Главная > Нечеткие вычисления > Принятие решений. Метод анализа иерархий
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ДОПОЛНЕНИЕ Р. Г. ВАЧНАДЗЕ. РАЗВИТИЕ МЕТОДА АНАЛИЗА ИЕРАРХИЙ

Д.1. ВВЕДЕНИЕ

В предлагаемом дополнении проводится краткий исторический экскурс, излагаются наиболее значительные полученные за последние годы теоретические результаты, приложения МАИ в различных сферах, дается характеристика некоторых программных средств. Исследуется вопрос о месте метода анализа иерархий в ряду методов принятия решений. В заключение приводится перечень возможных тем дальнейших исследований по МАИ.

Идея использования собственного вектора для решения так называемой задачи о лидере известна из работы К. Бержа предложившего ее в 1958 г. для обработки простых структур (см. определения в ). В 1972 г. независимо друг от друга в СССР Брук и В. Бурков и в США Саати метод собственного вектора был применен для обратносимметричных матриц (матриц со степенной калибровкой по классификации ). Работа по-видимому, не нашла дальнейшего развития, в то время как трудами Т. Саати и его последователей идея использования собственного вектора в качестве вектора приоритетов выросла в довольно мощную методологию системного анализа иерархических структур.

За десятилетие, прошедшее с момента публикации первой книги Т. Саати (1980 г.), метод анализа иерархий получил широкое распространение во многих странах. Т. Саати и его последователями проделана большая работа по теоретическому обоснованию метода, углублению исследования различных его аспектов, многочисленным приложениям метода в различных сферах и созданию соответствующих программных средств. Эти работы нашли отражение во многих публикациях, число которых к данному времени достигло 500. В США, Японии, Китае проводятся симпозиумы и конференции в национальном масштабе. В 1988 г. и г. Тяньцзине (КНР) был проведен первый международный симпозиум по МАИ, в работе которого участвовало около 200 ученых из США, Японии, Китая, Финляндии, Ирана, Канады и СССР. Тяньцзиньским университетом изданы доклады, представленные на симпозиуме Методу анализа иерархий посвящены специальные выпуски журналов: Socio-Economic Planning Sciences, Vol. 20, No 6, 1986 и International Journal on Mathematical Modelling, Vol. 9, № 3-5, 1987. В 1986 г. вышли два обзора в которых приводятся данные по большинству из работ, опубликованных к тому времени по МАИ.

Д.2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Аксиоматические основы

В 1986 г. Т. Саати опубликовал работу в которой была сделана попытка аксиоматического обоснования метода анализа иерархий. Аксиомы Т. Саати охватывают основные свойства метода:

1. Обратная симметричность - основная характеристика парных сравнений. Для матрицы парных сравнений интенсивность предпочтения над обратна интенсивности предпочтения над

2. Гомогенность (однородность), характеризующая свойство людей сравнивать объекты, которые не слишком сильно отличаются друг от друга, следовательно, необходимость

упорядочивания объектов в сохраняющих порядок иерархиях. Гомогенность существенна для сравнения объектов одного порядка, так как человеческий разум склонен к допущению больших ошибок при сравнении несопоставимых элементов. Когда эта несопоставимость большая, элементы располагают в отдельные кластеры сравнимых размеров, что выдвигает идею об уровнях и их декомпозиции.

3. Зависимость нижнего уровня от непосредственно примыкающего к нему высшего уровня.

4. Результат анализа может отражать ожидания экспертов только в том случае, если эти ожидания правильно воспроизведены в иерархии, т. е. все альтернативы, так же как и все критерии, воспроизведены в иерархии. Это не предполагает ни рациональности процесса, ни того, что процесс может приспосабливаться только к рациональной точке зрения. Многие ожидания людей иррациональны.

Аксиомы позволяют получить ряд общих теорем, определяющих операционные возможности МАИ и показывающих удобства парных сравнений и метода собственного вектора при оценке отношений, а также исследовать устойчивость собственного вектора к малым возмущениям в данных (подробнее об этом в [Д8]).

Абсолютные и относительные измерения: перестановка рангов

В появившихся в последнее время работах Т. Саати и других авторов [Д9, Д10, Д11] значительное внимание уделено вопросу сохранения и перестановки рангов, связанного с абсолютными и относительными измерениями.

Известно, что ранжирование альтернатив может быть получено в, результате как относительных измерений (основанных на парных сравнениях, дающих относительные значения), так и абсолютных измерений (основанных на сравнениях с известным стандартом). Тип измерений зависит от рассматриваемой ситуации. При совершенно новой задаче принятия решений, или в старых задачах, для которых не установлены общепринятые стандарты, следует применять относительные измерения, сравнивая альтернативы попарно для выявления их предпочтительности. Если же стандарты имеются, то следует применять абсолютные суждения. Метод анализа иерархий может быть использован при обоих типах измерений. Однако с типом измерений связана одна важная особенность, обусловленная перестановкой рангов в случае добавления дополнительных альтернатив (критериев) или удаления некоторых из рассматривавшихся альтернатив (критериев). Как показано в [Д10, Д11], при абсолютных изменениях добавление или удаление альтернативы не меняет взаимного расположения рангов начальных альтернатив для матрицы. Этот результат верен и для всей иерархии [Д12, Д13].

При относительных измерениях, когда имеется только один критерий и суждения согласованны, добавление или удаление альтернативы не влияет на ранговый порядок начальных альтернатив. В случае многих критериев, при согласованности в суждениях ранговый порядок любых двух альтернатив не меняется (в результате структурных изменений), когда одна альтернатива предпочтительнее другой в матрицах сравнения для всех критериев. Тем не менее даже для согласованных матриц, когда одна альтернатива доминирует над другой не по всем критериям, структурные изменения могут вызвать перестановку рангов альтернатив. В [Д11] приводятся математические условия сохранения рангового порядка иерархических структур в общем случае. Эта проблематика связана с теорией многокритериальных задач и может быть рассмотрена в ее рамках (см. [Д14]).

Неполные сравнения

Как уже известно, для получения матрицы сравнения порядка n необходимо произвести суждений. В [Д15] подход, распространен на ситуации, в которых ЛПР позволено отвечать «не знаю» или «не уверен» на некоторые из вопросов. Подход Харкера основан на определении квазиобратносимметричных матриц.

Неотрицательная -матрица A квазиобратносимметрична, если и из следует, что

Пусть ЛПР рассмотрено множество n альтернатив и проведено некоторое подмножество парных сравнений, которые позволили получить матрицу с элементами и из следует, что Пусть -матрица, полученная из частично заполненной матрицы C следующим образом:

т. е. диагональные элементы матрицы B равны числу недополученных суждений в строке

Матрица - примитивна, т. е. существует такая постоянная что матрица положительна. Следовательно, решение задачи о собственном значении для матрицы А можно рассматривать как приоритеты альтернатив при неполных сравнениях. В [Д15] доказано также, что корень Перрона неотрицательной, неприводимой, квазиобратносимметричной матрицы А больше или равен n (рангу матрицы А) и равен n только в том случае, если матрица А - согласованна.

Аналогичный подход к выявлению приоритетов для неполной обратносимметричной матрицы предложен и в [Д16].

Неопределенность в суждениях

Неопределенность может быть выражена в следующем виде:

1) точечные оценки с функциями распределения вероятностей,

2) интервальные оценки без вероятностного распределения,

3) нечеткие оценки в виде нечетких чисел (определение последних, см., например, в [Д17, Д18]).

В работе Варгаса [Д19] исследованы матрицы с элементами в виде случайных переменных. Показано, что при условиях полной согласованности, если суждения подчинены гамма-распределению, главный правый собственный вектор результирующей матрицы парных сравнений подчиняется распределению по Дирихле. Утверждается, что этот результат верен и для несогласованности менее 10%.

Саати и Варгам в [Д20| исследовали интервальные оценки моделированием в предположении, что все точки интервала распределены равномерно. Используя тест Колмогорова-Смирнова, они показали, что компоненты собственного вектора удовлетворяют усеченному нормальному распределению. Была подтверждена возможность распространения центральной предельной теоремы на распределение компонент собственного вектора как предельных средних значений доминирования каждой альтернативы над другими альтернативами по путям всех длин. Было показано, каким образом выбираются альтернативы в соответствии с произведением их приоритетов и вероятностью того, что не произойдет перестановки рангов. Данный

способ преодоления неопределенности в суждениях ЛПР позволяет измерять одновременно как важность, так и вероятность сохранение рангов.

Применение МАИ при неопределенности, связанной с суждениями виде нечетких чисел, рассмотрено в [Д21, Д22].

Д.3. ПРИЛОЖЕНИЯ

Как было отмечено, за последние годы МАИ широко использовался при решении различных задач. Но претендуя здесь на полноту, отошлем читателя к ранее упомянутым обзорным работам Д6, Д7], а также к сборнику докладов Первого международного симпозиума по МАИ [Д5] и вышедшей в 1989 г. в книге [Д23|, и в данном обзоре остановимся на нескольких, наиболее интересных приложениях.

С помощью МАИ были найдены коэффициенты целевой функции для задачи целевого программирования большой размерности (9060 уравнений, 28730 переменных и 6950 целевых ограничений) [Д24]. В работе представлено интересное сопоставление многомерной теории полезности с МАИ при решении многокритериальных задач. Показано, что трудности, возникающие у аналитиков при непосредственном определении требуемых функций полезности, сильно снижают привлекательность подхода, основанного на теории полезности. В то же время МАИ позволяет аналитику структурировать элементы проблемы довольно быстро и облегчает проведение анализа. Существенные ограничения МАИ, связанные с проведением многочисленных парных сравнений, преодолеваются при использовании предложенной в [Д15] процедуры, значительно снижающей количество необходимых парных сравнений.

Э. Формен (один из авторов программной системы Expert Choice) предложил объединить МАИ с традиционными методологиями исследования операций [Д25]. В работе обосновывается система поддержки принятия решений, которая понятна и релевантна для ЛПР в реальной жизни. Показано, как ЛПР могут разрабатывать, понимать и применять модели для принятия управленческих решений, что на практике они редко делают. Рассматривается объединение МАИ с линейным программированием, анализом очередей, методом критического пути, прогнозированием и целочисленным линейным программированием для решения ряда практических задач (дизайн новых видов продукции, распределение ресурсов во времени, по деньгам, труду и материалам с целью своевременного выполнения проекта).

Новый подход к оценке риска для международных инвестиций, основанный на МАИ, был предложен в [Д26]. Подход позволяет исследовать факторы как количественно, так и качественно, обеспечивая основу для обсуждения и обмена идеями между ЛПР при анализе риска. В работе исследуются структуры, в пределах которых фирма может анализировать все важнейшие факторы, влияющие на ее бизнес за рубежом, и быстро принимать логические решения.

Метод анализа иерархий успешно применялся при оценке эффективности лекарственных средств [Д27, Д28, Д29]. Методика обработки данных морфологического анализа позволила оценивать как действие отдельного препарата, так и сравнивать эффективность отдельных фармакологических средств при лечении ишемической болезни сердца. Полученные результаты хорошо согласуются с выводами клинических исследований.

Заслуживает интереса возможность приложения МАИ в различных видах спорта, связанная с определением состава эстафетной команды [Д27]. Из заданного множества кандидатов, относительно которых мы располагаем достаточно полной информацией, следует отобрать необходимое число и расставить их по этапам эстафеты (бег 4х100 м). В данном виде спорта оценка подготовки спортсмена производится согласно специальным методикам, выделяющим шесть специальных показателей. Часть этих показателей объективна (получается в результате абсолютных измерений)

и измеряется во времени. Есть и такие показатели, которые получаются в результате относительных измерений (например, психологическая подготовка). Кроме того, важность различных этапов также оценивается в результате относительных сравнений, проводимых экспертами (тренерами). Следует отметить возможность получения неожиданных для ЛПР (тренера) решений, в данной задаче. Анализ, который может быть проведен для этого примера, наглядно иллюстрирует теоретические результаты, полученные в [Д11] для условий сохранения и перестановки рангов в случае абсолютных и относительных измерений.

Метод анализа иерархий стал применяться и при построении экспертных систем. Для задач принятие решений классификационного типа в [Д30] описана основанная на фреймах экспертная система с элементами МАИ. Система проводит диагностику текущего состояния затвора плотины и предсказывает его срок службы, основываясь как на структурных, так и на эмпирических точках зрения. Метод также применяется в качестве средства для снижения неопределенности информации в интегрированной системе поддержки приобретения знаний [Д31].

Д.4. ПРОГРАММНЫЕ РЕАЛИЗАЦИИ

В настоящее время имеется несколько программных систем для мини- и микрокомпьютеров, которые реализуют МАИ.

Наиболее известная зарубежная система Expert Choice создана Т. Саати и Э. Форменом Д32, Д33] Это - система поддержки принятия решений, предназначенная для использования на персональных компьютерах IBM PC типа XT, AT и их клонах. Она требует 256K памяти и один двухсторонний НГМД. Стоимость системы около 500 долларов. Система Expert Choice позволяет:

- структурировать сложную проблему в виде иерархии в диалоговом режиме с редактированием;

- воспринимать как количественные (абсолютные), так и качественные (относительные) суждения при оценках; соответственно имеется возможность переключения с вербальной шкалы на численную и обратно;

- изменять суждения с целью достижения лучшего индекса согласованности для матриц парных сравнений, выявлять наиболее несогласованные суждения;

- синтезировать приоритеты нижнего уровня;

- анализировать чувствительность приоритетов;

- использовать подход ранговой шкалы вместо проведения парных сравнений при большом числе альтернатив (до 100);

- прервать работу и продолжить её с прерванного места.

Отметим, что система нашла довольно широкое распространение в различных правительственных и частных организациях США.

В 1988 г. X. Голям-Незад из Мурхедского государственного университета (штат Миннесота, США) предложил новую реализацию программной системы, воспроизводящей МАИ, под названием Decide. Это - система поддержки принятия решений, также предназначенная для использования на персональных компьютерах IBM PC типа XT, AT и их семействах. Основной особенностью системы является то, что в ней применяется непрерывная шкала при высказывании суждений, причём она меняется в диапазоне от нуля до пяти.

В Японии компания Sumitomo Computing Service, модифицировала систему Expert Choice для японских персональных компьютеров Имеется также японская оригинальная версия программной системы, реализующей МАИ, которая разработана компанией JUSF. Inc. под руководством К. Тоне для персональных компьютеров серии NEC РС-9801.

Программные реализации МАИ для персональных компьютеров разработаны также и в Китае (см., например, [Д34], где имеются соответствующие ссылки).

В Советском Союзе основанная на МАИ система поддержки принятия решений, предназначенная для использования мини-ЭВМ СМ-4, разработана в 1985 г. [ДЗ5, Д36]. Система под названием «САЭМА», созданная на языке ФОРТРАН IV, позволяет сохранять несколько моделей иерархий, причем реализована парольная система доступа к модели. Предусмотрены средства редактирования соответствующей иерархии и прерывания работы с ней с возможностью ее возобновления во время других сеансов работы с ЭВМ, а также возможность анализа иерархий большого размера.

В настоящее время (1990 г.) в Институте вычислительной математики им. Н. И. Мусхелишвили АН Грузинской ССР разработана система поддержки принятия решений, предназначенная для пользования на персональных компьютерах IBM PC типа XT, AT и их семействах. Система под названием «ПРАИС» .(поддержка решений анализом иерархических структур) построена в виде открытой системы и включает в себя ряд методов, которые могут быть в дальнейшем дополнены.

Система позволяет решить проблему, для которой может быть построена иерархия в смысле МАИ с использованием различных подходов в зависимости от возможностей экспертов или ЛПР. В случае, когда иерархия и соответствующие оценки вводятся в режиме диалога с компьютером, используется некоторый аналог системы САЭМА. Но предусмотрен такой случай, когда часть информации об иерархии имеется в некотором наборе данных (подготовленном заранее или полученном из какой-либо информационной базы). Другими словами, для некоторой исходной иерархии часть информации существует в обработанном виде. Пользователь формирует «личную» иерархию в виде некоторого поддерева исходной. При этом он может расширять исходную иерархию путем добавления вершин на отдельных уровнях. Таким образом, диалог каждый раз «подстраивается» на получение недостающей информации. В системе предусмотрена возможность работы при неполных сравнениях. В случае, когда эксперты не полностью заполняют матрицы парных сравнений по шкале 1-9, используется модификация МАИ согласно [Д15, Д16].

В системе ПРАИС предусмотрена также групповая экспертная процедура МАИ с применением элементов кластерного анализа. И, наконец, в случае, когда эксперты испытывают затруднения в оценках по шкале отношений, оценивая объекты по дихотомической шкале (больше-меньше, лучше-хуже и т. д.), и более того, в некоторых случаях затрудняются вообще высказать какое-либо мнение при парных сравнениях, в системе ПРАИС для анализа иерархий используется подход, основанный на групповой экспертной процедуре [Д37].

Для решения задачи стратегического планирования, описанной в гл. 6 (подробное описание методологии дано в [Д38]), разработан пакет прикладных программ СТРАТЕГ. Система предусматривает два режима работы: 1) непосредственно описанный в [Д38] и 2) так называемый многопользовательский, который предусматривает заполнение матриц попарных сравнений иерархии и оценку переменных состояния для первой итерации прямого процесса как согласованного мнения всей группы экспертов, а в дальнейшем - работу каждого пользователя (эксперта) отдельно на итерациях первого обратного и последующих прямых и обратных процессов. Затем информация, полученная от каждого эксперта, решающего задачу стратегического планирования, обобщается. Система проводит анализ отклонений в мнениях, а также их причины как для каждой матрицы попарных сравнений, так и по структуре иерархии, создаваемых каждым экспертом. Такая организации процесса позволяет исследователям в полной мере учитывать мнения различных сторон,

при этом пакет прикладных программ СТРАТЕГ приобретает черты экспертной системы

Д.5. НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ОЦЕНКИ

Попытаемся дать некоторую общую оценку МАИ как метода принятия решений. Принятие решений складывается в многодисциплинарную область исследований, в которой работают психологи, математики, экономисты, инженеры, программисты. Полностью присоединяясь к мнению С. В. Емельянова и О. И. Ларичева [Д39], отметим, что эта многодисциплинарность является как бы переходным этапом к появлению повой дисциплины, в рамках которой специалисты будут обладать необходимыми научными знаниями из приведенных выше дисциплин, а также новыми знаниями по проблемам, ранее не рассматривавшимся.

Рассмотрим, насколько удовлетворяет МАИ ряду требований к научному обоснованию методов принятия решений, которые выдвигаются в результате накопления опыт я разработки этих методов.

1. В МАИ способы получения информации от эксперта соответствуют данным психологических исследований о возможностях человека переработать информацию. Действительно, аксиома гомогенности и принцип иерархической декомпозиции приводят в соответствие проблему получения оценок с психометрическими возможностями человека.

2. В МАИ имеется возможность проверки экспертной информации на непротиворечивость посредством индекса и отношения согласованности как для отдельных матриц, так и для всей иерархии. В некоторых программных средствах, реализующих МАИ (Expert Choice, ПРАИС), как было уже отмечено, также предусмотрена возможность проверки экспертной информации путём проверки порядковой транзитивности, а также выявления наиболее несогласованных суждений.

3. Любые соотношения между вариантами решений в МАИ объяснимы на основе информации, полученной от экспертов (четвертая аксиома МАИ [Д8]). Так, анализ приоритетов элементов решения по нисходящим уровням иерархии позволяет помять, как получено то или иное значение вариантов решения.

4. Математическая правомочность решающего правила в МАП прозрачна и базируется на методе собственного значения и принципа иерархической композиции, имеющих чёткое математическое обоснование.

Таким образом, МАИ удовлетворяет четырём основным критериям, обеспечивающим согласно [Д39] всестороннюю научную обоснованность метода принятия решений.

Наряду с научным обоснованием корректности МАИ отделенный интерес представляют границы (пределы) применимости метода. Выделяются пределы трех типов:

1. По возможностям экспертов давать непротиворечивую информацию при увеличении параметров проблемы. В МАИ оперируем гомогенными элементами в пределах одного уровня. Иерархическая декомпозиция, присущая методу, позволяет оперировать со значительным числом в общем случае негомогенных элементов.

2. По трудоемкости для экспертов в МАИ этот показатель напрямую зависит от числа уровней иерархии, числа элементов на каждом из уровней и от полноты иерархии. Подсчет трудоемкости для эксперта при применении МАИ легко может позволить

оценить в каждом конкретном случае целесообразность применения метода для рассматриваемой проблемы.

3. По вычислительной сложности алгоритмов МАИ выгодно отличается от многих методов принятия решений простотой вычислений и наличием надежных программных средств.

Д.6. ТЕМАТИКА ДАЛЬНЕЙШИХ ИССЛЕДОВАНИЙ

Ниже перечислены наиболее интересные темы дальнейших исследований по МАИ (некоторые из этих тем предложены в [Д40, Д6]):

1. Углубление исследований по непрерывным суждениям (в отличие от дискретной шкалы 1-9). В этом направлении известна лишь одна статья [Д41].

2. Экспертные суждения в виде интервальных чисел. Представляется перспективным применение методов интервального анализа [Д42] для разработки соответствующих вычислительных процедур МАИ. В этом направлении некоторый путь намечает предложенная в [Д43] процедура, основанная на технике теории ошибок.

3. Оценка метода собственного вектора в ряду методов построения по заданной матрице парных сравнений объектов оптимального в том или ином смысле их линейного упорядочения. Эта оценка может оказаться полезной при определении границ применимости как самого метода собственного вектора, так и МАИ в целом.

4. Проверка различных групповых методов экспертного оценивания на одних и тех же задачах и поиск общих элементов. Здесь имеется некоторый задел в виде теоретической работы [Д44], а также [Д45]. Заслуживает внимания применение методов кластерного анализа для выявления в группе экспертов однородных (или близких) оценок.

5. Разработка теоретических основ моделирования проблем принятия решений в виде иерархий, которых пока не существует, несмотря на широкое распространение иерархических структур. Возможно, развитие этого подхода будет исходить из областей, в которых применяются иерархические структуры, например моделирование данных в базах данных.

6. Обобщение теоретических результатов, полученных для иерархий и сетевых систем, на многообразия [Д40].

7. Дальнейшее исследование связи главного собственного вектора со степенным законом Вебера-Фехнера. Применение психологических исследований в части адекватного представления человеческих ощущений в числовых шкалах.

8. Исследование чувствительности приоритетов от числа критериев и в более общем случае от размеров и вида иерархии.

9. Исследование структур решения для зависимых от времени и динамических структур. Несмотря на важность этого аспекта для сложных реальных систем, имеющиеся результаты (см., например, [Д46]) все еще не дают практически приемлемых методов.

10. Метод анализа иерархий и анализ риска: развитие теории использования сценариев при анализе риска.

11. Развитие приложений МАИ на теорию игр, в частности, для разрешения конфликтов. Здесь также имеется несколько работ (см., например, [Д47]), которые могли бы стать отправной точкой в исследованиях.

12. Исследование связи МАИ с оптимизацией. В частности, можно ли с помощью МАИ решить общую задачу оптимизации [Д40].

13. Связь МАИ с искусственным интеллектом и экспертными системами. Очевидно, эта тема предоставит широкое поле деятельности для исследователей.

Список литературы к дополнению

Д1. Берж К. Теория графов и ее приложения/Пер. с франц. под ред. И. А. Вайнштейна. - М.: ИЛ, 1962. - 319 с.

Д2. Белкин А. Р. Желательные свойства оптимальных линейных упорядочений// Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. - 1987 - №2.- С. 3-21.

ДЗ. Брук Б. Н., Бурков В. Н. Методы экспертных оценок в задачах упорядочения объектов// Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. - 1972 - №3. - С. 3-11.

Д4. Saaty T. L. An eigenvalue allocation model for prioritization and planning Energy Management and Policy Center. - University of Pennsylvania, 1972.

Д5. Proseedings of International Symposium on the Analytic Hierarchy Process, Tianjin University, Tianjin, China. 6-9 Sept. 1983. - Tianjin, 1988. - 653 p.

Д6. Zahedi F. The Analytic Hierarchy Process - a survey of the method and its applica-tions//Interfaces. - 1986, Vol. 16, №4. - P. 96-108.

Д7. Xu Shubo. References on the analytic hierarchy process//Institute of Systems Engineering. - Tianjin: Tianjin university, 1986. June, 15 p.

Д8. Saaty T. L. Axiomatic foundation of the analytic hierarchy process//Management Science. 1986, July. - Vol. 32, №7. - P. 841-855.

Д9. Saaty T. L., Vargas L. C. Inconsistency and rank preservation//J. of Mathematical Psychology. 1984, June. - Vol. 28. №2. - P. 205—241.

Д10. Saaty T. L. Absolute and relative measurement with the AHP: the most livable cities in the U.S.//Socio-Economic Planning Sciences. - 1986. - Vol. 20, No. 6. -P. 327-331.

Д11. Saaty T. L. Concepts, theory and techniques: rank generation, preservation and reversal in the analytic hierarchy process//Decision Sciences. - 1987. - Vol. 18. -P. 157-177.

Д12. Saaty T. L. Generalization of Perron's theorem to hierarchic composition. - Unpublished manuscript. - University of Pittsburg, 1984.

Д13. Barbeau E. Perron's result and decision on admission tests//Mathematics Magazine. - 1986, January. - P. 16-22.

Д14. Подиновский В. В., Ногин В. Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. - М.: Наука, 1982. - 256 с.

Д15. Harker Р. Т. Alternative models of questioning in the analytic hierarchy proc-ess//Mathematical Modelling. - 1987. - Vol. 9. № 3-5.

Д16. Takeda E., Yu P. L. Eliciting the relation weights from incomplete reciprocal matri-ces//Proceedings of International Symposium on the Analytic Hierarchy Process. Tianjin university, Tianjin, China, 6-9 Sept. 1988. - Tianjin, 1988. - P. 192-200.

Д17. Dubois D., Prade H. Fuzzy sets and systems: theory and application. - New-York. Academic Press, 1980. - 393 p.

Д18. Вачнадзе Р. Г., Маркозашвили Н. И. К вопросу об определении нечетких чи-сел//Сообщения АН ГССР. - 1982. - Т. 108. №1. - С. 45-48.

Д19. Vargas L. G. Reciprocal matrices with random coefficients//Mathematical Modeling. - 1982. - Vol. 3, №1. - P. 69-81.

Д20. Saaty T. L., Vargas L. G. Uncertainty and rank order in the analytic hierarchy process//Socio-Economic Planning sciences. - 1986. - Vol. 20, №6.

Д21. Van Laathoven. A fuzzy extension of Saaty's priority theory//'Fuzzy Sets and Systems. 1983. - Vol. 11, №3. - P. 229-241.

Д22. Buckley J. J. Fuzzy hierarchycal analysis//Fuzzv Sets and Systems. - 1985. -Vol. 17, №3. - P. 233-247.

Д23. The Analytic hierarchy process: applications and studies//B. Golden, E. Wasil, Р. Harker, Eds. - New-York: Springer-Verlag. 1989. - 265 p.

Д24. Gass S. I. On setting goal-programming weights using the AHP//Proceedings of International Symposium on the Analytic Hierarchy Process, Tianjin university, Tianjin, China, 6-9 Sept. 1988. - Tianjin, 1988. - P. 32-36.

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление