. Если она регулярна, то она имеет стационарную структуру, которую мы обозначим Тогда искомый равновесный вектор равен:

где есть единственная положительная константа, необходимая для того, чтобы Можно проверить, что при эта формула дает тот же ответ, что и прямой метод в приведенном выше примере. В общем случае должно быть получено численными методами.

Модель голосования

При исследовании двух приведенных моделей взаимодействия нам не удалось обнаружить их существенного отличия от простой марковской цепи. В обоих случаях система, как правило, стремилась к установившемуся состоянию, не зависящему от начальной структуры. Вычисление траектории, ведущей к положению равновесия, было несколько более сложным, но особых различий не было. Теперь перейдем к рассмотрению модели голосования, также предложенной Конлиском (1976), которая обладает совершенно новыми характеристиками.

Идею можно пояснить на примере системы, в которой принято последовательное голосование и где в каждом отдельном случае от избирателя требуется голосовать за одного из k кандидатов или предложений. После каждого тура голосования с учетом того, какую поддержку имеет каждый кандидат после него, избиратели решают, как им голосовать в следующем туре. В соответствии с моделью это происходит в два этапа. На первом этапе избиратель решает, пересматривать ли ему свою позицию. Второй этап появляется, если принято решение об изменении позиции. Тогда избиратель должен решить, который из кандидатов получит его голос в следующем туре. Главный вопрос теперь — сходится ли процедура голосования, и если сходится, то каково будет окончательное положение кандидатов. В модели Конлиска соответствующие вероятности на этих двух этапах следующие: (индивидуум в туре решает не пересматривать своего решения

(индивидуум в туре i голосует за решение пересмотрено)

Таким образом, данный индивидуум подвержен влиянию существующей поддержки его кандидата при решении пересматривать свою прежнюю позицию; решив изменить позицию, он отдает предпочтение тому кандидату, который уже получил достаточную поддержку. Для такой системы вероятности перехода следующие:

Для такой системы очень трудно выполнить полный анализ, но многое можно уяснить при этом случае имеем

Следовательно, точка равновесия удовлетворяет уравнению

Легко проверить, что являются корнями этого уравнения и, следовательно, третий корень равен:

Рассмотрим два случая:

б) в противном случае внутренней стационарной точки не существует.

Для случая (а) график представлен в левой части рис. 2.2. Из этого графика ясно, что внутреннее равновесие неустойчиво. Если , то структура будет сходиться к одному или другому экстремуму. В отличие от рассмотренных ранее моделей предельное

Рис. 2.2. Поведение модели голосования при

состояние здесь определяется начальным состоянием, и один из кандидатов получает все голоса. Окончательный результат зависит от того, превысит ли число голосов, поданных за кандидата 1, критическое значение, определенное (2.77). Если, например, то критическое значение равно Таким образом, кандидату 1 необходимо в первом туре набрать, по крайней мере, две трети голосов, чтобы стать потенциальным победителем. Система как бы имеет предубеждение против него в том смысле, что первоначальные сторонники кандидата 2 являются более преданными (т. е. они имеют большее Р). В случае (б) кривая примет одну из двух форм, показанных в правой части рис. 2.2. Сплошная кривая возникает, если и в этом случае кандидат 1 всегда выиграет, если он получает, по крайней мере, один голос в первом туре. Если имеет место пунктирная кривая, и кандидат 2 всегда выигрывает. Случай (б) невозможен, если

Конлиском (1976) был также пролит некоторый свет на случай, когда хотя ситуация в целом остается неясной. Предположим, мы обозначили состояния так, что Тогда Конлиск показал, что все структуры ) являются стационарными ( — вектор с t-й компонентой, равной 1, остальные равны 0). Далее, является локально устойчивой, если это означает, в частности, что всегда устойчиво. Если это было бы единственным устойчивым равновесием (как в случае ), то кандидат 1 в конечном счете получил бы все голоса, если только Здесь дается не полный обзор, однако он показывает возможность сходимости к экстремальной точке. Открытым остался вопрос о существовании устойчивых внутренних точек равновесия, хотя для случая как мы знаем, внутренних точек равновесия не может быть.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление