Главная > Математика > Стереометрия. Геометрия в пространстве
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

24.2. Общее уравнение плоскости.

Используя скалярное умножение, мы можем теперь вывести уравнение, задающее плоскость в системе декартовых координат. Она задается линейным уравнением. Как вам известно из планиметрии, на координатной плоскости х, у каждая прямая задается уравнением вида

причем коэффициенты А, В не обращаются в нуль одновременно.

Для плоскости в пространстве верен аналогичный результат.

Теорема. Плоскость в пространстве задается в системе прямоугольных координат х, у, z уравнением вида

при условии, что коэффициенты А, В, С не обращаются в нуль одновременно.

Рис. 24.4

Пусть в пространстве введены прямоугольные координаты х, у, z и задана некоторая плоскость а. Возьмем любой ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости а. Назовем его вектором нормали к плоскости а (рис. 24.4) и обозначим

Положение плоскости а в пространстве вполне определится, если, кроме , задать какую-нибудь точку Точка принадлежит плоскости а тогда и только тогда, когда вектор МХ перпендикулярен вектору , т. е. тогда и только тогда, когда

Равенство (8) и является уравнением плоскости а.

Так как , то, используя формулу для скалярного произведения, получаем, что

Подставив это выражение в левую часть (8) и положив , получим (7).

Верно также и обратное утверждение: уравнение вида (7) при условии, что среди коэффициентов А, В, С есть ненулевые, задает в пространстве плоскость в системе прямоугольных координат. Если то такой плоскостью является плоскость а, проходящая через точку и имеющая вектор своим нормальным вектором.

Замечание. Рассмотрим случай, когда уравнение (7) плоскости ОС содержит не все координаты, например имеет вид т. е. . Если такому уравнению удовлетворяют

координаты некоторой точки М плоскости то ему удовлетворяют и координаты любой точки прямой проходящей через точку М и перпендикулярной плоскости Поэтому в рассматриваемом случае плоскость а содержит эту прямую, т. е. а параллельна оси z, если D О, и проходит через ось z, если

Рассмотрите самостоятельно случаи обращения в нуль других коэффициентов в уравнении (7).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление