Главная > Математика > Стереометрия. Геометрия в пространстве
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

17.4. Площадь сферического сегмента и сферического пояса.

Сначала заметим, что соотношение (5), доказанное в лемме п. 17.2, имеет гораздо большую общность. Рассмотрим некоторую сферу радиуса R и на ней фигуру F (рис. 17.15). Назовем шаровым сектором с основанием F фигуру, образованную радиусами, проведенными во все точки фигуры

Рис. 17.15

Частные случаи шаровых сегментов уже были рассмотрены в п. 16.5. Обобщением леммы п. 17.2 является следующее:

Лемма. Площадь S области на сфере радиуса R и объем шарового сектора, основанием которого служит данная область, связаны формулой

Пусть на сфере дана фигура F и пусть Q — шаровой сектор с основанием F. Опишем вокруг шара многогранник и вырежем из него "сектор" пирамидой с вершиной в центре шара, заключающей шаровой сектор Q. Если — площадь поверхности, вырезанной из поверхности многогранника, a — объем, то, как и в лемме п. 17.2, . Поэтому в пределе, когда получаем формулу (13).

Зная формулу (13), можно находить площади некоторых частей сферы.

Сферическим сегментом назовем часть сферы, отсеченную от нее любой плоскостью (рис. 17.16 а). Сферическим поясом назовем часть сферы, лежащую между двумя параллельными плоскостями (рис. 17.16 б). Высотой сферического пояса называется расстояние между этими плоскостями. На сферический сегмент можно смотреть как на частный случай сферического пояса, когда одна

Рис. 17.16

из секущих плоскостей стала касательной. Ясно, что высота сферического сегмента — это высота соответствующего ему шарового сегмента.

Согласно (13) и результатам п. 16.5 для площади сферического сегмента D и объема V соответствующего ему шарового сектора Q имеет место равенство:

Из этого равенства получаем, что

где Н — высота сегмента

Убедитесь, что такая же формула справедлива и для площади сферического пояса, так как пояс является разностью двух сегментов.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление