§ 6.15. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА РАМ

Пример 1. Рассчитать симметричную раму, являющуюся несущей конструкцией двухэтажного фабрично-заводского корпуса, на несимметричную нагрузку верхнего ригеля. Жесткости разных элементов рамы различны (рис. 6.76),

Рис. 6.76

Рис. 6.77

Решение. Основную систему получаем, разрезая ригели посредине (рис. 6.77).

Эпюры изгибающих моментов от действия единичных Неизвестных усилий изображены на рис. 6.78, а — е. Эпюра от нагрузки приведена на рис. 6.79; эта эпюра настолько проста, что нет надобности разбивать ее на симметричную и кососимметричную.

Благодаря удачному выбору основной системы ряд побочных перемещений обращается в нуль:

Поэтому система канонических уравнений, состоящая из шести уравнений, разделится на две системы;

(см. скан)

Рис. 6.78

а) первая система

б) вторая система:

Вычисляем перемещения (увеличенные в раз):

Для проверки подсчитанных перемещений строим суммарную эпюру моментов от одновременного действия всех единичных неизвестных (рис. 6.80).

Рис. 6.79

Рис. 6.80

Определяем выражение умножая эпюру на эпюру и выражение умножая эпюру на эпюру

Проверяем выполнение условия

или

Проверяем выполнение условия

или

Следовательно, перемещения подсчитаны правильно.

Подставляем в уравнения значения коэффициентов:

Не приводя здесь решения уравнений, дадим только результат:

Прикладываем полученные усилия к основной системе и вычисляем изгибающие моменты в ней от этих усилий и нагрузки:

Для вычисления изгибающих моментов можно применить и следующий прием. Умножим единичные эпюры (см. рис. 6.78) на соответствующие значения неизвестных. Так, все ординаты эпюры от (см. рис. 6.78, а) умножим на ординаты эпюры от (см. рис. 6.78, б) — на тогда получим эпюры, показанные на рис. 6.811. Сложим полученные эпюры и прибавим к ним

Рис. 6.81

эпюру от нагрузки (см. рис. 6.79). Суммарная эпюра и будет окончательной эпюрой изгибающих моментов для заданной статически неопределимой системы. Легко видеть, что моменты в узлах будут те же, какие были найдены выше:

Окончательная эпюра изгибающих моментов приведена на рис. 6.82,

Рис. 6.82

Рис. 6.83

Пример 2. Рассчитать симметричную двухпролетную раму, загруженную горизонтальной сосредоточенной силой (рис. 6.83).

Решение. Заданная рама трижды статически неопределима. Обращаем ее в статически определимую, изображенную на рис. 6.84.

Для того чтобы получить единичные эпюры только симметричными или кососимметричными, примем за неизвестные групповые силы:

две горизонтальные силы, расположенные кососимметрично;

вертикальная сила на средней опоре;

две горизонтальные силы, расположенные симметрично.

Единичные эпюры приведены на рис. 6.85, а, б, в.

Внешняя нагрузка для удобства вычислений также разбита на симметричную и кососимметричную (рис. 6.86); в сумме они дают заданную силу в

Для вычисления грузовых перемещений будем умножать эпюру от на эпюру, приведенную на рис. 6.86, б (от кососимметричной нагрузки), а эпюры от (как симметричные) на эпюру, изображенную на рис. 6.86, а.

Очевидно, что

Рис. 6.84

Рис. 6.85

Рис. 6.86

Поэтому канонические уравнения будут иметь следующий вид:

Вычисляем перемещения (увеличенные в раз):

После подстановки коэффициентов получим канонические уравнения:

Из этих уравнений получаем:

Находим изгибающие моменты:

Можно было так же, как и в предыдущем примере, помножить каждую единичную эпюру на соответствующее значение неизвестного, а затем полученные эпюры сложить и прибавить к ним эпюру от нагрузки.

Рис. 6.87

Окончательная эпюра изгибающих моментов приведена на рис. 6.87. Следует отметить, что решение данной задачи можно значительно упростить с помощью следующих соображений.

Если к заданной статически неопределимой системе вместо одной силы слева (см.рис. 6.83) приложить две симметрично расположенные силы, то такие силы никакого изгиба в раме не вызовут, так как в ней возникнут лишь продольные усилия 2. А так как заданная нагрузка может быть разложена на симметричную и кососимметричную, то окончательная эпюра моментов должна быть в точности такой же, как и от одной кососимметричной нагрузки. Следовательно, горизонтальные

тальиые составляющие опорных реакций крайних опор должны быть направлены в одиу сторону и равны между собой, а потому можно сразу сказать, что в чем мы убедились лишь после решения уравнений.

Рис. 6.88

Далее, симметричная составляющая нагрузки в действительной раме должна у узла 5 давать изгибающий момент, равный нулю, а между тем для статически определимой системы по рис. 6.86, а этот момент получился равным Следовательно, он должен компенсироваться изгибающим моментом от неизвестных сил. Из этих сил только дают одинаковые моменты справа и слева от узла 5 (рис. 6.86, б, в), поэтому именно от них моменты в узле 5 должны быть в сумме равны но так как , то в узле 5 момент только от одной силы должен быть равен . Поэтому

Таким образом, две неизвестные силы мы можем найти непосредственно, а потому нам нужно было решить в сущности только одно уравнение для которое требует вычисления лишь перемещений и А.

Из этого примера видно, что иногда довольно сложная рама может быть рассчитана чрезвычайно просто.

Пример 3. Рассчитать симметричную трехпролетную раму моста под шоссейную дорогу (рис. 6.88) на вертикальную равномерную загрузку первого и второго пролетов. Построить эпюры изгибающих моментов, поперечных и продольных сил.

Рис. 6.89

Решение. Основную статически определимую систему примем по рис. 6.89. Эпюры изгибающих моментов от единичных неизвестных усилий приведены на рис. 6.90, а - д. Эпюры от нагрузки, разделенной на симметричную и кососимметричную, приведены на рис. 6.91, а, б.

Из рассмотрения этих эпюр непосредственно видно, что

Поэтому система из пяти канонических уравнений (по числу неизвестных) разобьется на две системы: из двух и из трех уравнений.

В одну систему войдут только неизвестные с симметричными эпюрами:

В другую систему войдут только неизвестные с кососимметричными эпюрами:

(см. скан)

Рис. 6.90

(см. скан)

Рис. 6.91

Вычисляем перемещения (увеличенные в раз):

Подставив найденные значения коэффициентов в уравнения, получим:

После сокращения первого уравнения на 18, второго на 2, третьего на четвертого на 8/3 и пятого на 16 получим:

Решение уравнений дает

Умножив каждую единичную эпюру на соответствующее значение неизвестного и просуммировав их ординаты с добавлением ординат эпюр от нагрузки, получим окончательную эпюру изгибающих моментов (рис. 6.92).

Переходим теперь к построению эпюры поперечных сил. Вычисляем пользуясь указаниями § 6.7.

Поперечная сила на крайней левой опоре

Рис. 6.92

У правой опоры первого пролета ригеля (слева от узла 4)

У левой опоры второго пролета (справа от узла 4)

Продолжая вычисления, получим все данные для построения эпюры поперечных сил. Эта эпюра приведена на рис. 6.93, а. Пользуясь эпюрой поперечных сил, построим затем эпюру продольных сил (рис. 6.93, б).

Рис. 6.93

Из эпюр поперечных и продольных сил можно легко найти опорные реакции, На крайней левой опоре

Находим последовательно остальные реакции:

Правильность определения опорных реакций можем проверить исходя из того, что

В заключение рассмотрим еще один пример расчета сложной рамы с контролем перемещений с помощью суммарной эпюры и проверкой окончательной эпюры М.

Пример. Построить эпюру изгибающих моментов для рамы, изображенной на рис. 6.94. Рама шесть раз статически неопределима; жесткость всех ее стержней одинакова.

Решение. Основная система с действующими на нее групповыми неизвестными изображена на рис. 6.95.

Рис. 6.94

Рис. 6.95

Все неизвестные делятся на две группы: кососимметричные и симметричные

Заданная на раму нагрузка кососимметрична. Из предыдущего известно, что при действии на симметричное сооружение кососимметричной нагрузки возникают одни лишь кососимметричные неизвестные; симметричные же неизвестные обращаются в нуль. Следовательно, в этом случае придется решить систему трех уравнений, содержащую лишь кососимметричные неизвестные:

Рис. 6.96

Для вычисления коэффициентов и свободных членов этой системы уравнений строим эпюры изгибающих моментов, вызываемых единичным действием групповых кососимметричных неизвестных и нагрузкой (рис. 6.96).

При подсчете значений перемещений ввиду прямолинейности стержней применяем способ Верещагина,

Определяем единичные перемещения (увеличенные в раз):

Определяем грузовые перемещения (увеличенные в раз):

Производим проверку вычисленных коэффициентов. Для этой цели строим суммарную эпюру изгибающих моментов от одновременного воздействия всех единичных неизвестных (рис. 6.97).

Рис. 6.97.

Применяем универсальную проверку:

По эпюре найдем

Подсчет единичных коэффициентов, следовательно, выполнен правильно. Проверяем грузовые перемещения:

Проверенные коэффициенты и свободные члены подставляем в систему канонических уравнений:

Все уравнения системы сокращаем на 2 (для упрощения системы):

Не приводя процесс решения уравнений, получим:

Для проверки правильности решения системы уравнений подставим значения найденных величин в третье каноническое уравнение:

Теперь остается каждую из единичных эпюр увеличить в число раз, равное значению соответствующего неизвестного. Результаты представлены на рис. 6.98,

Рис. 6.98

Для получения окончательной эпюры моментов необходимо ординаты эпюр, приведенных на рис. 6.98, суммировать по точкам друг с другом и с ординатами грузовой эпюры (см. рис. 6.96). При суммировании считаем положительными изгибающие моменты, отложенные снизу и справа от стержня:

Окончательную эпюру изгибающих моментов откладываем со стороны растянутого волокна (рис. 6.99).

Необходимо еще произвести проверку окончательной эпюры изгибающих моментов.

1. Проверка равновесия узла 3 (рис. 5 .100):

2. Проверка по замкнутому контуру.

Рис. 6.99

Рис. 6.100

Ввиду постоянства жесткостей элементов подсчитываем полную площадь эпюры моментов по контуру 2—2—3—4, считая часть эпюры, расположенную вне контура, положительной: