Главная > Математика > Стереометрия. Геометрия в пространстве
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

7.5. Симметрия правильных призм. Поворот вокруг прямой.

Напомним, что правильной называется прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник. Симметричность правильных призм определяется симметричностью их оснований (рис. 7.13), а так же перпендикулярностью основаниям боковых ребер и граней.

У правильной П-угольной призмы имеется П плоскостей симметрии, проходящих через соответствующие оси симметрии оснований призмы (рис. 7.14). Кроме того, у нее имеется еще одна плоскость симметрии, которая проходит через середины боковых ребер (рис. 7.15).

Рис. 7.14

Осями симметрии правильной -угольной призмы всегда являются осей симметрии сечения этой призмы, проходящего через середины боковых ребер (рис. 7.16). Если к тому же четно, то осью симметрии является еще прямая, которая соединяет центры оснований (рис. 7.17). Если же нечетно, то это не так и других осей симметрии нет.

Отрезок, соединяющий центры оснований правильной призмы, называется ее осью (рис. 7.17).

Если П четно, то середина оси правильной -угольной призмы является центром симметрии этой призмы (рис. 7.18). Если же нечетно, то центра симметрии у правильной призмы нет (как и у ее основания).

Итак, симметричность правильной -угольной призмы определяется симметричностью ее основания — правильного П-угольника. Но, как известно из планиметрии, правильные П-угольники имеют еще один вид симметрии — вращательную, т. е. они самосовмещаются при повороте вокруг своего центра на угол (рис. 7.19), а также на любой угол, кратный . Аналогично, правильные -угольные призмы самосовмещаются при повороте вокруг своей оси на такой же угол (рис. 7.20).

Подробнее это означает следующее. Плоскости, перпендикулярные оси правильной -угольной призмы Р, параллельны ее основанию. Поэтому все сечения призмы Р такими плоскостями равны ее основанию и проектируются на него. Центры этих правильных -угольников лежат на оси призмы. Поэтому, если эти многоугольники одновременно повернуть в их плоскостях в одном направлении на угол вокруг их центров, то все они самосовместятся. А потому при таком преобразовании и призма Р самосовместится. Такое преобразование призмы называется поворотом вокруг прямой — оси призмы — на угол Тем самым призма среди симметрий имеет и поворотную симметрию.

Заметим еще, что осевая симметрия в пространстве является поворотом на 180° вокруг оси симметрии. Действительно, в результате поворота на 180° вокруг

Рис. 7.15

Рис. 7.16

Рис. 7.17

Рис. 7.18

Рис. 7.19

Рис. 7.20

прямой а точка X, не лежащая на прямой а, перейдет в такую точку X, что прямая а перпендикулярна отрезку и пересекает его в середине.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление