Главная > Математика > Стереометрия. Геометрия в пространстве
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 11. МНОГОГРАННИКИ

11.1 Определение многогранника и его элементов.

Обычно, определяя многогранник, говорят: многогранником называется тело, граница которого состоит из конечного числа многоугольников.

Решая задачи, мы постоянно обращаемся к простейшим многогранникам — пирамидам и призмам, чаще всего к тетраэдрам, кубам, параллелепипедам.

Рис. 11.1

Реальными примерами тел, имеющих более или менее точную форму многогранников, могут служить кристаллы (рис. 11.1а), архитектурные сооружения, как древнейшие, например, египетские пирамиды, так и современные, построенные из бетонных блоков (рис. 11.16), мебель (полки, шкафы, столы и т.п., рис. 11.1в).

Рис. 11.2

Элементами многогранника называют его грани, ребра, вершины, а также углы его Граней и утлы между гранями.

Определяя многогранник, мы сказали, что многогранник — это тело, граница которого состоит из конечного числа многоугольников. И часто продолжают: эти многоугольники называются гранями многогранника. Но тогда можно считать, например, что грани куба — это двенадцать равнобедренных

Рис. 11.3

Рис. 11.4

Рис. 11.5

Рис. 11.6

прямоугольных треугольников (рис. 11.2): ведь они составляют границу куба. Да и вообще тогда можно считать, что грани многогранника — это лишь треугольники; ведь любой многоугольник можно разбить на треугольники.

Значит, грани многогранника — это не просто многоугольники, составляющие поверхность многогранника. Гранью многогранника следует считать такой многоугольник на поверхности многогранника, который не содержится ни в каком другом многоугольнике, лежащем на поверхности многогранника (иначе он является лишь частью грани). При этом многоугольником следует считать любую плоскую замкнутую область, граница которой состоит из конечного числа отрезков (рис. 11.3). Такие многоугольники можно составить, прикладывая друг к другу конечное число треугольников (рис. 11.4). Они

могут быть, например, кольцеобразными (рис. 11.5а) или даже устроенными более сложно: их граница может состоять из любого числа замкнутых ломаных (рис. 11.56). Что многогранники могут иметь такие грани показывают примеры многогранников на рисунках 11.16. Многоугольники, ограниченные одной замкнутой ломаной, будем называть простыми.

К сказанному следует еще добавить, что внутренность многогранника должна прилегать лишь с одной стороны к этому многоугольнику. Многоугольники, не удовлетворяющие этому условию, могут лежать на поверхности многогранника (рис. 11.6).

Суммируя все сказанное, можем дать такое определение грани: многоугольник на поверхности многогранника называется его гранью, если, во-первых, внутренность многогранника прилегает лишь с одной стороны к этому многоугольнику и, во-вторых, он не содержится

Рис. 11.7

Рис. 11.8

Рис. 11.9

Рис. 11.10

ни в каком другом многоугольнике, лежащем на поверхности многогранника.

После того, как понятие грани определено, остальные элементы многогранника определяются легко. Ребрами многогранника называются стороны его граней, а вершинами многогранника называются вершины его граней.

Углы между гранями многогранника, имеющими общее ребро, измеряются как двугранные углы между полуплоскостями, идущими вдоль граней от их общего ребра (рис. 11.7). При этом двугранный угол измеряется изнутри многранника, т.е. он может быть и больше 180°.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление