Главная > Нечеткие вычисления > Принятие решений. Метод анализа иерархий
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. МАТРИЦЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ

В этом приложении приводится краткое введение в алгебру матриц и задачи о собственном значении.

Матрицы и линейные системы уравнений

Матрица A - это прямоугольная таблица, включающая массив из чисел, расположенных в m строк и n столбцов. Число или элемент матрицы A в строке и столбце обозначается через Таким образом, имеем -матрицу

Обычно матрицу A обозначают через и определяют число ее строк и столбцов. Индексы i и j относятся к той строке и столбцу соответственно, в которых расположен элемент. Матрица называется квадратной порядка n, если

Строки и столбцы матрицы A называют векторами. Матрица A может состоять из единственного вектора-строки или вектора-столбца. В этом случае достаточно приписать к ее элементам один индекс. Например, есть вектор-строка. Диагональные элементы квадратной матрицы A порядка n будут Диагональная матрица A обладает свойством для всех i и j при . Некоторые из диагональных элементов - ненулевые. Если также все для всех i, то A называют нулевой матрицей и обозначают O. Единичная матрица I - это диагональная матрица для всех i. Треугольная матрица A - это квадратная матрица для или для Транспонированная матрица к матрице обозначается и определяется заменой элемента A в положении i, j элементом в положении т. е. для получения нужно поменять местами строки и столбцы A, поворачивая матрицу относительно главной диагонали. Так как две матрицы равны, если равны их соответствующие элементы, можно определить симметрическую матрицу Для кососимметрической матрицы при Для эрмитовой матрицы (элемент является комплексно-сопряженным с элементом ). Определим также обратносимметричную матрицу, для которой при . Матрица положительна, если для всех i и j, и неотрицательна, если Кроме того, если для всех i и

Существуют правила сложения, вычитания, умножения и «деления» матриц A и Эти операции составляют алгебру матриц, в некотором роде подобную алгебре

обычных чисел, однако следует быть осторожным, так как не все правила, пригодные для обычных чисел, применимы к матрицам, составляющим более общую алгебру. В то же время матрица порядка это просто число, которое называется скаляром, и все правила, применимые для матриц вообще, могут применяться к этому специальному виду матриц, т. е. к обычным числам.

Исторически матрицы появились как стенографический метод записи коэффициентов системы уравнений. В общем случае система из m уравнений с n неизвестными обычно бывает задана в виде

Записывать такую систему легче, если коэффициенты, т. е. массив отделить от переменных Тогда который повторяется в каждой строке, можно записать только один раз таким образом:

Если записать в виде столбца, то правило для восстановления исходной системы таково: каждый связан с соответствующим например дает Таким образом, двигаясь вдоль строк коэффициентов и одновременно вниз по столбцу можно получить соответствующее соединение. Эта простая операция - основа для общего правила умножения матриц.

Можно обозначить как вектор - как вектор Отметим, что в общем случае число элементов не равно числу элементов у. Произведение -матрицы на - матрицу возможно только в случае в результате получается матрица размерности Поэтому, если т. е. вторая матрица суть вектор, то произведение также будет вектором. Чтобы избежать путаницы, следует помнить, что буквы с индексами обозначают элементы матриц или векторов, а буквами без индексов обозначены вся матрица или вектор. Сложение и умножение матриц можно соотнести с операциями над системами уравнений.

Рассмотрим вновь систему уравнений:

и предположим, что есть другая система уравнений:

Поскольку элементы являются общими для обеих систем, для объединения этих двух систем следует сложить первое уравнение первой системы с первым уравнением второй системы, сгруппировать подобные члены, перейти ко вторым уравнениям, проделав то же самое и т. д.:

Это дает тот же результат, что и применение для матриц коэффициентов правила сложения. Допустим, A - матрица коэффициентов первой системы, матрица коэффициентов второй системы. Тогда для их сложения описанным выше образом A и B должны быть одного и того же порядка. Правило такое:

соответствующие элементы в матрицах суммируются.

Имеем

Конкретнее

Правило сложения может быть распространено на любое число матриц одного и того же порядка:

Аддитивная обратная матрицы есть матрица - такая, что

По отношению к аддитивности существует ассоциативность

и коммутативность

Допустим, нужно умножить уравнения на некоторую константу (или скаляр) а (еще один способ, применяемый в элементарной алгебре для решения системы уравнений). Если это проделать следующим образом:

то т. е. существует правило: для умножения матрицы A на скаляр а следует каждый ее элемент умножить на а

Например,

Сочетанием умножения на скаляр и сложения можно выразить правило для линейной комбинации матриц

где а, к - скаляры.

Рассмотрим следующий набор уравнений, выражающих через

Рассмотрим также второй набор уравнений, выражающих через у,

Выразим через Это реализуется подстановкой из первой системы во вторую. Получаем в зависимости от

Здесь коэффициент при получен в результате суммирования произведений. Это произведения коэффициентов при соответственно в выражении для на соответствующий коэффициент при из трёх уравнений для Аналогично получаются коэффициенты при Для получаем:

Всё это можно проделать, умножая матрицу коэффициентов первой системы на матрицу коэффициентов второй системы.

Для этих матриц запишем

через

Умножение производится для получения коэффициентов в скобках, связывающих Так, элемент в позиции 1,1 результирующей матрицы получается умножением элементов первой строки исходной матрицы, расположенной слева, на соответствующие элементы первого столбца исходной матрицы, расположенной справа, и суммированием, т. е.

Элемент 2 в позиции 2,3 получается в результате умножения элементов второй строки исходной матрицы, расположенной слева, на элементы третьего столбца исходной матрицы, расположенной справа. Имеем

В общем случае, при умножении матриц для получения имеем для элемента в позиции i, j матрицы

т. е. 1-я строка столбец B умножаются на коэффициенты в соответствующих позициях, указанных индексом к, и затем суммируются. Ясно, что умножение имеет смысл только в том случае, если A - матрица размерности матрица размерности

Для приведенных ниже A и B матрица C будет следующей:

где

Произведения матриц удовлетворяют: закону ассоциативности

закону дистрибутивности относительно сложения

ассоциативности относительно умножения на скаляр: Так, если к и к равны 1 или -1, имеем

В общем случае произведение матриц некоммутативно. Например, если

Это означает, что при Также из имеем Но отсюда нельзя заключить, что либо либо

Тем не менее сложение матриц удовлетворяет всем свойствам сложения чисел. Например, из следует, что

Умножение любой матрицы на скалярную матрицу (диагональную матрицу, все диагональные элементы которой равны) есть не что иное, как умножение матрицы на константу. Так, например,

Отметим, что Обратная матрица если она существует, представляет собой матрицу, которая обозначается и удовлетворяет соотношению Имеем Две матрицы A и B называются ортогональными, если Матрицы и симметричны.

Примечание. Заметим, что в произведении матриц с, формируется при участии вектора-строки A и вектора-столбца B. В общем случае произведение

двух векторов называется скалярным или точечным произведением и обозначается . Оно получается в результате умножения соответствующих компонент и сложения.

Длина вектора обозначается и определяется как что является евклидовой длиной. Из аналитической геометрии известно, что угол в между любыми двумя прямыми, направляющие которых суть удовлетворяет выражению

Поэтому Заметим, что два вектора (1,3,2) и ортогональны.

С матрицей A порядка n ассоциируется число, которое называется ее определителем (детерминантом) и обозначается или Определитель - это алгебраическая сумма всех возможных произведений n элементов, в каждом из которых имеется один элемент из каждой строки и каждого столбца Можно расположить элементы каждого члена этой суммы в порядке, соответствующем порядку столбцов Получим n вариантов для элементов первого столбца, затем вариантов для элементов из второго столбца, два варианта для элементов предпоследнего столбца и один для элементов последнего столбца. Это дает вариантов. (Произведение первых n положительных целых чисел называется n-факториал и обозначается Каждому варианту соответствует отдельное слагаемое. Следовательно, определитель порядка n состоит из n! слагаемых.

В алгебраической сумме каждому слагаемому придается положительный или отрицательный знак в соответствии со следующим правилом. Расположим элементы каждого слагаемого в соответствии с порядком столбцов матрицы и рассмотрим последовательность индексов соответствующих строк. Эту последовательность можно построить перестановками пар элементов в последовательности натуральных чисел Если число перестановок четное (нечетное), знак слагаемого будет положительным (отрицательным). Следовательно, знак будет где s - число перестановок. Например, слагаемое в определителе матрицы A размерности приводит к последовательности строчных индексов 2, 3, 1. Чтобы привести эту последовательность к форме 1, 2, 3, следует провести две перестановки: переставить 1 и 2, а затем переставлять 2 и 3. Две перестановки приводят к положительному знаку слагаемого. Слагаемому со строчными индексами 1, 3, 2 требуется одна перестановка элементов 3 и 2 для приведения к форме 1, 2, 3. Следовательно, слагаемое получает отрицательный знак. Применяя это правило, легко увидеть, чему равен определитель матрицы

Из многих известных свойств определителей отметим следующие: если строка или столбец умножается на а, то определитель A умножается на а;

однако перестановка строки соответствующим столбцом не изменяет перестановка двух строк или двух столбцов в матрице A изменяет знак определитель равен нулю, если два столбца или две строки матрицы A идентичны или же один из них получается умножением другого на постоянную; если столбец например первый, имеет вид то - сумма двух определителей; первый столбец первого определителя будет а второго - остальные столбцы остаются неизменными как Отсюда следует, что определитель не меняется, если добавить к любому столбцу другой столбец, умноженный на постоянную; если A - треугольная матрица, то

Ранг матрицы A есть порядок наибольшего квадратного массива (подматрицы), детерминант которого не равен нулю. Квадратная матрица - невырожденная, если ее ранг равен ее порядку, т. е. Если то матрица A будет вырожденной. Например, матрица, каждая строка которой может быть получена умножением одной строки на некоторую постоянную, не только вырожденная, но и имеет единичный ранг.

Порядок разложения (раскрытия) определителя таков: минор элемента - это определитель матрицы, полученной вычеркиванием строки и столбца.

Сомножитель элемента будет

Для разложения по строке имеем

Аналогично проводится разложение по столбцу.

Матрицу называют присоединенной к матрице если ее элементом является Из приведенного выше уравнения видно, что . Следовательно, матрица А обратима (т. е. имеет обратную матрицу) тогда и только тогда, когда (т. е. матрица А - невырожденная), и в этом случае

Рассмотрим линейную систему уравнений

В матричной записи эта система имеет вид

где А - матрица коэффициентов:

и b - векторы-столбцы:

Когда т. е. некоторые из элементов ненулевые, система называется неоднородной; в противном случае систему называют однородной.

Если матрица А - невырожденная, то у нее есть обратная матрица и можно записать единственное решение неоднородной системы Правило Крамера обеспечивает удобный способ решения неоднородной системы, эквивалентный вышеприведенному способу, но оно включает использование определителей, а не обращение матриц. Компонента вектора - это дробь, числитель которой - определитель матрицы, полученной из А заменой столбца А вектор-столбцом b, а знаменатель - определитель Отметим, что при решении однородной системы числитель всегда равен нулю и, следовательно, не существует иного решения, кроме тривиального за исключением случая, когда матрица А - вырожденная и ее определитель равен нулю. Если определитель также равен нулю, то нужен удобный способ получения ненулевого решения, так как правило Крамера приводит к неопределенному выражению (нуль, деленный на нуль) для

Имеются различные пути получения решения в этом случае. Наиболее известны методы исключения, в которых одно уравнение решается относительно неизвестного и его значение подставляется в другие уравнения. Если переменных больше, чем уравнений, то избыточным или независимым переменным присваиваются произвольные значения для определения оставшихся (зависимых) переменных.

Условимся все векторы считать вектор-столбцами и будем применять транспонирование для обозначения соответствующих векторов-строк. Чтобы это не привело к путанице, иногда будем применять символ без знака транспонирования. Система векторов будет линейно независимой, если для любых чисел из равенства

(где правая часть является нулевым -компонентным вектором) следует, что

Поэтому ни один из векторов линейно независимой системы не может быть получен в результате умножения других на постоянную и сложения. В противном случае векторы будут линейно зависимыми, т. е. приведенное выше условие выполняется не для всех не равных нулю.

Линейная комбинация векторов - это сумма вида Z, где произвольные числа. Линейная комбинация называется выпуклой комбинацией если Говорят, что множество векторов формирует базис пространства -компонентных векторов (-векторов), если: они линейно независимы;

любой вектор является их линейной комбинацией (то же самое, что сказать, что они дополняют пространство).

В пространстве -векторов базис должен состоять n векторов. В частности, система векторов элементы которой равны нулю, кроме равного единице, формирует базис пространства -векторов.

Отметим, например, что - линейно независимые, так как

Для того чтобы этот вектор был нулевым вектором (0,0,0), нужно иметь Векторы - линейно зависимые, так как требование того, чтобы было (0,0), даёт что выполняется при которые могут быть и не нулями. Для нахождения коэффициентов в нужно решить систему линейных уравнений. Например, приводит к двум уравнениям

Множество всех векторов, которые являются линейными комбинациями n линейно независимых векторов (единичных векторов), называется n-симплексом (единичным n-симплексом).

Так как строки и столбцы матрицы являются векторами, получается, что ранг матрицы - это максимальное число линейно независимых строк, а это то же самое, что и максимальное число линейно независимых столбцов. В матрице единичного ранга любая строка (столбец) - это произвольный постоянный множитель единственной строки (или столбца).

Два вектора (как и две матрицы) ортогональны, если где записан как вектор-строка, а - как вектор-столбец. Существует стандартная процедура преобразования множества n линейно независимых векторов в множество попарно ортогональных векторов. Если исходное множество формирует базис, новое множество также формирует базис, и он называется ортогональным базисом.

Характеристическое уравнение: собственные значения и собственные векторы

Собственный вектор (характеристический вектор) матрицы А - это такой ненулевой вектор w, что или преобразует w в т. е. оставляет инвариантным. Величины , соответствующие такому w, называются собственными значениями (характеристическими значениями) матрицы Следовательно, w будет собственным вектором, если он является нетривиальным (т. е. ненулевым) решением уравнения для некоторого числа . Компоненты w составляют множество решений однородной линейной системы с матрицей Такая система фактически имеет тривиальное решение где Но для получения нетривиального решения матрица должна быть вырожденной, т. е. ее определитель должен быть равен нулю. Этот определитель представляет собой полином степени от . Он имеет вид

и называется характеристическим полиномом матрицы Условие равенства определителя нулю ведёт к уравнению степени, которое называется характеристическим уравнением матрицы Это уравнение согласно теореме Гамильтона-Кэли тождественно равно нулю, если заменить на А, (т. е. получая матричное уравнение). Корни характеристического уравнения являются искомыми собственными значениями. Основная теорема алгебры утверждает существование -корней для полиномиального уравнения степени Собственные векторы получаются в результате решения соответствующей системы уравнений . Следует обратить внимание на получение всех собственных векторов, когда имеются кратные корни.

Отметим, что

и корни характеристического уравнения, являясь корнями уравнения степени, удовлетворяют

и

Это можно увидеть, разлагая факторизацию характеристического полинома. Отметим, что характеристическое уравнение может иметь кратные корни, и, следовательно, общее число различных корней может быть меньше, чем Очевидно, что кратный корень кратности к появится в факторизации в виде Для простого корня

Так как - постоянная, из и имеем

Следовательно, - собственное значение и аналогично - собственное значение , т. е.

Пример. Рассмотрим матрицу

Так как в данном случае характеристическое уравнение квадратное, решим его, используя хорошо известную квадратичную формулу для нахождения корней такого уравнения. Для собственных значений имеем

и чтобы получить собственный вектор, соответствующий запишем т.е.

или

откуда

Так как матрица - вырожденная, существует зависимость между её строками, и поэтому второе уравнение не содержит новой информации. Собственный вектор w получается в результате присваивания произвольного значения и вычисления согласно полученному выше соотношению. Присвоим значение 1. Тогда имеем

Можно нормализовать w, приравнивая сумму коэффициентов единице. Разделим каждый коэффициент на сумму которая равна Получим результирующий нормализованный вектор

Поскольку умножение на постоянную не влияет на решение уравнения будем рассматривать собственные векторы w всегда в нормализованном виде. Аналогично можно получить собственный вектор, соответствующий Собственные значения как корни любого полиномиального уравнения можно получить, используя различные стандартные численные методы. В настоящее время существуют пакеты компьютерных программ для нахождения этих корней. Для уравнения, являющегося характеристическим уравнением матрицы, существуют компьютерные программы, которые для данной матрицы находят собственные векторы.

Собственные значения матрицы, будучи корнями ее характеристического уравнения, могут быть комплексными числами и, следовательно, попарно комплексносопряженными. Напомним, что комплексное число имеет вид где и b - действительные числа. Модуль такого числа обозначается и равен

Если элементы матрицы - действительные и она симметричная, все ее собственные значения действительны. Собственные ректоры, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. Этим же свойством обладает эрмитова матрица. Матрицы А и И имеют одни и те же собственные значения, но в общем случае не одни и те же собственные векторы.

Следующая теорема (см. [48]) может быть применена к

если использовать непрерывное преобразование, например логарифмическую функцию. Теорема утверждает, что собственные значения матрицы непрерывно зависят от ее коэффициентов (это то же, что непрерывная зависимость корней полинома от его коэффициентов).

Теорема. Если произвольная матрица имеет собственные значения где кратность , есть m, с то при заданном, достаточно малом существует , такое, что при для матрица имеет ровно m, собственных значений в окружности для каждого являются собственными значениями

Доказательство. Определим

Пусть Окружности -непересекающиеся. Пусть для на Заметим, что определен, так как f - непрерывная функция Также поскольку корни являются центрами окружностей.

Определитель - непрерывная функция переменных и и, следовательно, для некоторых , для на любой если Из теории функций комплексной переменной известно, что число m, корней уравнения лежащих внутри окружности определяется формулой

которая из-за является непрерывной функцией переменных в . В частности, это непрерывная функция при

Теперь для по предположению имеем n Так как интеграл непрерывен, не может быть скачка с n (А) на они должны быть равны и иметь общее значение для всех B с

Существуют различные способы оценки , здесь представлен один из хорошо известных:

Например, для обратносимметричной матрицы размерности

Аналогичное вычисление для обратносимметричной матрицы размерности дает

Отметим, что слагаемые компенсируют друг друга, так как коэффициент в числителе одного члена также появляется в знаменателе следующего. Поэтому возрастание этого коэффициента увеличивает один член и уменьшает другой. В общем случае это неверно для необратносимметричных матриц.

Часто встречаются функции матрицы А, такие, как степени и экспоненты. Имеет смысл рассмотреть такие функции. Существует следующая теорема из этой области, принадлежащая Сильвестру (см. ):

Здесь к - количество различных характеристических значений матрицы А; - кратность корня - (формальная) производная порядка, вычисленная при - полные ортогональные идемпотентные матрицы матрицы т. е. они обладают свойствами

где I и O - единичная и нулевая матрицы соответственно.

При различных характеристических значениях для матрицы А порядка n имеем [64]

где

Для иллюстрации того, как это получается когда f является полиномом матрицы отметим, что из полинома степени матрица может быть выражена через низшие степени А и, следовательно, f всегда может быть сведена к полиному степени, не превышающей Если написать

и умножить выражение справа последовательно на - характеристический вектор с учетом того, что , и, следовательно, то получим

что и дает искомый результат.

При и различных характеристических значениях А имеем спектральное разложение f (А), заданное выражением

Случай кратных характеристических корней выводится из иного варианта теоремы Сильвестра. Если напишем для краткости

где к - количество различных корней, тогда

Здесь относится к кратности корня А., а

где

есть производная F порядка m, а

Заметим, например, что

Рассмотрим систему

или просто

Исходя из формулы Сильвестра при имеем

и применим ее для получения решения системы.

Аналогично можно показать, что если

то

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление