Главная > Нечеткие вычисления > Принятие решений. Метод анализа иерархий
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3.3. СРАВНЕНИЕ ШКАЛ

Некоторые проблемы, изложенные в предыдущем разделе, независимы от шкалы сравнения, которую мы применяем, поскольку это - шкала отношений. (Шкалы разностей кратко рассматриваются во второй части книги.) Однако имеются все основания поставить вопрос: почему выбираются величины от 1 до 9? В этом разделе мы попытаемся показать читателю, что эта шкала действительно лучше всех других.

Начнем более подробное описание нашей шкалы (см. табл. 3.1).

Таблица 3.1

Наибольший вклад в исследование вопроса стимулов и реакций внесли Э. Вебер (1795-1878), Г. Фехнер (1801-1887) и С. Стивенс (1906-1973).

В 1846 г. Вебер сформулировал закон, касающийся стимула измеримой величины s. Он обнаружил, например, что люди, держащие в руке предметы с различным весом, могут различать предметы весом 20 г от 21 г, однако не могут уловить разницу, если второй предмет весит 20,5 г. С другой стороны, в то время как они не могут различить предметы весом 40 г и 41 г, разница предметов весом 40 г и 42 г воспринимается, и т. д. для больших весов.

Нужно увеличить s на минимальную величину чтобы достичь состояния, при котором наше восприятие уже может различить s и называется едва заметным различием Отношение не зависит от Закон Вебера утверждает, что изменение восприятия отмечается при увеличении стимула на постоянную долю самого стимула. Этот закон имеет место, когда мало по сравнению с s, и практически перестает действовать, когда s или слишком мал, или слишком велик. Агрегирование или декомпозиция стимулов, что необходимо в кластерах или уровнях иерархии, является эффективным способом расширения применимости этого закона.

В 1860 г. Фехнер исследовал последовательность едва заметных увеличений стимулов. Обозначим первый стимул через

Следующий стимул с едва заметным различием (см. [7]) согласно закону Вебера

Аналогично

В общем случае

Таким образом, стимулы с заметными различиями располагаются в геометрической прогрессии. В то же время Фехнер чувствовал, что соответствующие восприятия составляют арифметическую прогрессию в дискретных точках, где наблюдаются едва заметные различия. Последние получаются, если решить относительно полученное уравнение. Имеем

т. е. восприятие - линейная функция логарифма стимула. Поэтому если обозначить восприятие через M, а стимул через s, то психофизический закон Вебера-Фехнера запишется в виде

Предположим, что стимулы возникают при проведении парных сравнений относительно сравнимых действий. Нас интересуют реакции, численные значения которых даны в форме отношений. Итак, из чего мы должны получить или что возможно, если проградуировать единичный стимул. Но это происходит при сравнении некоторого вида действия с самим собой.

Следующая заметная реакция соответствует стимулу

который вызывает реакцию Следующий стимул будет

который вызовет реакцию - 2. Таким образом, получаем последовательность Для согласованности мы помещаем действия в кластер, стимулы парных сравнений которого вызывают реакции, имеющие величины одного порядка. На практике качественные различия в реакциях на стимулы немногочисленны. Приблизительно их пять, как перечислено выше, с дополнительными, которые представляют собой компромиссы между соседними реакциями. Понятие компромисса особенно достойно внимания при осмысливании процесса суждения в противоположность чувствам. Это увеличивает число различий до девяти, что совместимо со сделанным ранее предположением о порядке величины.

Замечание. Степенной закон Стивенса распространяет идеи стимулов и реакций на широкие диапазоны (делает как бы поперечный срез различных иерархических уровней), оценивая реакцию как степень стимула, полученного подгонкой кривых по сильно распределенным данным. Может случиться, что степенной закон будет приближением к исходу, который получен в результате иерархической декомпозиции.

Почему обоснован верхний предел 9?

Имеется несколько причин для установления верхнего предела шкалы:

1. Качественные различия значимы на практике и обладают элементом точности, когда величина сравниваемых предметов одного порядка или предметы близки относительно свойства, использованного для сравнения.

2. Отметим, что способность человека производить качественные разграничения хорошо представлена пятью определениями: равный, слабый, сильный, очень сильный и абсолютный. Можно принять компромиссные определения между соседними определениями, когда нужна большая точность. В целом требуется девять значений, и они могут быть хорошо согласованы; получаемая в результате шкала подтверждается практикой.

3. Путем подкрепления (2) практический метод, часто используемый для оценки отдельных предметов, заключается в классификации стимулов в трихотомию зон: неприятия, безразличия, принятия. Для более тонкой классификации в каждую из этих зон заложен принцип трихотомии - деление на низкую, умеренную и высокую степени. Таким образом, получается девять оттенков значимых особенностей. Коллега автора И. Уинд указал, что исследования маркетинга, проведённые нашим общим коллегой П. Грином, показывают, что нет необходимости иметь больше семи значений шкалы для выделения стимулов. Поэтому мы и берем не больше 9 градаций.

4. Психологический предел предметов при одновременном сравнении подтверждает, что если взять отдельных предметов, удовлетворяющих описанию (1), и если все они слегка отличаются друг от друга, то понадобится 9 точек, чтобы различить их (см. [106]).

Отметим, что использование шкалы парных сравнений в диапазоне от 0 до может оказаться бесполезным, так как предполагает, что человеческое суждение каким-то образом способно оценить относительное превосходство любых двух объектов, что совсем не так. Как хорошо известно из опыта, наша способность различать находится в весьма ограниченном диапазоне и когда имеется значительная несоразмерность между сравниваемыми объектами или действиями, наши предположения тяготеют к тому, чтобы быть произвольными, и обычно оказываются далекими от действительности. Это подтверждает мысль о том, что наши шкалы должны иметь конечный диапазон. Действительно, пределы должны быть довольно близкими в диапазоне, который отражает нашу действительную возможность производить относительные сравнения. Так как единица является стандартом измерения, верхняя граница не должна быть слишком далека от нее, хотя и достаточно отдалена, чтобы представить наш диапазон способности различать.

Теперь рассмотрим ряд шкал, применяемых в отдельных задачах, для которых парные сравнения известны качественно: равный, слабый, сильный, очень сильный и абсолютный, вместе с промежуточными суждениями между каждой последовательной парой этих значений. Шкалы представлены в табл. 3.2.

Таблица 3.2.

(см. скан)

Далее приведены результаты вычислений в этих шкалах для примеров освещения стульев, национальных богатств и расстояния воздушных полетов. Для всех примеров вначале идёт матрица с качественными значениями (табл. 3.3, 3.4, 3.5). Затем (табл. 3.3а, 3.4а, 3.5а) следует таблица с перечнем решений задачи о собственном

Таблица 3.3. Пример освещенности стульев

Таблица 3.3 а

(см. скан)

векторе, соответствующих каждой шкале, к которому примыкает столбец соответствующих собственных значений. В двух последующих столбцах даны среднеквадратичное отклонение и медианное абсолютное отклонение от медианы. Они вычислены для отклонений соответствующего вектора-строки от действительного (известного) вектора решения, приведенного внизу таблицы. Из этих, а также из многих других, менее систематизированных примеров видно, что шкала 1-9 выделяется

Таблица 3.4. Пример национальных богатств

Таблица 3.4 а

(см. скан)

Таблица 3.5. Пример с расстояниями

Таблица 3.5 а

(см. скан)

сама по себе. Это указывает на склонность человека приводить в соответствие оттенки чувств с числами 1-9. Некоторые даже предполагают, что это связано со свойствами мозга, которое некоторым образом связано с числом пальцев, хотя и неизвестно, что является каузальным фактором. При условии, что мозг может одновременно обработать факторов, можно провести иерархическую декомпозицию больших матриц в кластеры такого размера, к которым шкала 1-9 еще может быть применена. Это указывает на возможную в общих ситуациях ее жизнеспособность, которую мы подтвердили только для малых кластеров.

Замечание. Последняя шкала - (27) в табл. 3.2 возникает из следующего соображения. Используя геометрическое среднее величины суждения, оцененного несколькими лицами (см. последний абзац этого раздела), можно заметить, что геометрическое среднее двух чисел: 2 и 8 есть 4, что на один интервал ближе к 2, чем к 8 (в отличие, например, от геометрического среднего 1/3 и 3, которое находится на расстоянии двух интервалов от каждого). Это склоняет нас к введению шкалы для обратно-симметричных матриц, сохраняющей отношение вида или из которого получаем Данное соотношение можно получить, если шкалу с девятью значениями и восемью интервалами разделить следующим образом: начать с единицы, затем (например) 91/8, 928 и т. д., применяя также и обратные величины. Этим можно улучшить согласованность, но, как показывают наши примеры, не обоснованность (надежность).

Вот один способ проверки качества согласованности, полученной при использовании различных шкал. Для матриц всех размеров до 15 создадим по 100 выборок и заполним случайным образом их элементы числами из шкал 1-5, 1-7, 1-9, 1-15, 120 и 1-90. Так, например, для шкалы 1-5 элементы главной диагонали будут, как всегда, единицы, а для любого элемента над диагональю выбираем случайно любое из целых чисел 1-5 или их обратные величины. Обратная величина этого элемента будет симметричным элементом. Ту же самую процедуру проведем и для других шкал. Усредним величину для 100 матриц, соответствующих каждому значению для каждой шкалы. Вычислим также дисперсии.

В результате имеем табл. 3.6, которая полезна для сравнения значения вычисленного отклонения от согласованности для отдельной задачи, со средним значением, полученным для использованной шкалы. В нашем случае существенными являются значения для шкалы 1-9. При этом сравнении можно требовать, чтобы отношение было малым, например, порядка 0,1. Мы оценили частотное распределение , основанное еще на одной выборке из 500. Для оно постоянно, для совокупное распределение есть распределение Вейбулла где Для имеем усечённое нормальное распределение со следующими средними и дисперсиями выборки: . На практике используются величины, приведенные в гл. 1 для сравнений случайной согласованности шкалы 1-9.

Таблица 3.6. Мера несогласованности и

Исходя из этого результата, можно сделать другое интересное замечание. Известно, что если является любым собственным значением матрицы, то для некоторого

Так как для положительной обратносимметричной матрицы можно просто записать

При использовании шкалы 1-9 максимальное значение любого будет 9, поэтому самое большее равно Отметим также, что и поэтому ограничено сверху. Действительно, можно показать, что удовлетворяет неравенству которое близко к единице, когда имеется высокая согласованность — результат, подтверждённый нашим статистическим подходом. Для каждой шкалы (вместо, использования разностных методов) мы усреднили последние три значения, т. е. для в табл. 3.6, и использовали их в качестве аппроксимации предельного значения. Обозначив эту величину через для шкалы s, вычислим новую таблицу, используя для каждого , и измерим согласованность, выраженную как индекс, заключенный между нулем и единицей. Это проиллюстрировано в табл. 3.7 и на соответствующем графике (рис. 3.1).

Таблица 3.7.

Рис. 3.1. Нормированная согласованность с использованием асимптотических значений

Теперь это согласованность, измеренная для случайным образом заполненных матриц. В общем случае суждение знающего человека ведет к лучшей согласованности.

Тем не менее все диаграммы показывают, что если число сравниваемых объектов превышает 5, то величина C меньше 10% и примерно одинакова для всех

Это, по-видимому, говорит о том, что среди большого количества случайных несогласованностей, которые встречаются при установлении связи между объектами, мы должны обнаружить искомую согласованную структуру. Шансы на ее обнаружение тем меньше, чем больше число объектов, которые нужно связать логической структурой. Наши шансы будут тем больше, чем меньше , однако должно быть достаточно большим, чтобы не иметь автоматической согласованности, например для Для больших значений нужно использовать некоторую избыточность информации для улучшения обоснованности, т. е. проверить, насколько хорошо наши результаты будут отражать действительность.

Закончим этот раздел двумя замечаниями. Во-первых, если необходимо провести очень тонкие различия при парных сравнениях, то можно подразделить шкалу 1-9, рассматривая каждую пару значений, скажем 3 и 4, при добавлении к нижнему значению 0,25 для слабой, 0,5 для умеренной и 0,75 для сильной степени. Однако наш опыт не показал, что это дает большую эффективность, кроме случая, когда сравниваются только два объекта. В последнем случае для получения более тонких оттенков различия используется шкала от 1 до 1,5.

Во-вторых, если суждения производят несколько человек, то предпочтительнее, как указано в гл. 1, использовать геометрическое, а не арифметическое среднее. Это особенно понятно, когда один человек присваивает величину a, а другой - величину . Среднее должно быть 1, а не . Поэтому в общем случае для суждений нужно перемножить численные значения и извлечь корень

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление