Главная > Математика > Стереометрия. Геометрия в пространстве
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

27.3. Движение второго рода, имеющее неподвижную точку, как зеркальный поворот.

О зеркальном повороте

Рис. 27.2

Рис. 27.3

мы уже говорили, когда рассматривали полуправильные многогранники в п. 12.3. Напомним, что зеркальным поворотом вокруг оси а на угол называется композиция поворота вокруг оси а на угол и симметрии относительно плоскости, перпендикулярной оси поворота (рис. 27.2).

Так как поворот и отражение — движения, то и зеркальный поворот — движение. Для зеркального поворота порядок, в котором выполняются составляющие его поворот и отражения, безраличен (рис. 27.3).

Роль зеркальных поворотов характеризует следующая теорема.

Теорема (о зеркальном повороте). Любое движение пространства второго рода, имеющее неподвижную точку, является зеркальным поворотом, который, в частности, может быть центральной или зеркальной симметрией.

Пусть О — неподвижная точка движения пространства второго рода f. Множество неподвижных точек движения f либо состоит из одной точки О, либо является плоскостью, проходящей через О (всем пространством или прямой оно быть не может, так как этим случаям соответствуют движения первого рода — тождественное или поворот).

Если множество неподвижных точек движения f — плоскость, то f — симметрия относительно этой плоскости (по признаку зеркальной симметрии, п. 26.4).

Поэтому осталось рассмотреть случай, когда движение f имеет единственную неподвижную точку — точку

О. В этом случае может оказаться, что для любой точки А Ф О, ее образ лежит на прямой ОА. Так как и В Ф А, то точка О — середина отрезка АВ. Но тогда f — симметрия относительно точки О.

Итак, осталось рассмотреть случай, когда найдется такая точка , образ которой — точка — не лежит на прямой ОА . Пусть точка . Точка С отлична от точки А, так как если то движение f переводит отрезок АВ в отрезок ВА и имеет его середину своей неподвижной точкой. А это невозможно, так как эта середина отлична от точки О — единственной неподвижной точки движения

Мы получили два равнобедренных треугольника ОАВ и ОВС с общей вершиной О и общей стороной ОВ (рис. 27.4). Движение f переводит треугольник ОАВ в треугольник ОВС.

Рис. 27.4

Проведем высоты ОМ и ON в этих треугольниках. Тогда зеркальный поворот вокруг прямой перпендикулярной плоскости OMN и проходящей через точку О, на угол MON также переводит треугольник ОАВ в треугольник ОВС. По теореме подвижности (п. 26.6) движение f совпадает с этим зеркальным поворотом.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление