Главная > Математика > Стереометрия. Геометрия в пространстве
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4.7. Опорные плоскости в концах диаметра.

Вспомним теорему об опорной (касательной) плоскости шара. В ней содержится следующее утверждение.

Плоскость, проходящая через конец диаметра шара перпендикулярно этому диаметру, не имеет с шаром других общих точек и служит его опорной плоскостью.

Оказывается, эта теорема обобщается на произвольные фигуры! Именно, выполняется следующая теорема:

Теорема. Плоскость, проходящая через конец диаметра фигуры перпендикулярно этому диаметру, не имеет с фигурой других общих точек и служит ее опорной плоскостью.

Пусть отрезок АВ — диаметр фигуры F (рис. 4.17). Проведем через его конец А плоскость а, ему перпендикулярную. Если X — точка этой плоскости, отличная от А, то так как перпендикуляр ВА короче наклонной ВХ. По определению диаметр — это наибольшее расстояние между точками фигуры, так что для всех точек выполняется неравенство Следовательно, никакая точка Y фигуры F не лежит на плоскости а , кроме самой точки А.

Покажем, что вся фигура F лежит с той стороны от плоскости а, где лежит В (кроме точки А). Действительно,

если точки Z и В лежат по разные стороны от плоскости а, то отрезок BZ пересекает плоскость а. Поэтому и точка Z не может быть точкой фигуры F. Итак, плоскость а — опорная плоскость фигуры F в точке Л.

Замечание 1. Вся фигура, кроме концов диаметра АВ, расположена строго между плоскостями а и (3, проходящими через его концы А и В перпендикулярно ему (рис. 4.18). Диаметр фигуры или какого-нибудь предмета — это мера того, что называют линейными размерами или габаритами предмета. Всякий предмет можно поместить в кубическую коробку с ребром, равным диаметру предмета.

Замечание 2. Теорема об опорной плоскости шара оказалась, как мы видим, только частным случаем последней теоремы, относящейся к любым фигурам, лишь бы у них существовали наиболее отдаленные друг от друга точки. При этом доказательство ее ничуть не сложнее.

Рис. 4.19

И снова, как и в случае теоремы о трех перпендикулярах и ее обобщения (см. п. 2.3), мы встречаемся с современным обобщением классической теоремы, известной еще в Древней Греции: ведь понятие опорной плоскости принадлежит геометрии XX века.

Рис. 4.20

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление