Главная > Нечеткие вычисления > Принятие решений. Метод анализа иерархий
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

9.4. КРАТКОЕ СРАВНЕНИЕ МЕТОДА СОБСТВЕННОГО ЗНАЧЕНИЯ С ДРУГИМИ МЕТОДАМИ, ИСПОЛЬЗУЮЩИМИ ШКАЛЫ ОТНОШЕНИЙ

В своей краткой статье Шепард [146] указывает, что исследования по матрицам превосходства и соответствующим измерениям не были такими обширными, какими были исследования по трем другим типам: близости, сечению и совместимости. Мы, по существу, интересовались матрицами превосходства и их использованием для получения шкал отношения и далее для измерения иерархических воздействий. Сравним этот метод с другими исследованиями. Мы надеемся, что нас простят за не такое полное сравнение, как хотелось бы некоторым читателям. В действительности, суть идеи была сымпровизирована и развилась полностью из приложений. Затем ей нужно было придать законченный вид в основном потоке печатных трудов.

В модели сравнительных суждений Терстона [162] требуются парные сравнения объектов только в том смысле, что один более предпочтителен, чем другой. Он собирает информацию о стимулах в предположении нормальности процесса суждений. При дополнительных требованиях к параметрам, например при равных дисперсиях или нулевых ковариациях, он собирает различную «метрическую» информацию о стимулах.

Если к экспертов сравнивают объектов и если f - эмпирическая частота, соответствующая числу предпочтений экспертами объекта i над объектом j, то доля с которой i предпочтительнее

Терстон в [162] постулировал, что распределение всех различающихся процессов, которые определяются стимулом i, нормально относительно модального различающего процесса (или среднего). Средний различающий процесс ассоциируемый со стимулом i, называется значением в шкале стимула, а дисперсия различающего процесса обозначается через . В предположении о нормальности , может быть выражено как стандартное нормальное отклонение Поэтому когда и это имеет место в случае Если то считается, что различающий процесс j выше, чем i. Имеем

Распределение разностей нормально со стандартным отклонением

где - корреляция между

Имеем закон сравнительных суждений

Каждая пара будет обладать таким разложением. Для четырёх объектов имеется шесть таких уравнений с 14 неизвестными: 4 искомых значения шкалы, 4 стандартных отклонения и 6 взаимных корреляций. Известны только Поэтому невозможно получить единственное решение системы. В качестве первого приближения можно предположить, что все стандартные отклонения равны с а все взаимные корреляции равны . В результате получим

Величина в скобках - постоянная и может служить как общая единица разделения шкал различных пар стимулов: ее можно установить равной единице.

Если обозначить

то, полагая можно показать, что

С подходом Терстона связывают ряд ограничений. Например, Гилфорд [59] рекомендует ограничить диапазон вероятностей.

Торгерсон [163] систематизировал и распространил метод Терстона на шкалирование, в частности на случай, когда ковариационные члены постоянны, корреляции равны, а распределения гомоскедастичны.

Льюс предложил то, что Кумбс [26] называет моделью Брэдли-Тэрри-Льюса (БТЛ), используя логистическую кривую, которая является логарифмическим преобразованием распределения вероятностей. Хотя это отличается от предположения нормальности, практически трудно провести различие между моделью БТЛ и случаем из работы Терстона, где он предполагает нормальность распределений и равенство дисперсий. Модель БТЛ более строго основана на теории выбора поведения. Кумбс рассматривает существенное различие между двумя моделями.

Можно сопоставить наши допущения с психометрическими традициями. Мы не начинаем с гипотезы о том, что суждения в виде отношений являются независимыми вероятностными процессами. Вместо этого последствия изменений в суждениях исследуются через возмущения во всем множестве суждений. Подход такого типа приводит к критерию согласованности. Поэтому получение решений нашим методом не является статистической процедурой.

Короче говоря, многие психометрические методы производят выработку суждений, пригодных для решения в той или иной шкале. Предполагается, что если вырабатываются суждения, то это происходит до оценки в виде отношения между двумя стимулами. Поэтому наша процедура формирования решения не связана с предположениями о распределении суждений. Тем не менее, если мы хотим сравнить любое решение с критерием согласованности, следует обратиться к статистическим доводам и возмущениям всей матрицы суждений.

Использование метрической информации в матрице суждений субъектов создает аналогии с анализом главных компонент, за исключением того, что данные дают информацию о превосходстве, а не о подобии или ковариациях. (Дальнейшие рассуждения см. в конце этого раздела.) При анализе главных компонент выделяется Лтах, однако решение получают также и для всех остальных Л. Тем не менее результаты должны быть интерпретированы по-другому (см. [67]).

В проводимом анализе природа стимулов и задача, которая ставится перед субъектами, также подобны «психофизическому» шкалированию, как оно мыслится Стивенсом и Галантером [156]. В последнее время оно широко используется во многих попытках построить составные меры политических переменных, включая «силу страны». Техника Стивенса навязывает согласованность тем, что экспертов просят сравнить одновременно каждый стимул со всеми другими, формируя только одну строку матрицы. Это означает, что гипотеза одномерности не может быть проверена непосредственно. Если используется метод Стивенса, то следует обратить внимание на то, чтобы суждения о стимулах были согласованными или близкими к согласованным. Вдобавок не существует способа отнести одну шкалу к другой, как это имеет место в иерархии.

Крантц [86] аксиоматизировал альтернативные процессы, связывающие стимулы с суждениями, и получил теоремы существования для шкал отношений. Подобная аксиоматизация не была распространена на иерархии шкал отношений.

Некоторые исследователи подошли к проблеме шкалирования так, как если бы познавательное пространство стимулов было бы по существу многомерным, однако вместо этого мы выбираем иерархическую декомпозицию этой многомерной структуры, чтобы установить количественные, а также качественные отношения между величинами. Отдельные величины в решениях многомерного шкалирования функционально напоминают отдельные собственные векторы на каждом уровне нашей иерархии.

Формально задача построения шкалы в виде нормализованного собственного вектора о в уравнении (для максимального ) подобна выделению первой главной компоненты. Когда экспертов просят заполнить клетки только одной строки или одного столбца, а другие клетки вычисляются по ним (для обеспечения «совершенной согласованности»), первое собственное значение воспроизводит, 100% изменения матрицы. Если «совершенная согласованность» накладывается на данные за исключением того, что к каждой клетке матрицы добавляется нормально распределенная случайная компонента, то теория приводит к анализу главных факторов, и получится «однофакторное» решение. Следовательно, если совершенная согласованность навязывается экспериментатором, то получается неинтересный результат точного шкалирования, которое было гарантировано, когда эксперимент представлялся в виде одного сравнения. В действительности можно убедиться, что если субъект заполняет только одну строку или столбец матрицы и если задачей субъекта является генерация отношений между парами стимулов, то процедура формально эквивалентна тому, как если бы субъекты располагали каждый стимул вдоль полупрямой с нулём на одном конце: это и есть метод «непосредственной интенсивности» психофизического шкалирования.

Не существует простого взаимоотношения между решением, полученным с помощью собственного значения, и решениями, полученными методом наименьших квадратов, хотя имеются статьи (например, [31, 72, 80]), в которых рассматривается аппроксимация матрицы данных матрицей более низкого ранга, минимизирующей сумму квадратов разностей. В общем случае оба решения одинаковы при наличии согласованности. Общепринятого критерия сравнения не существует. Следовательно, неясно, какой из методов лучше. Повторные применения процедуры нахождения собственного значения помогают достичь согласованности, которая является наиболее предпочтительным для нас критерием.

В [164] предлагается метод «определения параметров функционального отношения посредством факторного анализа». Однако утверждается, что «задача вращения осей остается нерешённой...», т. е. факторный анализ определяет параметры только в пределах линейного преобразования. В [24] обсуждаются методы определения таких преобразований, где априорный теоретический анализ или наблюдаемые величины позволяют сформулировать критерий, по отношению к которому происходит вращение решения относительно произвольного фактора.

Иерархическая композиция является индуктивным обобщением следующей идеи. Заданы веса независимых элементов одного уровня. По отношению к каждому элементу заданного уровня формируется матрица собственных векторов-столбцов элементов уровня, находящегося непосредственно ниже заданного. Затем вектор весов элементов этого уровня используется для взвешивания соответствующих собственных векторов-столбцов. Умножая матрицу собственных векторов на вектор-столбец весов, получаем составной вектор весов элементов нижнего уровня.

Так как матрица собственных векторов не является ортогональным преобразованием, в общем случае результат не может быть интерпретирован как вращение. В действительности, вектор в единичном -мерном симплексе умножается на стохастическую матрицу. В результате получаем другой вектор в единичном симплексе.

Алгебраисты часто указывают на отличие задач, в которых алгебра имеет структурную геометрическую интерпретацию, от задач, в которых она служит удобным методом проведения вычислений. Статистические методы имеют удобную геометрическую интерпретацию в отличие от методов возмущений, которые часто ею не обладают.

В работе [61] проявлен интерес к поведению экспертов в ситуациях, включающих как линейные, так и нелинейные отношения между стимулами, после чего делается заключение, что процесс индуктивного вывода в основном линейный. В нашей модели реакция экспертов на линейные и нелинейные сигналы кажется адекватно отраженной в описанном в этой книге методе парного шкалирования с привлечением подхода иерархической декомпозиции для агрегирования элементов, попадающих в сравнимые классы в соответствии с возможным диапазоном шкалы сравнений.

Отметим, что мы подходим к решению проблемы интеграции информации, которая обсуждалась в [4], путем формулирования задачи о собственном значении, имеющей линейную структуру. Однако сама шкала, определяемая собственным вектором, является в значительной степени нелинейной функцией данных. Процесс построения собственного вектора включает сложные операции, состоящие из сложения, умножения и усреднения. Чтобы ощутить эту сложность, можно проверить способ получения собственного вектора как предельного решения нормализованных строчных сумм степеней матрицы.

В [4] также акцентируется внимание на том, что принятая шкала реакции должна удовлетворять критерию, который налагает алгебраическая модель суждений. Таким критерием в нашем случае вновь оказывается согласованность.

Наконец, может быть полезным краткое рассмотрение графо-теоретического подхода к согласованности. Направленный граф с вершинами, который предполагается полным (так как любая пара его вершин соединяется направленной дугой), называется турниром. Его можно использовать для представления доминантных парных сравнений между объектами, тогда контуры будут представлять нетранзитивность. Например, каждые три вершины определяют треугольник, но не все треугольники образуют -контуры. Число контуров заданной длины используется для определения индекса нетранзитивности данного порядка, например тройки или четвёрки. Несогласованность определяется (см. [100]) в зависимости от отношения числа трех, четырех или более контуров в заданном графе к максимальному числу контуров данного порядка. Для -контуров максимальное число будет для нечетного - для четного ; для -контуров оно будет для нечетного для четного Эти результаты не были обобщены на к-контуры. Тем не менее среднее число к-контуров для случайной ориентации дуг полного графа До сих пор не найдена зависимость между этим определением несогласованности и нашим, относящимся к собственному значению. Непохоже, что зависимость будет найдена. Приведённый выше результат для -контуров вместе с его статистическими следствиями принадлежит Кендаллу. Он подробно обсуждается в обычной статистической справочной литературе (см., например, [108]).

Выше мы ссылались на анализ главных компонент. Обсудим кратко эту процедуру.

Рассмотрим случайный вектор X с p компонентами, вектор с нулевым средним и ковариационной матрицей C. Распределение X неизвестно. Пусть b есть p -

компонентный вектор-столбец, тогда обозначает операцию математического ожидания.

Нормализованные линейные комбинации с максимальной дисперсией при условии получаются из функции Лагранжа, определенной в виде

где - множитель Лагранжа.

Приравнивая производную по b нулю, получаем уравнение

нетривиальным решением которого будет - собственное значение

Если умножить эти выражения на и использовать условие ограничения, то получим Это показывает, что является дисперсией величины Поэтому в качестве максимальной дисперсии нам следует использовать Лтах. Если нормализовать соответствующее решение разделив его на сумму квадратов коэффициентов, то получим в качестве нормализованной линейной комбинаций с максимальной дисперсией. Затем получаем новую нормализованную комбинацию с максимальной дисперсией всех линейных комбинаций, некоррелированных с , т. е.

Однако и, следовательно, ортогонально к Используя в качестве нового ограничения, образуем новую функцию Лагранжа.

с множителями Лагранжа а и в. Действуя таким образом, можно показать, что и а будет вторым наибольшим собственным значением C. (Отметим, что поскольку C как ковариационная матрица симметрична, все её собственные значения деиствительны). Действуя как и прежде, теперь получим соответствующий собственный вектор при условии, что имеет максимальные дисперсии из всех нормализованных линейных комбинаций, не коррелированных с и т. д.

Когда собственные векторы получены таким образом, отношение каждого собственного значения ко всей сумме собственных значений представляет долю всей дисперсии, отраженную в соответствующих компонентах. Поэтому первым (и практически важным) приближением считают главную компоненту и ищут изменения в условиях, ведущих к изменениям в выражении

В [115] сделана попытка определить влияние отдельных журналов, проверяя число цитирований. Устанавливается матрица цитирования числа статей из каждого журнала, упомянутого в каждом источнике. Столбцы затем нормализуются, чтобы принять во внимание различные размеры журналов. Далее следует вычисление весов влияние в соответствии с разработанной ими процедурой нахождения собственного вектора общей матрицы (которая не ориентирована на шкалу отношений).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление