Главная > Математика > Стереометрия. Геометрия в пространстве
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5.4. Сферические треугольники.

Фиксируем некоторую сферу S радиусом R с центром в точке О и выберем на S любые три точки А, В, С, не лежащие на одной большой окружности (рис. 5.5). Среди них нет точек,

Рис. 5.5

Рис. 5.6

лежащих на одном диаметре сферы. Соединим точки А, В, С на S дугами больших окружностей (меньшими полуокружности). Обозначим через а дугу ВС, через Р — дугу АС и через у — дугу АВ. Фигура, состоящая из точек А, В, С, дуг и ограниченной ими части сферы S (меньшей полусферы), называется сферическим треугольником ABC. Точки А, В, С называются вершинами сферического треугольника ABC, дуги — его сторонами, а углами в его вершинах называются углы между касательными, проведенными из этих вершин к сторонам треугольника (рис. 5.6).

Между треугольниками на сфере S и трехгранными углами с вершиной в центре О сферы S естественным образом устанавливается взаимно однозначное соответствие: каждому такому треугольнику ABC соответствует трехгранный угол ОАВС , ребра которого а, b, С проходят через вершины треугольника, и, наоборот, каждый трехгранный угол с вершиной в точке О "вырезает" на сфере S сферический треугольник (рис. 5.7).

Рис. 5.7

Более того, легко установить соответствие между элементами трехгранных углов и элементами соответствующего

сферического треугольника, т.е. длинами его сторон и величинами его углов.

Во-первых, так как касательные к окружности перпендикулярны радиусам, проведенным в точку касания, то углы сферического треугольника равны соответствующим двугранным углам того трехгранного угла, который "вырезает" из сферы данный сферический треугольник (рис. 5.7):

Во-вторых, так как длина дуги окружности равна произведению радиуса на величину соответствующего центрального угла в радианах, то стороны сферического треугольника ABC выражаются через величины углов граней соответствующего трехгранного угла по формулам

Из полученных равенств (1) и (2) и доказанных в теорем синусов и косинусов для трехгранных углов можно получить соответствующие теоремы для сферических треугольников.

Например, обобщение теоремы синусов выражается так:

а обобщение теоремы Пифагора для прямоугольного сферического треугольника имеет такой вид:

Из равенства (4) следует, что , т.е. в прямоугольном сферическом треугольнике катет меньше гипотенузы.

Исходя из признаков равенства трехгранных углов, сформулируйте признаки равенства сферических треугольников и сравните их с признаками равенства обычных плоских треугольников. Найдите и попробуйте доказать для сферических треугольников и другие аналоги теорем о плоских треугольниках, например, аналоги

теорем о равнобедренных треугольниках или теорем о замечательных точках треугольников. Из этих теорем мы выделим в следующем пункте лишь "неравенство треугольника".

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление