Главная > Математика > Стереометрия. Геометрия в пространстве
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 22. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ С ВЕКТОРАМИ

22.1. Сложение и вычитание векторов.

Как и в планиметрии, сумму двух векторов можно найти по правилу треугольника (рис. 22.1). Если даны два вектора а и b, то вектор а откладываем от любой точки Затем от его конца — точки В — откладываем вектор . Суммой векторов а и b называется вектор

Рис. 22.1

Полученный результат не зависши от выбора точки А. А именно, если взять другую точку и отложить векторы то в результате получим вектор (рис. 22.2).

Действительно, так как , то по лемме о равенстве векторов, Аналогично, из равенства , вытекает, что Следовательно, , снова применяя лемму о равенстве векторов, получаем, что .

Рис. 22.2

Для непараллельных (неколлинеарных) векторов Q и b их сумму можно получить не только по правилу треугольника, но и по правилу параллелограмма. Согласно этому правилу, надо отложить эти векторы от одной точки: (рис. 22.3), затем построить на отрезках ОА и ОВ параллелограмм

Рис. 22.3

Рис. 22.4

ОАСВ. Вектор ОС и будет суммой векторов а и b:

Свойства операции сложения векторов в стереометрии те же самые, что и в планиметрии, и доказываются они точно так же, как в планиметрии. Перечислим эти свойства, сопровождая их рисунками, из которых ясно, как они доказываются.

1. Переместительное свойство или коммутативность:

для любых векторов а и b (рис. 22.4).

2. Сочетательное свойство или ассоциативность:

для любых векторов а, b, С (рис. 22.5).

3. Свойство нуль-вектора:

для любого вектора а.

4. Существование и единственность противоположного вектора: для каждого вектора Q существует и притом единственный противоположный ему вектор — а, такой, что

Вычитание векторов — это операция, обратная сложению векторов. Вычесть из

Рис. 22.5

вектора а вектор b — значит, найти такой вектор С, который в сумме с вектором b даст вектор а (рис. 22.7).

Чтобы вычесть из вектора а вектор b, можно к вектору а прибавить вектор -b (рис. 22.8).

По правилу параллелограмма сумма двух неколлинеарных векторов представляется диагональю параллелограмма (рис. 22.3), построенного на данных векторах, отложенных от одной точки.

Аналогично, вектор , направленный по диагонали АС параллелепипеда , равен сумме трех векторов АВ, AD, АА, направленных по ребрам параллелепипеда, идущих из точки А (рис. 22.9), т. е.

Рис. 22.6

Рис. 22.7

Рис. 22.8

Действительно, по правилу параллелограмма

Поэтому справедливо (3).

Взяв любые три вектора а, b, с, непараллельные одной плоскости, и отложив их от одной точки А, мы можем построить параллелепипед такой, что

(говорят, что этот параллелепипед построен на векторах а, b, c). Тогда сумма векторов а, b, С представляется диагональю параллелепипеда т. е.

Рис. 22.9

Векторы называются компланарными, если найдется некоторая плоскость, которой параллельны эти векторы. Если же такой плоскости не существует, то векторы называются некомпланарными. Любые два вектора всегда компланарны (объясните, почему, рис. 22.10). Три вектора, направленные вдоль ребер параллелепипеда, идущих из одной вершины, некомпланарны.

Рис. 22.10

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление