Главная > Математика > Стереометрия. Геометрия в пространстве
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ВВЕДЕНИЕ

0.1. О геометрии. Своеобразие геометрии заключается в неразрывной связи живого воображения со строгой логикой. Можно сказать, что геометрия в своей сути и есть пространственное воображение, пронизанное и организованное строгой логикой. Во всяком подлинно геометрическом предложении, будь то аксиома, определение, теорема или задача, непременно присутствуют эти два элемента: наглядная картина и строгая формулировка, строгий логический вывод.

Наглядность, воображение принадлежат больше искусству, строгая логика — привилегия науки. Сухость точного вывода и живость наглядной картины — "лед и пламень не столь различны меж собой". Геометрия соединяет в себе эти две противоположности. Так ее и надо изучать: соединяя наглядные картины со строгими формулировками и доказательствами.

Поэтому основное правило состоит в том, что, встречаясь с определением, теоремой или задачей, нужно прежде всего понять их содержание: представить наглядно, нарисовать или еще лучше, хотя и труднее, вообразить то, о чем идет речь.

Ничего не старайтесь изучить, не нарисовав, не вообразив того, о чем идет речь, не поняв, как это наглядное представление точно выражается в формулировке определения, теоремы или задачи.

Геометрия возникла из практических задач, ее предложения выражают реальные факты и находят многочисленные применения. В конечном счете, в основе всей техники так или иначе лежит геометрия, потому что она появляется везде, где нужна малейшая точность в определении формы и размеров. И технику, и инженеру, и рабочему, и архитектору необходимо геометрическое воображение.

Математика, геометрия в частности, представляет собой могущественный инструмент познания природы и создания техники.

Идеальные геометрические понятия возникают в результате отвлечения от всего внешнего и случайного относительно самих пространственных отношений и форм, как таковых, в их собственном виде. Это отвлечение

закрепляется в выводах геометрии, которой нужна прочная логическая структура, как нужна прочная структура хорошей машине.

0.2. О пространственных фигурах. Раньше вы изучали, главным образом, геометрию на плоскости — планиметрию, а теперь будете заниматься геометрией в пространстве. Ее называют стереометрией (от греческих слов "стереос" — пространственный, "метрео" — измеряю). Обращаясь к геометрии в пространстве — стереометрии, — предполагаем, что геометрия на плоскости — планиметрия — вам, в основном, известна.

Рис. 1

Каждый представляет, что такое плоскость или, по крайней мере, конечный кусок плоскости, как поверхность стола, доски и т. п. В планиметрии плоскость рассматривается сама по себе, независимо от окружающего пространства. В стереометрии же мы рассматриваем плоскости как такие фигуры в пространстве, на каждой из которых выполняется планиметрия.

Вместе с каждой плоскостью в пространстве есть содержащиеся в ней известные вам фигуры — точки, отрезки, треугольники, окружности и т.д. Основными свойствами этих фигур, теоремами о них, доказанными в планиметрии, мы будем пользоваться.

Через каждые две точки в пространстве проходит плоскость и даже не одна. На плоскости выполняется планиметрия, и, следовательно, на плоскости между любыми двумя точками есть определенное расстояние — длина соединяющего их отрезка. Хотя две точки принадлежат одновременно разным плоскостям, расстояние между ними на каждой их этих плоскостей будет одно и то же (рис. 1).

Пользуясь понятием расстояния, можно определить равенство и подобие фигур в пространстве буквально так же, как это было сделано в планиметрии. Две фигуры F и F называются равными, если можно так сопоставить

Рис. 2

все их точки, что расстояние между соответствующими парами точек одно и то же.

Конечно, важнейшие в стереометрии — пространственные фигуры, не лежащие ни в какой плоскости. Простешие знакомые вам тела изображены на рисунке 2: а) шар; б) пирамида; в) призма; г) конус; д) куб; е) параллелепипед; ж) цилиндр.

Напомним, что куб — это многогранник, у которого шесть граней и все они квадраты. Прямоугольный параллелепипед — это многогранник, у которого шесть граней и все они прямоугольники. А вообще параллелепипед — это многогранник, у которого шесть граней и все они параллелограммы.

Пирамидой называется многогранник, у которого одна грань — какой-либо многоугольник, а остальные грани — треугольники с общей вершиной. Первая грань называется основанием пирамиды, остальные же называются боковыми гранями; их общая вершина называется вершиной пирамиды. Стороны граней пирамиды называются ее ребрами, причем ребра, сходящиеся в вершине, называются боковыми.

Рис. 3

Рис. 4

Если основание пирамиды -угольник, то она называется -угольной. Простейшей среди всех пирамид (и даже среди всех многогранников) является треугольная пирамида, которую называют также тетраэдром, т.е. четырехгранником (рис. 3). У тетраэдра четыре грани и все они треугольники.

Пирамида называется правильной, если ее основание — правильный многоугольник, а все боковые ребра равны (рис. 4). Знаменитые египетские пирамиды — правильные четырехугольные.

Тетраэдр же называется правильным, если все его грани — правильные треугольники (т.е. все его ребра равны). Правильный тетраэдр — это частный случай правильной треугольной пирамиды.

Рис. 5

n-угольная призма — это многогранник, две грани которого, называемые основаниями, — равные -угольники, а остальные граней — параллелограммы (рис. 2в). Они называются боковыми гранями призмы. При этом любая боковая грань имеет с каждым из

оснований по общей стороне. Таким образом, параллелепипед — это призма, в основании которой — параллелограмм (рис. 2е). Призма, у которой боковые грани прямоугольники, называется прямой. Прямая призма, основаниями которой являются правильные многоугольники, называется правильной.

0.3. О рисунках. Отличие рисунков, используемых в стереометрии (например, рисунков 1—4), от тех, какими иллюстрируется курс планиметрии, состоит в том, что на плоскости рисунка (в книге, в тетради, на доске) изображены не только плоские, но и пространственные фигуры. Основные правила и приемы таких изображений известны из курсов рисования и черчения. Напомним самые простые из них,

1) Плоскость изображается в виде произвольной области, а иногда в виде параллелограмма (рис. 5).

2) Параллельные отрезки (как и прямые) изображаются параллельными отрезками (как при изображении куба или параллелепипеда на рис. 2).

3) Середина отрезка изображается как середина его изображения, которое тоже является отрезком.

4) Те линии, которые нам не видны, изображаются пунктиром.

Решая задачи, доказывая теоремы, вы будете много рисовать, строить плоские сечения различных многогранников. Такие сечения ограничены отрезками, по которым плоскость сечения пересекает грани многогранника

Рис. 6

Например, если нужно изобразить сечение куба плоскостью, проходящей через его вершины (рис. 6а), то ясно, что таким сечением будет треугольник ограниченный диагоналями трех граней куба Для большей наглядности мы выделяем его штриховкой.

Пусть теперь нужно нарисовать сечение того же куба плоскостью, проходящей через три точки К, L, М, которые лежат на его ребрах Как вы будете действовать?

Подумайте также, какие многоугольники могут получиться в сечении куба плоскостью?

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление