Главная > Математика > Стереометрия. Геометрия в пространстве
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 29. ИНВЕРСИЯ

29.1. Определение инверсии.

Содержание этого параграфа в большей своей части относится к планиметрии. То преобразование, которое мы сейчас определим и изучим, чаще всего в элементарной геометрии используется при решении задач на построение. При этом используется то обстоятельство, что инверсия преобразует окружности в прямые и обратно.

Сначала мы считаем, что фиксирована некоторая плоскость и все построения ведем в этой плоскости. В планиметрии инверсия определяется так.

Рис. 29.1

Пусть задана некоторая окружность S с центром О и радиусом (рис. 29.1). Каждой точке А, отличной от точки О, поставим в соответствие точку А, на луче ОА такую, что

Это преобразование называется инверсией относительно окружности S и обозначается . Точка О называется центром инверсии, радиус — радиусом инверсии, а окружность S — окружностью инверсии. В точке О инверсия не определена, т. е. для точки О нет соответствующей ей точки.

Из симметричности точек в определении инверсии вытекает такое свойство:

Свойство 1. Если точке А соответствует точка при инверсии , то точке соответствует точка А, т. е. если , то .

Это же свойство можно сформулировать и так: преобразование, обратное инверсии, совпадает с нею, т.е. инверсия является инволюцией.

Таким образом,

Свойство 2. При инверсии каждая точка окружности инверсии неподвижна.

Это свойство очевидным образом вытекает из (1).

Рис. 29.2

Рис. 29.3

В остальных случаях пары соответствующих друг другу при инверсии точек , лежат по разные стороны от окружности одна из них лежит внутри S, а другая — вне

Эти свойства говорят о сходстве инверсии и осевой симметрии на плоскости. Поэтому иногда инверсию называют симметрией относительно окружности.

Как построить соответствующие друг другу при инверсии точки А и ясно из рисунка 29.2. Прямые и q — касательные к окружности .

Чтобы определить инверсию в пространстве, надо заменить окружность S сферой S, а все остальное — просто повторить. И мы придем к определению инверсии относительно сферы S.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление