Главная > Разное > Стохастические модели социальных процессов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.4. НЕКОТОРЫЕ ОБОБЩЕНИЯ МАРКОВСКОЙ МОДЕЛИ

Модели, зависящие от времени

В этом и следующем разделах изучается вопрос об ослаблении влияния некоторых из тех предположений, от которых зависела предыдущая модель. Первое из таких предположений состоит в том, что вероятности перехода однородны по времени. Данные Роговой наводят на мысль о том, что это предположение для некоторых сообществ не лишено оснований, и обобщение его весьма просто.

Предположим, что переходная матрица для поколения Т есть Равенство (2.2) остается в силе, если Р заменить на . Решая это уравнение рекурсивно, получаем вместо (2.3)

Таким образом можно исследовать действие различных изменений переходной матрицы. Вообще говоря, в этом случае не будет равновесной структуры групп, и усложнение модели затруднит выбор мер мобильности.

Однако при таком обобщении одно свойство простой марковской цепи сохраняется. По мере возрастания Т влияние исходной структуры на уменьшается и в пределе исчезает. В основе этого явления лежит общий результат, полученный относительно произведения положительных матриц, который состоит в том, что

представляет собой матрицу с тождественно равными строками. Наиболее общие условия, при которых этот результат имеет место, описаны Хаджналом (1976), в его же работе есть ссылка на более раннее исследование. Результат имеет место, в частности, если элементы всех переходных матриц строго положительны. Следует отметить, что если какой-либо член последовательности имеет одинаковые строки, то влияние и всех предшествующих членов последовательности на Р (Т) пропадает.

Особый тип временной зависимости был представлен Прайсом (1955а). Он предположил, что расхождение между структурой групп отцов и сыновей, проявляющееся в табл. 2.2, может быть обусловлено изменением в определениях этих групп. Предположим, что в прошлом процесс был однороден во времени и достигал равновесной структуры, как это наблюдалось бы для отцов. Затем предполагается, что изменения в следующем поколении происходят по двум направлениям. Первым является изменение «соответствия» группы сына группе отца, управляемое однородной по времени матрицей Р; второе — изменение собственно группы, вызванное отличием в системе классификации. Если второе преобразование имеет матрицу ЩТ), то наблюдаемая переходная матрица будет и если можно было бы оценить по переписи населения или по другой информации, то можно было бы в свою очередь оценить Р и таким образом предсказать развитие процесса. Прайс (1955а) показал, что можно построить такую матрицу которая учитывала бы наблюдаемую разницу в распределениях групп отцов и сыновей по данным Гласса и Холла. Вскоре будет показано, что кажущаяся зависимость переходной матрицы от времени может быть обусловлена разнородностью населения или немарковским характером переходов. Иллюстрацию этой зависимости получил Ходж (1966), который рассмотрел приведенную в этом разделе модель, зависящую от времени, исследуя переходную матрицу за -шагов.

Модель с зависимым от группы коэффициентом рождаемости

Самым сильным и неестественным ограничением является то, что каждый отец имеет строго одного сына. Мы воспользовались весьма грубым аргументом, допустив, что наша модель будет приемлемой аппроксимацией, если каждый отец имеет в среднем одного сына. Здесь излагается теория, необходимая для того, чтобы поставить это положение на прочную основу.

Предположим, что распределение числа сыновей, родившихся у члена группы, равно и будем считать, что эти

вероятности не зависят от времени. Зависимость распределения от позволяет нам ввести коэффициент рождаемости, зависящий от группы. Предположим также, что размеры семей не связаны между собой. Пусть среднее число потомков мужского пола в группе обозначено через V]. Для этой модели размер генеральной совокупности не будет оставаться неизменным от поколения к поколению, поэтому мы должны пользоваться понятием численности групп вместо пропорций. Используя простые соотношения между условными вероятностями и условными математическими ожиданиями, получаем

где — начальная численность в группе t. Это уравнение позволяет получить ожидаемый размер группы таким же образом, как получаются вероятности из уравнения (2.1). Для того чтобы выполнить сравнение с простейшей моделью, необходимо вернуться к пропорциям, записав

Если подходить строго, то не совсем правильно пользоваться этим обозначением, потому что отношение математических ожиданий случайных величин, вообще говоря, не равно математическому ожиданию отношения. Однако для последующего эвристического рассуждения это различие не важно, и мы будем пользоваться определенной выше величиной как математическим ожиданием отношения.

Если обе части (2.36) разделить на

и воспользоваться тем, что

то получим следующее выражение:

где

Это уравнение было найдено Матрасом (1960b). Если группы имеют одинаковый коэффициент рождаемости, то не зависит от i и (2.37) сводится к (2.1). Следовательно, можно сделать вывод, что для математических ожиданий теория, изложенная в начале этого раздела, остается справедливой и тогда, когда каждая отдельная семейная линия заменяется более реальным ветвящимся процессом.

Влияние зависимого от группы Коэффициента рождаемости легче всего проследить, если записать в следующей форме:

Рассмотрим сначала совершенно мобильное сообщество, в котором . В этом случае (2.38) дает

Это означает, что социальная структура совершенно мобильного сообщества не подвержена влиянию зависимого от группы коэффициента рождаемости. Этот вывод интуитивно ясен. И наоборот, коэффициент рождаемости имеет решающее значение в неподвижном обществе. В этом случае при при Из (2.36) находим, что

Соответствующее выражение для имеет вид

Из этого соотношения следует, что группа с наибольшим коэффициентом рождаемости будет, очевидно, преобладать в данной генеральной совокупности. В пределе при Т, стремящемся к бесконечности, будем иметь если относится к группе с наивысшим коэффициентом рождаемости; во всех остальных случаях Для промежуточного между двумя рассмотренными крайними уровнями мобильности (от совершенно мобильного до неподвижного) следует, вероятно, ожидать, что группы с высоким коэффициентом рождаемости будут иметь со временем тенденцию к увеличению своих размеров. Некоторые сведения относительно того, до какой степени тенденция к росту будет возможной, получают из (2.38). Правая часть этого равенства является взвешенным средним вероятностей с положительными весами. Следовательно,

для всех Т. Таким образом, как бы сильно не различались группы между собой по коэффициенту рождаемости, структура групп ограничена неравенствами (2.40). Например, по данным табл. 2.1 ожидаемая доля группы 5 (квалифицированные работники физического труда и простого умственного) не может упасть ниже 0,140 или превысить 0,473 до тех пор, пока модель остается справедливой.

Изложенная выше теория, очевидно, может быть развита дальше. Матричные методы применялись в демографии в течение многих лет. Матрас (1967) указал, что эти методы можно легко приспособить к изучению изменений социальных групп, а также изменений возрастной структуры населения.

Неоднородность переходных вероятностей

Марковская модель мобильности дает вероятностное описание развития отдельной семейной линии. Если все семейные линии имеют одинаковые переходные вероятности, то эта теория будет описывать агрегированное поведение общества, как это мы уже отмечали, когда анализировали эмпирические данные о мобильности. Однако, несмотря на наши скромные успехи в уточнении данной модели, представляется маловероятным, чтобы все семейные линии имели одну и ту же переходную матрицу. Следовательно, интересно посмотреть, какое влияние на агрегированное поведение системы оказало бы различие переходных матриц. Такая же проблема возникает при изучении зависимости между поколениями, и именно этому вопросу посвящено большинство работ. Фундаментальной в этом отношении является работа Мак-Фарланда (1970), за которой последовало количественное изучение влияния неоднородности на предельную структуру, выполненное Моррисоном и его коллегами (1971).

Одна из форм, в которой проявляется влияние неоднородности, заключается в структуре переходной матрицы за Т шагов. В однородной марковской генеральной совокупности это будет степень Т переходной матрицы за 1 шаг. Изучение причин отмеченных отклонений будет предметом последующего анализа.

Предположим, что доля членов группы i в нулевой момент времени перемещается в соответствии с переходной матрицей Тогда ожидаемая доля переходящих в группу от общей численности группы i за время от 0 до 1 равна:

    (2.41а)

В матричной форме это можно записать как

    (2.416)

где — квадратная диагональная матрица с элементами на главной диагонали. После Т шагов члены группы i, имеющие переходную матрицу будут перемещены в соответствии с матрицей и, следовательно, общая переходная матрица для Т-шагового перехода будет

Эта матрица стремится к некоторому пределу при так как каждая из матриц также стремится к пределу. Но в отличие от отдельно взятой марковской цепи строки матрицы вообще говоря, не будут равными из-за неравных весов, введенных матрицами

Если бы можно было наблюдать только заданную переходную матрицу за один шаг, то марковская модель приводила бы нас к которая должна задаваться равенством

Теперь возникает вопрос: чем (2.43) отличается от (2.42)? Ответ в частных случаях можно найти численным методом. Возьмем простой пример и предположим, что принимает только два значения; тогда

Далее положим, что Получим

Переходные матрицы за 2 и 4 шага, рассчитанные по (2.42), для данного примера имеют следующий вид:

Для конкретной генеральной совокупности марковская модель недооценивает тех долей, которые останутся на том же уровне как после двух, так и после четырех временных интервалов. Справедливо ли это вообще или свойственно лишь приведенному примеру?

Покажем, что такая характеристика является типичной, но не универсальной, и попытаемся проанализировать некоторые особенности матриц вызывающие это явление.

Для простоты анализа положим для всех i; достаточно будет рассмотреть случай Сравним элементы (j, j) матриц (2.42) и (2.43). Из (2.42) следует

а из (2.43)

где обозначает элемент матрицы Таким образом, разность можно записать:

где ковариации вычисляются по отношению к распределению . Следовательно, условия, при которых диагональные элементы матрицы будут больше диагональных элементов матрицы связаны с корреляцией потоков в противоположных направлениях между каждой парой групп. Таким образом, если сравнительно большой поток из группы в группу I сопровождается большим потоком в обратном направлении для большинства пар групп, то наблюдаемое явление произойдет. Одна совокупность условий, при которых (2.46) определенно положительно, состоит в том, что матрицы симметричны, т. е. при к). Матрицы, обладающие этим свойством, называются дважды стохастическими, так как суммы элементов их строк, а также столбцов равны единицам. Предельные структуры для таких матриц имеют равные пропорции в каждой категории. Другой пример, который встречается в следующем разделе, относится к случаю, когда , где и — предельные вероятности, связанные с матрица Гласса и Холла вполне отвечает этому требованию.

Пример, в котором элементы общей пере ходной матрицы за 1 шаг не отличаются от элементов симметрической, а недиагональные элементы составляющих ее переходных матриц отличаются, имеет следующий вид:

при . В этом случае

Но

Даже при двух исходных матрицах данного примера, имеющих такие различные структуры, переходные матрицы за два шага отличаются не слишком сильно. Читателю будет трудно построить примеры, в которых имеет меньшие диагональные элементы, чем

Особенно большое внимание привлек частный случай модели, объединяющей совершенно различные переходные матрицы. Это так называемая

МС-модель, которая возникает при где I — единичная матрица, произвольная переходная матрица. Согласно этой модели некоторые члены популяции — «оседлые» — никогда не перемещаются, тогда как все остальные ее члены — «кочевники» — переходят так, как в обычной марковской модели. Вероятно, такой случай перемещений более правдоподобен, когда рассматривается профессиональная мобильность или миграция, а не изменения социальных групп; в гл. 5 мы встретимся с непрерывной по времени версией модели. Блюмен и др. (1955) воспользовались МС-моделью при анализе данных о текучести рабочей силы, а Винн и Салес (1973b) — для изучения данных о мобильности в Великобритании. Мак-Колл (1971) использовал ее в качестве модели динамики доходов.

Интуитивно чувствуется, что в модели можно ожидать большей группировки на главной диагонали Т-шаговой переходной матрицы, поскольку определенная часть каждой группы никогда «не двигается». Так или иначе, но именно здесь получен тот случай, который можно исследовать методом, разработанным Сингером и Шпилерманом и 1979). Они предложили определение группировки, математически трактуемое легче, чем то, которое подразумевается в приведенном выше анализе. Далее нас интересовало, превосходят или нет все диагональные элементы матрицы соответствующие элементы матрицы Сингер и Шпилерман (1977b и 1979) попытались установить, что распадение на группы имеет место всякий раз, когда т.е. неравенству должны удовлетворять не отдельные диагональные элементы, а их суммы. Это, очевидно, более слабое требование, так как неравенство для следов матриц может выполняться даже тогда, когда для отдельных элементов имеют место обратные неравенства. Так, в приведенном выше примере Это означает группировку в соответствии с определением Сингера и Шпилермана, мы же использовали этот пример только лишь для того, чтобы показать, что для второго диагонального элемента имеет место обратное неравенство. Тем не менее, если все диагональные элементы превосходят соответствующие диагональные элементы матрицы то неравенство для следов матриц будет выполняться, а знание условий, при которых оно выполняется, несомненно позволит глубже понять суть проявления группировки.

Ключевой момент применения неравенства следов матриц для группировки заключается в том, что след матрицы равен сумме степеней ее собственных значений. Этот факт позволяет нам трансформировать критерий группировки в некоторое утверждение относительно собственных значений. Чтобы показать возможности такого метода, рассмотрим специальный случай МС-модели, когда одна и та же часть, s, каждой группы находится в покое:

Отсюда собственные значения матрицы Р равны где собственные значения Следовательно

    (2.48)

Для МС-модели переходная матрица за Т шагов в действительности равна:

для нее

Неравенство для следов выполняется, если

Достаточное условие выполнения этого неравенства заключается в том, чтобы каждый член суммы был положительным. Если 0; положительное, действительное и не равно единице, то этот результат следует из неравенства Иенсена. Переходные матрицы с действительными положительными собственными значениями часто встречаются на практике, так что можно ожидать появления группировки, соответствующей МС-модели.

Неравенство для следов матриц может, конечно, выполняться, когда некоторые собственные значения отрицательные или мнимые. Сингер и Шпилерман и 1979) довольно подробно исследовали эту ситуацию. Им также удалось показать, что неравенство для следов может быть и обратным, как это имеет место в следующем примере. Предположим, что и пусть

Тогда для будет заниженное предсказание диагональных элементов.

Из проведенного исследования можно сделать вывод, что не существует простого и надежного способа диагностики совпадения матриц Избыток вероятности на диагонали матрицы определенно свидетельствует о возможной неоднородности генеральной совокупности. Однако позже мы увидим, что это не единственно возможное

объяснение, и противоречащие примеры предупреждают нас, что неоднородность может иметь место даже и в том случае, когда нет избытка на главной диагонали.

Модели накопленной инерции

Мы уже видели, как неоднородность генеральной совокупности могла бы объяснить появление на главной диагонали переходной матрицы за Т шагов элементов со значениями, большими, чем предсказывает теория Маркова. Это не единственный тип обобщения, способный вызывать такое явление. Одно из возможных объяснений дается моделью, первоначально разработанной Мак-Гиннисом (1968). Он предложил идею «накопленной инерции», описывающей ситуацию, когда вероятность изменения группы для индивидуума уменьшается с увеличением длительности его пребывания в данной группе. Эмпирическое свидетельство в поддержку такой гипотезы для случая мобильности внутри поколения дали Майерс и его коллеги (1967), Моррисон (1967) и Ланд (1969). Оно же имеет некоторое основание и для зависимости между поколениями. На первый взгляд это предположение нарушает марковское свойство, так как вероятность перехода теперь должна зависеть от предыстории и от текущего состояния. Эту трудность можно обойти, переопределив состояние способом, который широко применяется в теории стохастических процессов.

Вместо того, чтобы определять состояния марковской цепи через понятия групп (в частности, профессиональных), теперь они определяются не только через понятия группы, но и через длительность пребывания в данной группе. Длительность пребывания измеряется в единицах временного интервала между изменениями состояния, а члены данной группы подразделяются на подгруппы в соответствии с длительностью пребывания. Каждое состояние описывается парой чисел — группой и длительностью пребывания. Процесс, определенный на этом множестве состояний, является теперь марковской цепью, поскольку мы сделали длительность пребывания частью описания текущего состояния. Пока ничто не мешает неопределенно долгому пребыванию на данном уровне, что означает поэтому допущение о бесконечном числе состояний внутри каждой группы. Это выводит нас за рамки конечных марковских цепей, но, теоретически, это не представляет непреодолимых трудностей. На практике удобно работать с конечными марковскими цепями, имеющими весьма малое число состояний. Генри и его коллеги (1971) предложили одну модификацию модели Мак-Гинниса, с помощью которой достигается эта цель. Каждая группа разделена на подгруппы в зависимости от длительности пребывания, как и раньше, но теперь все подгруппы с длительностью пребывания выше некоторого выбранного уровня объединяются в одну подгруппу. Таким образом, категории длительности пребывания могут быть, например, один, два, три, четыре года и более четырех лет.

Переходная матрица для такой модифицированной модели может иметь следующий вид, если X обозначает ненулевые элементы:

В типовой строке мы имеем вероятности того, что индивидуум, который был в данной группе в течение некоторого времени, перейдет в другое состояние. Он либо останется в той же группе и перейдет в более высокую по длительности пребывания подгруппу, либо передвинется в самую низкую по длительности пребывания категорию другой группы. Исключение из этого характера поведения имеет место в последней по длительности пребывания категории каждой группы. В этом случае человек, остающийся в данной группе, остается и в той же самой категории и, таким образом, имеет место ненулевой элемент по диагонали. Возможны различные предположения относительно величины этих элементов. Они могут быть единицей, означающей, что лицо, достигшее этой длительности пребывания, остается на этом уровне и в дальнейшем; они могут быть нулями, если лицо, достигающее этого уровня, должно двигаться дальше; или они могут иметь промежуточные значения. Эта последняя возможность эквивалентна вероятности постоянного пребывания для всех продолжительностей пребывания за нижним пределом конечной категории. Постулат накопленной инерции Мак-Гинниса требует, чтобы наддиагональные элементы в каждой диагональной подматрице составляли неубывающую последовательность. Идея такого встраивания эффекта возрастания служебного положения в марковскую модель широко используется в планировании кадров с помощью расширенной версии модели, которая будет обсуждаться в гл. 3. Дальнейшее обсуждение этого факта см. в работе Бартоломью (1971).

Поведение модели накопленной инерции в течение длительного времени зависит от структуры расширенной переходной матрицы. Если в какой-либо группе возможно поглощение (т.е. если существует ненулевая вероятность того, что кто-то в некоторой группе никогда не передвинется), то окончательная структура будет зависеть от начальной

структуры. В таких случаях можно воспользоваться теорией поглощающих марковских цепей. В противном случае матрица является регулярной, и существует предельная структура, которая не зависит от начальной структуры.

Для того чтобы продемонстрировать, что накопленная инерция может дать диагональные элементы в переходной матрице за Т шагов, большие, чем предсказанные теорией Маркова, рассмотрим простой пример. В системе, состоящей из двух групп, члены каждой группы разделяются в зависимости от пребывания в группе больше или меньше одного года. Тогда в системе имеются следующие четыре состояния: состояние 1— группа 1, пребывание меньше года; состояние 2 — группа 1, пребывание больше 1 года; состояние 3— группа 2, пребывание меньше 1 года и состояние 4 — группа 2, пребывание больше 1 года. Предположим, что для перемещений в течение года переходная матрица имеет следующий вид:

Пунктирные линии определяют границы групп. Эта матрица имеет такую же форму, как и в общем случае, представленном выше, и вероятность пребывания в некоторой группе также возрастает при возрастании длительности пребывания. Предположим сначала, что в каждом состоянии имеются равные числа членов. Затем некто наблюдает переходы за один период времени и не обращает внимания на длительность пребывания, при этом он записывает одношаговую матрицу для этих двух случаев в виде

Тогда его оценка двухшаговой матрицы будет

Однако действительные переходы будут устанавливаться матрицей (2.52), для которой

Для того, кто не может различить категории продолжительности пребывания, наблюденная переходная матрица между группами за два шага будет

Сравнивая с (2.53), видим, что введение накопленной инерции привело к более высоким значениям диагональных элементов, что и должна была объяснить разработанная теория.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление