Главная > Математика > Стереометрия. Геометрия в пространстве
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

22.4. Координаты вектора.

Координаты вектора в пространстве определяются так же, как на плоскости. А именно справедлива следующая теорема:

Теорема (о координатном представлении вектора). Пусть в пространстве введена прямоугольная система координат с единичными векторами I, j, к координатных осей X, у, z. Тогда каждый вектор v единственным образом представляется в виде

Числа называются координатами вектоpa v относительно векторов i, j, k, которые называются базисными векторами или, короче, базисом.

О Отложим вектор V от начала координат — точки О. Получим вектор Разложим его по координатным осям:

Так как по признаку параллельности векторов Аналогично

Подставив эти выражения в (12), получим (11). Первое утверждение теоремы доказано. Докажем единственность координат вектора

Допустим что, кроме разложения (11), имеется еще какое-нибудь разложение V по векторам i, j, k:

Тогда из (11) и (13) следует, что

Поэтому

Слева в равенстве (15) стоит вектор, параллельный оси X, т. е. перпендикулярный плоскости , а справа стоит вектор, параллельный плоскости Они могут быть равны лишь в случае, когда оба они нулевые. Поэтому , т.е. Аналогично

Теорема полностью доказана.

На основании доказанной теоремы, если в пространстве введены координаты, каждый вектор V можно задавать его координатами и писать короче: вместо равенства (1) или

Как показывает следующая теорема, действия с векторами можно свести к аналогичным действиям с их координатами.

Теорема (о действиях с координатами векторов). При сложении векторов их соответствующие координаты складываются. При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число.

Пусть

и

Надо доказать, что

Действительно, из равенств (16) и (17) получаем, что

Значит, числа — координаты вектора с, т. е. имеют место равенства (18).

Докажем второе утверждение теоремы. Рассмотрим произведение Получим

Значит, числа — координаты вектора что и требовалось доказать.

Следствие. Векторы параллельны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны.

Следствие вытекает из доказанной теоремы и признака параллельности векторов

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление