Главная > Нечеткие вычисления > Принятие решений. Метод анализа иерархий
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

7.5. СОГЛАСОВАННОСТЬ

Обратносимметричные неотрицательные матрицы могут иметь комплексные собственные значения. Следовательно, они не допускают просто общей характеристики. Однако поскольку максимальное собственное значение лежит между наибольшей и наименьшей из строчных сумм, согласованная матрица имеет собственное значение, равное сумме любого из ее столбцов. Как будет показано, малое возмущение не сильно меняет максимальное собственное значение и остальные собственные значения находятся в окрестности нуля, причем их сумма - действительное число.

Выбор возмущения, наиболее соответствующего описанию влияния несогласованности на вычисляемый собственный вектор, зависит от психологического процесса, имеющего место при заполнении матрицы попарных сравнений исходных

данных. Предположим, что все возмущения, заслуживающие внимания, могут быть сведены к общему виду Согласованность имеет место, если Например,

Теперь получим некоторые элементарные, однако существенные результаты для согласованных матриц. Начнем с выражения

которое является компонентой , и определим

Тогда из следует, что и так как

находим, что

поэтому

Подставляя приходам к уравнению

Заметим, что при т. е. при достижении согласованности, 0. Кроме того, А выпукла по поскольку выпукло (и имеет минимум при и сумма выпуклых функций выпукла. Поэтому а мало или велико в зависимости от того, близка или далека величина от единицы соответственно (т. е. близки или далеки мы от согласованности). Наконец, если напишем то при имеем

Теорема 7.14. Лтах

Доказательство.

Теорема 7.15. Положительная обратносимметричная матрица согласована тогда и только тогда, когда Лтах

Доказательство. Если A согласованна, то и Лтах Наоборот, используя полученный выше результат, отмечаем, что Лтах при любом выборе j и следовательно, матрица A - согласованна.

Таким образом, для достижения согласованности желательно, чтобы а было близко к нулю, или, что то же самое, было близко к своей нижней границе n. Интересно отметить, что () можно интерпретировать в терминах статистической среднеквадратичной ошибки. Действительно, допустим, что (и, следовательно, мало по сравнению с 82). Это разумное допущение для «несмещенного» суждения, которое ограничено «естественной» наибольшей нижней границей - 1 для 8. (так как должно быть больше нуля) и будет стремиться к симметричной оценке около нуля в интервале Теперь при

Умножение на 2 даёт дисперсию . Поэтому 2а и есть эта дисперсия.

Малые возмущения элементов положительной обратносимметричной матрицы вызывают малые возмущения в собственных значениях от их исходной величины. Вообще говоря, это неверно для положительных матриц. Докажем этот факт для

Теорема 7.16. Пусть , тогда

Доказательство очевидно.

Таким образом, если возмущение (или ошибка в суждении) мало, и число сравниваемых элементов также мало (например, менее десяти), то отклонение Лтах от n также мало. Отметим вновь, что для того, чтобы остаться вблизи согласованности, нужно, чтобы n было мало. Например, дает

Замечание. Неотрицательная матрица - для остальных j, j имеет все собственные значения равными нулю, но та же самая матрица с замененным на s, где мало, имеет максимальное собственное значение

Лтах которое стремится к единице при увеличении n. Поэтому, хотя изменяется непрерывно с коэффициентом s, ее величина становится большой даже для малых s (этот факт сообщил мне А. Лауб из Массачусетского технологического института).

В [168] отмечено, что, используя свойство обратной симметричности из равенства имеем Следовательно, согласованность для обратносимметричной матрицы значит, что все контуры длины три имеют единичную интенсивность.

Предполагая и рассматривая треугольные контуры, находим

и, поскольку имеем

Для эта сумма становится равной так как, подставляя имеем членов, величина которых равна единице. Усредняя по количеству членов, т. е. в результате получаем что справедливо при . В любом случае предметом нашего внимания является разность Лтах

Теперь проверим гипотезу о согласованности. Полная согласованность может быть сформулирована в виде нулевой гипотезы:

и мы проверяем ее по отношению к односторонней альтернативе

Соответствующая тестовая статистика будет

где - максимальное наблюдаемое собственное значение матрицы, элементы которой содержат случайную ошибку. Установление статистической меры для согласованности требует нахождения распределения статистики Несмотря на то, что её специфическая форма выходит за рамки материала этой главы, заметим, что m соответствует неотрицательному вероятностному распределению, дисперсия которого есть удвоенное среднее и представляется совершенно аналогичным распределению если предположить, что все S., есть на интервале Для нашей цели при неизвестном распределении используем общепринятое отношение при т. е. используем в качественном тесте для подтверждения нулевой гипотезы, когда тестовая статистика, допустим, Поэтому при можно измерять несогласованность.

Более подходящий метод проверки статистики m заключается в используемом нами сравнении ИС с СИ.

Замечание. Заметим, что для матриц имеем

откуда видно, что аппроксимация посредством тем лучше, чем ближе

Возвращаясь к представлению

находим, что

Таким образом, заменив a на получим сведя тем самым к нулю величину

Следовательно, всякий раз, когда аппроксимация любого величиной приближает нас к согласованности (см. также обсуждение метода наименьших квадратов, которое будет проведено позже).

Теорема 7.17. Если положительная матрица A согласованна, то каждая строка является положительным кратным любой заданной строки.

Доказательство. Без ограничения общности будем считать, что каждая строка является положительным множителем строки. Из отношения следует, что, зафиксировав j и положив строка будет равна строке, умноженной на положительную постоянную

Замечание. Очевидно, что обратное утверждение этой теоремы неверно. Матрица единичного ранга может и не быть согласованной. Например, в матрице

элемент не равен

Таким образом, согласованная матрица при имеет следующий общий вид:

Так как матрица имеет вид транспонированной по отношению к приведенной матрице, она согласованна.

Теорема 7.18. Если A - положительная и согласованная матрица, то

Доказательство. Из определения следует, что и, следовательно, для всех i. Также из что

Теорема 7.19. Положительная матрица A согласованна в том и только в том случае, если она единичного ранга и элементы её главной диагонали равны единице.

Доказательство. Если A согласованна, то Также

и строка есть первая строка, умноженная на и, следовательно, ранг равен единице. Наоборот, если ранг A равен единице и для всех i, то каждая строка является кратной первой строке, т. е.

и матрица A согласованна.

Перейдем к иллюстрации понятия согласованности на языке теории графов.

Определение 7.3. Интенсивность суждений, относящихся к пуль из i в j (называемая интенсивностью пути), равна произведению интенсивностей, соответствующих дугам этого пути.

Следующая теорема вносит ясность относительно связи, существующей между интенсивностями путей и согласованностью. Напомним, что перекрывающее дерево с n вершинами имеет ребер. Оно является связным графом, включающим все вершины и не имеющим контуров. Поэтому имеется единственный путь между любой парой вершин.

Теорема 7.20. Необходимым и достаточным условием существования единственной положительной согласованной матрицы является то, что объекты (как вершины) и соединяющие их суждения (как дуги) формируют перекрывающее дерево.

Доказательство. Необходимость. Если объекты формируют контур, то имеется не единственный путь между двумя вершинами в контуре, что дает два различных значения для одного и того же элемента. Все объекты должны образовывать дерево, иначе суждения для связывания изолированных объектов были бы произвольными, что нарушило бы единственность матрицы.

Достаточность. Для каждой дуги перекрывающего дерева мы используем интенсивность вдоль единственного пути для получения интенсивностей между объектами Это определяет матрицу

Для доказательства согласованности матрицы A рассмотрим любую строку, например Для любой пары вершин j и k нужно показать, что определенная произведением дуг на пути дана величиной где - соответствующие произведений интенсивностей дуг на путях, соединяющих i с k и i с j. Рассмотрим два случая:

1. i лежит на пути между j и k. В этом случае

2. i не лежит между j и k, тогда:

а) i, j и k образуют путь; в этом случае путь, определяющий дается величиной если j находится между i и k и обратной величиной т. е. , если k находится между i и j, так как путь должен проходить от j к k, а не от k к

б) i, j и k образуют вилку в m (см. рис. 7.1). Тогда

Рис. 7.1

Теорема 7.21. Если A - согласованная матрица, то Доказательство. Из теоремы Сильвестра имеем

Эта формула справедлива и для случая (для кратных собственных значений), когда кратное собственное значение равно нулю. Подставляя сначала а затем в обоих случаях при получаем

соответственно. Подстановка из первого результата во второй дает

Теорема 7.22. Любой столбец матрицы является решением задачи о собственном значении

Доказательство. Так как любой столбец матрицы имеет вид то он является просто кратным о и, следовательно, решением задачи.

Из последней теоремы получается предыдущая теорема, так как если обозначить столбцы A через то

Теорема 7.23. Любая строка матрицы есть решение задачи

Доказательство очевидно.

Следствие. Компоненты правого и левого собственных векторов, , являются обратными величинами с точностью до постоянного множителя. (Будем называть их двойственными векторами.)

Определим норму матрицы A как (т. е. она является суммой всех элементов

Как известно, для примитивной матрицы

где c - постоянная, - нормализованный главный собственный вектор

Следующая теорема является упрощенной версией этой теоремы для согласованных матриц.

Теорема 7.24. Если A положительная согласованная -матрица, то где постоянная и со удовлетворяет равенству

Доказательство. Вектор является суммой строк A и, очевидно, постоянным множителем любого столбца. Поэтому он является решением задачи о собственном значении.

Другой вариант доказательства. Легко показать, что A имеет единичный ранг тогда и только тогда, когда существуют векторы х такие, что Отсюда

и, следовательно,

Следствие 1. Если то

Следствие 2.

Следующая теорема показывает, что в случае согласованных матриц компоненты собственного вектора изменяются монотонно с изменениями отдельных элементов.

Теорема 7.25. (Теорема о монотонности.) Пусть - положительная согласованная матрица с главным собственным вектором Заменим один элемент на и, используя строку построим новую согласованную матрицу Пусть - главный собственный вектор мат. рицы Тогда

Доказательство. Так как и согласованны, любой нормализованный столбец дает главный собственный вектор. Рассмотрим столбец, содержащий в матрице A, и соответствующий столбец, содержащий в матрице Два столбца идентичны за исключением этого единственного элемента. Сумма элементов столбца в A меньше, чем сумма элементов столбца в A. Поэтому, нормализуя данный столбец, получаем большее отношение для всех тех элементов, которые не меняются в обеих матрицах. В частности, это верно для о, поэтому

В дальнейшем обобщим эту теорему на обратносимметричные матрицы порядка 2, 3 и 4.

Теорема 7.26. Если A - положительная согласованная матрица и A получена из A вычеркиванием строки и столбца, то A - согласованна и ее соответствующий собственный вектор получается из A, если положить и нормализовать компоненты.

Доказательство. Для любой заданной строки A, например для первой, имеем и строка A зависит от элемента столбца в его первой строке.

Аналогичное следует из Поэтому ни один элемент в A не зависит от строки или столбца A и, следовательно, A также согласованна. Так как их элементы совпадают за исключением строки и столбца A и решение задачи о собственном значении при согласованной матрице получается из любого нормализованного столбца, получаем утверждение теоремы.

Замечание. В общем случае, если - матрица парных сравнений, а нормализованные собственные векторы уравнений - соответственно , то однако для всех а и в. Другими словами, исключение одной строки из матрицы парных сравнений не вызывает пропорционального перераспределения весов среди других строк.

Следующая теорема показывает, что отношения порядка между отдельными довольно сложным образом зависят от всей матрицы A и ее степеней.

Теорема 7.27. Для примитивной матрицы A имеем, что тогда и только тогда, когда при условии, что

( - означает компоненту вектора).

Доказательство. Из равенства

имеем

и

Поэтому только при

Следовательно, теорема верна, если имеет место следующее неравенство:

Используя теорему о пределе для примитивной матрицы, заменим каждый на

что завершает доказательство.

Теперь обратимся к важному обобщению предыдущих результатов. Будем считать, что наш разум работает фактически с попарными сравнениями, однако являются не оценками а некоторой функцией Например, по наблюдениям Стивенса (см. [22]) осознаваемый для протетических явлений (процессов добавления возбуждения к возбуждению), принимает вид где лежит где-то между 0,3 (в случае оценки громкости) и 4 (в случае оценки электрического удара). Другими случаями являются: яркость - от 0,33 до 0,50, длина - 1,1, продолжительность во времени - 1,15, численность - 1,34, тяжесть - 1,45 и скорость - 1,77. Для метатетических явлений (процессов замещения возбуждения возбуждением), по мнению Стивенса, степенной закон неприменим, т. е. для процессов мышления

Эти наблюдения обусловливают интерес к изучению общего решения задачи о собственном значении, где предполагается условие согласованности вида

для которого матрица также имеет единичный ранг. Наш основной результат - следующий.

Теорема 7.28. (Степенной закон собственного значения.) Если матрица порядка n удовлетворяет обобщенному условию согласованности, то задача о собственном значении

имеет решение в виде собственного вектора

Доказательство. Выражение имеет место при решении , задачи о собственном значении. Если подставим его в условие согласованности, то получим

Или, если положим то получим Это функциональное уравнение имеет общее решение

Таким образом, обобщая условие согласованности для A, находим, что обобщение соответствующей задачи о собственном значении (с возможно, если заменим на постоянную степень a его аргумента. Однако мы знаем, что при поэтому, вообще говоря, из чего следует, что

Эта теорема показывает, что решение задачи о собственном значении, удовлетворяющей условию согласованности, дает оценки в степенной шкале. В тех приложениях, где для получения данных используется знание, а не наши ощущения, следует ожидать равенства степени единице, и, следовательно, здесь мы будем иметь оценку в основной шкале. Это наблюдение может быть полезным в социальных приложениях.

Замечание. Отметим, что различные матрицы попарных сравнений могут давать один и тот же собственный вектор. Это довольно удачное обстоятельство, так как позволяет заменять признаки и все же получать тот же самый собственный вектор в качестве ответа. Поэтому можно получить один и тот же результат с различных точек зрения и выбрать те матрицы, которые мы предпочитаем. С другой стороны, мир познания может быть сведен к малому множеству признаков с фиксированными значениями относительной шкалы. Отношения и их интенсивность будут детерминистическими, и индивидуальное предпочтение не будет существенным. Конечно, это не приведет к конфликту. Однако разнообразие с конфликтом богаче детерминизма.

Здесь возникает технический вопрос: при заданном собственном векторе и всех матрицах, из которых он получен, можно ли перейти от одной из них на любую другую, производя малые возмущения в элементах? В частности, возможен ли переход из матрицы отношений к любой другой матрице малыми возмущениями?

Другим вопросом будет: при рассмотрении двух собственных векторов, являющихся малыми возмущениями каждого, существуют ли малые возмущения, которые переводят один класс соответствующих матриц в другой?

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление