Главная > Математика > Стереометрия. Геометрия в пространстве
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

29.3. Образы прямых и окружностей, плоскостей и сфер при инверсии.

Теорема (об инверсии). Инверсия на плоскости преобразует:

1) прямую, проходящую через центр инверсии, в эту же прямую;

2) прямую, не проходящую через центр инверсии, в окружность, проходящую через центр инверсии;

3) окружность, проходящую через центр инверсии, в прямую, не проходящую через центр инверсии;

4) окружность, не проходящую через центр инверсии, в окружность, не проходящую через центр инверсии. (Во всех случаях центр инверсии исключается).

Общее уравнение для прямых и окружностей на плоскости таково:

(если ).

Действительно, при уравнение (8) становится линейным уравнением и задает прямую. Уравнение же окружности также является уравнением вида (8).

Выясним теперь, во что преобразует инверсия фигуру F, заданную уравнением (8). Для этого в (8) подставим выражение (7). Получим

т. е.

Уравнение (9) задает образ фигуры F при инверсии

Рассмотрим последовательно все четыре случая.

1) F — прямая, проходящая через точку О (рис. 29.4 а). Тогда Поэтому уравнение (9) имеет вид т. е. задает ту же прямую

2) F — прямая, не проходящая через точку О (рис. 29.4 б). Тогда , но и уравнение (9) приводится к виду

. Выделив полные квадраты, его можно записать так:

Рис. 29.4

Ясно, что (11) задает окружность, а поскольку удовлетворяют уравнению (10), то эта окружность проходит через точку О.

3) F — окружность, проходящая через точку О. Тогда но и уравнение (9) приводится к виду

Так как , то это уравнение задает прямую, не проходящую через точку О (рис. 29.4 в).

4) F — окружность, не проходящая через точку О (рис. 29.4 г). В этом случае и уравнение (9) имеет тот же вид, что и уравнение (8): оно тоже задает окружность, не проходящую через точку О. Мы рассмотрели все случаи.

Рис. 29.5

Рис. 29.6

Несложно повторить все эти рассуждения для пространства и убедиться, что в пространстве инверсия преобразует плоскость, проходящую через центр инверсии, в ту же плоскость, плоскость, не проходящую через центр инверсии, — в сферу, проходящую через центр инверсии, сферу, проходящую через центр инверсии, — в плоскость, не проходящую через центр инверсии, и, наконец, сферу, не проходящую через центр инверсии, — в сферу, также не проходящую через центр инверсии.

Рис. 29.7

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление