Главная > Нечеткие вычисления > Принятие решений. Метод анализа иерархий
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4.2. ИЕРАРХИИ И ПРИОРИТЕТЫ

Как подтверждают примеры и графические представления иерархий, которые были даны в начале книги, иерархию можно рассматривать как специальный тип упорядоченных множеств или частный случай графа. Первая интерпретация выбрана в качестве основы нашего формального определения, а вторая - в качестве иллюстрации. Без сомнения, роли могут поменяться местами.

Определение 4.1. Упорядоченным множеством называют любое множество S с бинарным отношением которое удовлетворяет законам рефлексивности, антисимметричности и транзитивности:

Рефлексивность: для всех

Антисимметричность: если то

Транзитивность: если то

Для любого отношения (читается: предшествует ) такого типа можно определить что означает Говорят, что у покрывает (доминирует) если и если невозможно ни для какого

Упорядоченные множества с конечным числом элементов могут быть удобно представлены направленным графом. Каждый элемент системы представлен вершиной так, что дуга направлена от а к если

Определение 4.2. Просто или вполне упорядоченное множество (также называемое цепью) есть упорядоченное множество со следующим дополнительным свойством если , то или или

Определение 4.3. Подмножество E упорядоченного множества S называют ограниченным сверху, если существует элемент такой, что для любого . Элемент s называют верхней границей E. Говорят, что E имеет супремум или наименьшую верхнюю границу в S, если E имеет верхние границы и у множества верхних границ U имеется элемент такой, что для всех Элемент - единственный и называется супремумом E в

Символ используется для обозначения супремума. (Для конечных множеств наибольшие элементы и верхние границы одинаковы.)

Аналогичные определения могут быть даны для множеств, ограниченных снизу - нижняя граница и инфимум. Здесь используют символ

Существует много способов определения иерархии. Нашим целям наиболее соответствует следующий:

Воспользуемся обозначением покрывает у покрывает для любого элемента в упорядоченном множестве.

Определение 4.4. Пусть H - конечное частично упорядоченное множество с наибольшим элементом есть иерархия, если выполняются следующие условия.

1. Существует разбиение H на подмножества где

2. Из следует, что

3. Из следует, что

Для каждого существует такая весовая функция (сущность ее зависит от явления, для которого строится иерархия):

Множества являются уровнями иерархии, а функция есть функция приоритета элемента одного уровня относительно цели Заметим, что даже если (для некоторого уровня ), то может быть определена для всех если приравнять ее к нулю для всех элементов в не принадлежащих

Мы считаем, что весовая функция вносит важный вклад в применение метода анализа иерархии.

Определение 4.5. Иерархия называется полной, если для всех множество при

Можно сформулировать главный вопрос:

Основная задача. Как определить для любого заданного элемента и подмножества S с функцию чтобы она отражала свойства функций приоритетов на уровнях частности, что это за функция

Используя менее формальную терминологию, задачу можно переформулировать следующим образом.

Рассмотрим социальную (или экономическую) систему с главной целью b и множеством основных видов действий Пусть эту систему можно представить как иерархию с максимальным элементом b и нижним уровнем Каковы приоритеты элементов уровня по отношению к

С точки зрения оптимизации для распределения ресурсов между элементами необходимо учитывать также все взаимосвязи между ними. Аналитически взаимосвязь может принять вид отношений типа вход-выход, например, имеющих место при взаимном обмене продукцией между отраслями промышленности. Отрасль с более высоким приоритетом может зависеть от потока продукции, выпускаемой отраслью с более низким приоритетом. В рамках оптимизации приоритет элементов позволяет определить целевую функцию, которую затем следует максимизировать, а другие

иерархии позволяют получить информацию, касающуюся связей, например отношений типа вход-выход.

Теперь изложим наш метод решения основной задачи. Предположим, что (Заметим, что в соответствии с замечанием, следующим за определением 4.4, можно предположить, что

Пусть также существует элемент такой, что Рассмотрим теперь функции приоритетов

Обозначив через «функцию приоритета элементов из X относительно зададим ее следующим образом:

Очевидно, что это не что иное, как процесс взвешивания показателя влияния элемента на приоритет элемента путем умножения этого показателя на важность элемента относительно

Соответствующие алгоритмы упростятся, если из образовать матрицу положив Если обозначить далее то приведенная выше формула примет вид

Итак, можно говорить о векторе приоритетов матрице приоритетов уровня. В результате имеем окончательную формулу

Предыдущая композиция приоритетов включает взвешивание и суммирование. Это требует независимости критериев на каждом уровне, в противном случае один элемент может получить некоторый приоритет относительно некоторого признака и дополнительный приоритет, вызванный перекрыванием этого признака с другим признаком, что вызовет двойной учет. В простых терминах множество признаков или критериев называют независимым, если возможна взаимозаменяемость любой пары безотносительно влияния других. Иными словами, критерии независимы, если между ними нет взаимодействия. Существуют формальные определения независимости и тщательно разработанные методы ее тестирования, использующие суждения участников (см., например, [79]). Помимо неформальных обсуждений независимости существуют строгие и требующие больших затрат времени методы проверки независимости. На практике люди предпочитают полагаться на интуитивную интерпретацию отсутствия взаимодействия, чем производить серию тестов. При проведении теста с каждым признаком ассоциируется множество «уровней», например, при обучении имеются уровни оценок A, B, C, D и т. д. Проверяется предпочтение в суждениях между ними для определенного индивидуума, которое может быть порядковым или количественным. Если кроме обучения имеются другие признаки, то необходимо зафиксировать каждый на некотором базовом уровне, прежде чем проводить сравнение предпочтения Затем следует изменить уровень одного из других признаков и провести сравнение предпочтения между разными уровнями обучения Продолжать это нужно, меняя все уровни второго признака. Если предпочтение между A, B, C, D остается тем же, то говорят, что обучение

условно независимо от второго признака. Условно оно потому, что другие признаки зафиксированы на определенном уровне. Если имеется несколько признаков, то процесс продолжается. Для аддитивности два вида деятельности должны быть независимыми и удовлетворять условию сокращаемости. Для трех каждая пара должна быть независима, а также должны быть удовлетворены другие условия, и т. д. Теперь повторим основную идею просто в рамках теории множеств и изложим принцип.

Принцип иерархической композиции: аддитивность взвешивания

Задано два конечных множества S и T. Пусть S - множество независимых свойств (примеры зависимости см. в гл. 8) и T - множество объектов, которые в качестве характеристик обладают этими свойствами. Предположим, что численный вес, приоритет, или индекс относительной важности, ассоциируется с каждым , так что Пусть удовлетворяющие условию есть веса, ассоциируемые с относительно Тогда выпуклая комбинация

представляет собой численный приоритет или относительную важность относительно S. Заметим, что принцип распространяется на цепь множеств. Аксиоматизация принципа иерархической композиции была бы полезной.

Замечание. «Иерархическое измерение» есть процесс взвешивания «линейных» переменных, ассоциирующий каждый уровень с нелинейными коэффициентами, которые являются произведениями и суммами переменных, связанных с верхними уровнями. Заметим, что линейность здесь просто означает прямое умножение чисел без возведения их в степени или образования функций от них. В действительности эта величина является сложной (нелинейной) мерой приоритета.

Далее следует первый шаг к подтверждению приведенного выше принципа, показывающий, что порядковые предпочтения сохраняются при композиции.

Определение 4.6. Предположим, что для каждой подцели или вида деятельности существует порядковая шкала над видами деятельности

Определим частичный порядок на множестве следующим образом: тогда и только тогда, если для

Легко доказать следующую теорему:

Теорема 4.1. Пусть - вектор приоритетов для относительно и предположим, что он сохраняет порядок Пусть - (составной) вектор приоритетов для Тогда из следует, что Таким образом, иерархическая композиция сохраняет порядковое предпочтение.

Легко доказать следующую теорему.

Теорема 4.2. Пусть H - полная иерархия с наибольшим элементом b и h уровнями. Пусть далее - матрица приоритетов уровня, Если W -

вектор приоритетов уровня относительно некоторого элемента z в уровне, то вектор приоритетов уровня относительно z определяется как

Таким образом, вектор приоритетов самого низкого уровня относительно элемента

Обычно состоит из единственного элемента, W - просто скаляр; в противном случае W - вектор.

Следующее наблюдение касается полной иерархии, однако его полезно иметь в виду и в общем случае. Приоритет элемента любого уровня равен сумме его приоритетов в каждом подмножестве сравнения, которым он принадлежит; иногда каждый из приоритетов взвешивается лишь частью элементов уровня, которые принадлежат данному подмножеству, и приоритетом подмножества. Получающееся множество приоритетов элементов этого уровня затем нормализуется посредством деления на сумму приоритетов элементов. Приоритет подмножества на уровне равен приоритету доминирующего элемента на следующем уровне.

Заметим, что композиции весов в иерархии представляют собой полилинейные выражения вида

где обозначает уровень иерархии, а - приоритет элемента на этом уровне. По-видимому, имеется хорошая возможность исследовать связь композиции с ковариантными тензорами и их алгебраическими свойствами.

Более конкретно, имеем ковариантный тензор

для приоритета элемента на уровне иерархии. Составной вектор для всего уровня представлен ковариантным гипертензором (вектором с тензорными компонентами). Аналогично подход к иерархии, основанный на левом собственном векторе, обусловливает контравариантный гипертензор.

Классическая проблема, относящая пространство (геометрия) и время к субъективному мышлению (см. ), может быть исследована, если доказано, что функции математического анализа (и, следовательно, также и законы физики) могут быть получены как усеченные ряды приведенных выше тензоров посредством построения соответствующей иерархии. Это напоминает теорему из анализа размерностей, которая утверждает, что любая физическая переменная пропорциональна произведению степеней исходных переменных.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление