Главная > Нечеткие вычисления > Принятие решений. Метод анализа иерархий
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

1.4. ПРИОРИТЕТЫ В ИЕРАРХИЯХ

Иерархия, в том виде, в каком она представлена в предыдущем разделе, является более или менее заслуживающей доверия моделью реальной ситуации. Она отражает проведенный нами анализ наиболее важных элементов и их взаимоотношений, однако она - не достаточно мощное средство в процессе принятия решений пли планирования. Необходим метод определения силы, с которой различные элементы одного уровня влияют на элементы предшествующего уровня, чтобы можно было вычислять величину воздействий элементов самого низкого уровня на общую цель.

Таблица 1.1. Общее построение иерархий и декомпозиция

Для большей ясности возвратимся к иерархии колледжа из предыдущего раздела. Как уже было отмечено, нас интересует «сценарий, по которому с наибольшей вероятностью будет обеспечено продолжительное существование колледжа». Для определения этого сценария сначала находим важность сил относительно общей цели. Затем для каждой силы определяем степень влияния акторов на эту силу. Отсюда несложным вычислением получаем степень влияния акторов на общую цель. Затем оцениваем важность целей для каждого актора и, наконец, определяем действенность различных сценариев в обеспечении достижения каждой цели. Повторив несколько раз упомянутые выше вычисления, получим «наилучший» сценарий.

Определим «степень влияния», или приоритеты, элементов одного уровня относительно их важности для элемента следующего уровня. Здесь представим только

наиболее элементарные аспекты нашего метода. Психологическая мотивация и математические основы метода будут изложены позже.

Введем некоторые понятия. Матрица - это массив чисел в виде прямоугольной таблицы, например

Горизонтальная последовательность чисел в матрице называется строкой, а вертикальная - столбцом. Матрица, состоящая только из одной строки или из одного столбца называется вектором, а с одинаковым числом строк и столбцов - квадратной. Полезно отметить, что с квадратной матрицей ассоциируются ее собственные векторы и соответствующие собственные значения. Пусть читателя не обескураживают эти понятия, поскольку подробное их объяснение будет дано в последующих главах.

Наш метод можно описать следующим образом. Допустим, заданы элементы одного, скажем, четвертого уровня иерархии и один элемент I следующего более высокого уровня. Нужно сравнить элементы четвертого уровня попарно по силе их влияния на , поместить числа, отражающие достигнутое при сравнении согласие во мнениях, в матрицу и найти собственный вектор с наибольшим собственным значением. Собственный вектор обеспечивает упорядочение приоритетов, а собственное значение является мерой согласованности суждений.

Определим шкалу приоритетов для следующего примера. Пусть A, B, С и D обозначают стулья, расставленные по прямой линии, ведущей от источника света. Создадим шкалу приоритетов относительной освещенности для стульев. Суждения производит человек, стоящий около источника света, у которого, например, спрашивают: «Насколько сильнее освещенность стула B по сравнению с » Он отвечает одним из чисел для сравнения, записанных в таблице, и это суждение заносится в позицию (В, С) матрицы. По соглашению сравнение силы всегда производится для действия или объекта, стоящего в левом столбце, по отношению к действию или объекту, стоящему в верхней строке. Мы имеем матрицу попарных сравнений для четырех строк и четырех столбцов (матрица ).

Условимся, что это следующие числа. Пусть заданы элементы A и B; если:

• A и B одинаково важны, заносим 1;

• A незначительно важнее, чем B, заносим 3;

• A значительно важнее B, заносим 5;

• A явно важнее B, заносим 7;

• A по своей значительности абсолютно превосходит B, заносим 9 в позицию , где пересекаются строка A и столбец В.

При сравнении элемента с самим собой имеем равную значительность, так что на пересечении строки A со столбцом A в позиции заносим 1. Поэтому главная диагональ матрицы должна состоять из единиц. Заносим соответствующие обратные величины: 1/3, ..., или 1/9 на пересечениях столбца A и строки B, т. е. в позицию для обратного сравнения B с A. Числа 2, 4, 6, 8 и их обратные величины используются для облегчения компромиссов между слегка отличающимися от основных чисел суждениями. Используем также рациональные числа для получения

отношений из описанных выше значений шкалы, когда желательно увеличить согласованность всей матрицы при малом числе суждений (не менее n -1).

В общем случае, под согласованностью подразумевается то, что при наличии основного массива необработанных данных все другие данные логически могут быть получены из них. Для проведения парных сравнений n объектов или действий при условии, что каждый объект или действие представлены в данных по крайней мере один раз, требуется (n -1) суждений о парных сравнениях. Из них можно просто вывести все остальные суждения, используя следующее отношение: если объект в 3 раза превосходит объект и в 6 раз превосходит то Следовательно, или Если численное значение суждения в позиции (2, 3) отличается от 2, то матрица будет несогласованной. Это случается часто и не является бедствием. Даже при использовании для суждений всех действительных чисел до тех пор, пока не будет суждений по основным (n -1) объектам, получить согласованные числа невозможно. Добавим, что для большинства задач очень трудно определить (n -1) суждений, связывающих все объекты или виды действия, одно из которых является абсолютно верным.

Известно, что согласованность положительной обратно-симметричной матрицы эквивалентна требованию равенства ее максимального собственного значения . Можно также оценить отклонение от согласованности разностью , разделенной на (n -1).

Заметим, что неравенство всегда верно. Насколько плоха согласованность для определенной задачи, можно оценить путем сравнения полученного нами значения величины с ее значением из случайно выбранных суждений и соответствующих обратных величин матрицы того же размера. На странице даны соответствующие цифры для таких элементов. Более подробно согласованность обсуждается в следующих главах.

Вернемся теперь к нашему примеру освещенности стульев. В матрице для наших чисел имеется 16 полей. Четыре из них уже определены, а именно те, что находятся на диагонали, и равны единице, так как, например, стул A имеет одинаковую освещенность по отношению к самому себе. Для оставшихся после заполнения диагонали 12 чисел нужно провести шесть сравнений, поскольку остальные шесть являются обратными сравнениями и их оценки должны быть обратными величинами к оценкам первых шести. Допустим, что человек, используя рекомендованную шкалу, вносит число 4 в позицию , так как полагает, что интенсивность освещенности стула B по сравнению со стулом С находится между слабой и сильной. Тогда в позицию автоматически заносится обратная величина, т. е. 1/4, что не обязательно, но в общем случае рационально. После проведения оставшихся пяти суждений, а также занесения их обратных величин, для всей матрицы получим

Следующий шаг состоит в вычислении вектора приоритетов по данной матрице. В математических терминах это - вычисление главного собственного вектора, который после нормализации становится вектором приоритетов. В следующей главе будет показано, что относительная освещенность стульев, выраженная этим вектором, удовлетворяет закону обратного квадрата в оптике. В отсутствие ЭВМ, позволяющей точно решить эту задачу, можно получить грубые оценки этого вектора следующими четырьмя способами, которые представлены ниже в порядке увеличения точности оценок.

1. Суммировать элементы каждой строки и нормализовать делением каждой суммы на сумму всех элементов; сумма полученных результатов будет равна единице. Первый элемент результирующего вектора будет приоритетом первого объекта, второй - второго объекта и т. д.

2. Суммировать элементы каждого столбца и получить обратные величины этих сумм. Нормализовать их так, чтобы их сумма равнялась единице, разделить каждую обратную величину на сумму всех обратных величин.

3. Разделить элементы каждого столбца на сумму элементов этого столбца (т. е. нормализовать столбец), затем сложить элементы каждой полученной строки и разделить эту сумму на число элементов строки. Это - процесс усреднения по нормализованным столбцам.

4. Умножить n элементов каждой строки и извлечь корень степени. Нормализовать полученные числа.

Для простой иллюстрации того, что методами 1, 2 и 3 получаем предполагаемые ответы, используется урна с тремя белыми (Б), двумя черными (Ч) и одним красным (К) шарами. Вероятность извлечения Б, Ч или К шара, соответственно: 1/2, 1/3, 1/6. Легко убедиться, что любым из первых трех методов эти вероятности получатся при использовании следующей согласованной матрицы попарных сравнений. Метод 4 дает такой же результат.

Отметим, что в общем случае, когда матрица не согласована, эти методы дают различные результаты. Применим различные методы оценки решения в примере со стульями. Метод 1 дает сумму строк этой матрицы в виде вектора-столбца, который для экономии места напишем в виде строки (19,00; 11,20; 5,42; 1,56). Сумма всех элементов матрицы получается путем сложения компонент этого вектора и равна 37,18. Разделив каждую компоненту вектора на это число, получим записанный в виде строки (0,51; 0,30; 0,15; 0,04) вектор-столбец приоритетов относительной освещенности стульев A, В, С и D соответственно.

Метод 2 дает сумму столбцов этой матрицы в виде вектора-строки (1,51; 6,43; 11,25; 18,00). Обратными величинами этих сумм являются (0,66; 0,16; 0,09; 0,06), а после нормализации становятся (0,68; 0,16; 0,09; 0,06).

Методом 3 нормализуем каждый столбец (складываем компоненты и делим каждую компоненту на эту сумму) и получаем матрицу

Сумма строк является вектором-столбцом (2,36; 0,98; 0,46; 0,20), который после деления на размерность столбцов 4 позволяет получить вектор-столбец приоритетов (0,590; 0,245; 0,115; 0,050).

Метод 4 дает (0,61; 0,24; 0,10; 0,04).

Точное решение задачи, которое изложено далее, получается путем возведения матрицы в произвольно большие степени и деления суммы каждой строки на общую сумму элементов матрицы. С точностью до одной сотой это решение будет (0,61; 0,24; 0,10; 0,05).

Сравнивая полученные результаты, отметим, что точность повышается от 1 к 2 и далее к 3, однако одновременно усложняются вычисления. Если матрица согласована,

то во всех четырех случаях векторы приоритетов будут одинаковыми. В случае несогласованности очень хорошее приближение можно получить только с помощью метода 4.

Полагая, что читателю известен способ умножения матрицы на вектор, приведём метод получения грубой оценки согласованности.

Умножив матрицу сравнений справа на полученную оценку вектора решения, получим новый вектор. Разделив первую компоненту этого вектора на первую компоненту оценки вектора решения, вторую компоненту нового вектора на вторую компоненту оценки вектора решения и т. д., определим еще один вектор. Разделив сумму компонент этого вектора на число компонент, найдем приближение к числу (называемому максимальным или главным собственным значением), используемому для оценки согласованности, отражающей пропорциональность предпочтений. Чем ближе к n (числу объектов или видов действия в матрице), тем более согласован результат.

Как будет ясно из теоретического обсуждения в последующих главах, отклонение от согласованности может быть выражено величиной которую назовем индексом согласованности (ИС).

Индекс согласованности сгенерированной случайным образом по шкале от 1 до 9 обратно-симметричной матрицы с соответствующими обратными величинами элементов, назовем случайным индексом (СИ). В Национальной лаборатории Окриджа коллеги (см. гл. 3) сгенерировали средние СИ для матриц порядка от 1 до 15 на базе 100 случайных выборок. Как и ожидалось, СИ увеличивались с увеличением порядка матрицы. Так как величина выборки была только 100, наблюдались статистические флуктуации в индексе при переходе от матрицы одного порядка к другому. Поэтому вычисления были повторены в школе Уортона для величины случайной выборки 500 в матрицах порядка до а далее использовались предыдущие результаты для . Ниже представлены порядок матрицы (первая строка) и средние СИ (вторая строка), определенные так, как описано выше:

Отношение ИС к среднему СИ для матрицы того же порядка называется отношением согласованности (ОС). Значение ОС, меньшее или равное 0,10, будем считать приемлемым.

Чтобы проиллюстрировать на примере наши приближенные вычисления ИС, для нахождения используем приведенную выше матрицу и третий вектор-столбец, полученный методом 3. После умножения матрицы справа на вектор приоритетов (0,59; 0,25; 0,11; 0,05) имеем вектор-столбец (2,85; 11,11; 0,47; 0,20). Разделив компоненты этого вектора на соответствующие компоненты первого вектора, получим (4,83; 4,44; 4,28; 4,00), а в результате усреднения последних - 4,39. Отсюда Для определения того, насколько хорош этот результат, разделим его на соответствующий Отношение согласованности что, пожалуй, не так уж близко к 0,10.

Эти сравнения и вычисления устанавливают приоритеты элементов некоторого уровня иерархии относительно одного элемента следующего уровня. Если уровней больше, чем два, то различные векторы приоритетов могут быть объединены в матрицы приоритетов, из которых определяется один окончательный вектор приоритетов для нижнего уровня.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление